Note Algebra e geometria lineare, Dispense di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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Note di Geometria e Algebra

Per i corsi di Informatica, Ingegneria dell’Informazione e delle Comunicazioni

e Ingegneria dell’Informazione e Organizzazione d’impresa

Gianluca Occhetta

• 1 Geometria di rette e piani nello spazio
• 1.1 Vettori Geometrici
• 1.1.1 Somma di vettori
• 1.1.2 Prodotto per uno scalare
• 1.1.3 Prodotto scalare
• 1.1.4 Sistemi di coordinate
• 1.2 Equazioni di rette e piani nello spazio
• 1.2.1 Equazioni di una retta
• 1.2.2 Equazioni di un piano
• 1.2.3 Fascio di piani
• 1.3 Posizioni reciproche di rette e piani nello spazio
• 1.3.1 Posizione reciproca di due rette
• 1.3.2 Posizione reciproca di due piani
• 1.3.3 Posizione reciproca di una retta e un piano
• 1.4 Distanze
• 1.4.1 Distanza di due punti
• 1.4.2 Distanza di un punto da un piano
• 1.4.3 Distanza di un punto da una retta
• 1.4.4 Distanza di due rette
• 1.5 Esercizi riassuntivi
• 2 Sistemi lineari
• 2.1 Sistemi lineari
• 2.1.1 Matrici associate ad un sistema lineare
• 2.1.2 Operazioni elementari
• 2.2 Matrici a scalini e algoritmo di Gauss
• 2.2.1 Matrici a scalini
• 2.2.2 Matrici a scalini ridotte per righe
• 2.2.3 Teorema di Rouch ´e - Capelli
• 2.3 Esercizi riassuntivi
• 3 Matrici
• 3.1 Matrici
• 3.2 Operazioni tra matrici
• 3.2.1 Somma di matrici
• 3.2.2 Prodotto per uno scalare
• 3.2.3 Prodotto di matrici
• 3.3 Matrici delle operazioni elementari
• 3.4 Matrici quadrate - Matrici inverse
• 3.4.1 Calcolo della matrice inversa
• 3.5 Ancora sui sistemi lineari
• 3.6 Esercizi riassuntivi
• 4 Spazi vettoriali
• 4.1 Spazi vettoriali
• 4.1.1 Gruppi e campi
• 4.1.2 Definizione ed esempi
• 4.1.3 Sottospazi
• 4.1.4 Sistemi di generatori - dipendenza lineare
• 4.2 Il caso Rn
• 4.2.1 Sottospazi di Rn
• 4.2.2 Dipendenza lineare e sistemi di generatori in Rn
• 4.3 Esercizi riassuntivi
• 5 Basi
• 5.1 Definizione - Esistenza delle basi
• 5.1.1 Estrarre una base da un sistema di generatori di Rn
• 5.2 Completamento a una base
• 5.2.1 Completare a una base un insieme indipendente di Rn.
• 5.3 Coordinate
• 5.4 Spazi delle righe e delle colonne di una matrice
• 5.5 Esercizi riassuntivi
• 6 Determinante
• 6.1 Determinante
• 6.1.1 Definizione e propriet `a
• 6.1.2 Determinante e operazioni elementari
• 6.1.3 Ulteriori propriet `a del determinante
• 6.2 Applicazioni
• 6.2.1 Indipendenza lineare
• 6.2.2 Applicazioni alla geometria
• 6.2.3 Determinanti e sistemi lineari
• 6.2.4 Prodotto vettoriale
• 6.3 Esercizi riassuntivi
• 7 Funzioni lineari
• 7.1 Funzioni lineari
• 7.1.1 Definizione ed esempi
• 7.1.2 Nucleo e immagine
• 7.1.3 Funzioni lineari definite da matrici
• 7.2 Matrici rappresentative
• 7.2.1 Matrici di transizione e cambiamenti di base
• 7.3 Esercizi riassuntivi
• 8 Diagonalizzabilit `a
• 8.1 Diagonalizzabilit `a
• 8.2 Autovalori e autovettori
• 8.2.1 Definizione e prime propriet `a
• 8.2.2 Polinomio caratteristico
• 8.2.3 Molteplicit `a algebrica e geometrica
• 8.3 Criteri di diagonalizzabilit `a
• 8.3.1 Matrici diagonalizzanti
• 8.3.2 Applicazioni
• 8.4 Esercizi riassuntivi
• 9 Endomorfismi simmetrici
• 9.1 Spazi vettoriali euclidei
• 9.1.1 Prodotto scalare
• 9.1.2 Ortogonalit `a e proiezioni
• 9.1.3 Basi ortonormali
• 9.2 Endomorfismi simmetrici
• 9.2.1 Il Teorema Spettrale
• 9.2.2 Matrici ortogonali
• 9.3 Esercizi riassuntivi
• Bibliografia
• Testi consigliati

1. Geometria di rette e piani nello spazio

1.1 Vettori Geometrici

Definizione 1.1.1 Un vettore applicato nello spazio `e un segmento orientato

AB, individuato da un punto iniziale A e da un punto finale B. Due vettori applicati

AB e

CD si dicono equivalenti (o equipollenti) se hanno la stessa direzione (cio e giacciono su rette parallele), la stessa lunghezza, detta modulo e lo stesso verso (cioe una traslazione che porta A in C porta B in D). Un vettore di modulo 1 `e detto versore.

Definizione 1.1.2 Un vettore geometrico `e una classe di equivalenza di vettori applicati. Indicheremo i vettori geometrici con lettere in grassetto, e scriveremo, con abuso di notazione, v =

AB per indicare che il vettore applicato

AB `e un rappresentante della classe del vettore geometrico v. La classe di equivalenza dei vettori applicati di tipo

AA verr`a indicata con 0 e chiamata vettore nullo. Notazione 1.1. Denoteremo con V 3 l’insieme dei vettori geometrici dello spazio.

1.1.1 Somma di vettori

Definizione 1.1.3 Dati due vettori geometrici v e w si pu o definire la loro somma nel modo` seguente: sia

AB un rappresentante di v applicato in A, e sia

BC un rappresentante di w applicato in B. Allora v + w e il vettore geometrico individuato dal vettore applicato`

AC.

Chiaramente v + 0 = v.

v C

B

A

v+w

w

Osservazione 1.1.1 La somma di vettori geometrici gode delle propriet `a commutativa e associativa, come mostrano i seguenti diagrammi.

8 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio

D

v

w

v+w

A

B

C

w

w+v v

(v+w)+u = v+(u+w)

v+w

w+u

u

w

v

Definizione 1.1.4 Dato un vettore geometrico v, il suo opposto, che indichiamo con −v e unvettore geometrico che ha la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto. Chiaramente la somma di un vettore con il suo opposto da il vettore nullo.

Riassumiamo le propriet`a della somma dei vettori geometrici appena descritte.

1. Comunque scelti due vettori geometrici v, w si ha v + w = w + v;
2. Comunque scelti tre vettori geometrici v, w, u si ha (v + w) + u = w + (v + u);
3. Esiste un vettore, il vettore nullo, tale che, per ogni vettore geometrico v si ha v + 0 = v;
4. Ogni vettore v ha un vettore opposto −v tale che v + (−v) = 0.

1.1.2 Prodotto per uno scalare

Un vettore geometrico pu o essere moltiplicato per un numero reale (detto scalare), nel modoseguente: Definizione 1.1.5 Dati un vettore geometrico v ed un numero reale λ , il vettore geometrico λ ve definito come il vettore che ha la stessa direzione di v, modulo uguale a |λ ||v| e direzione concorde o opposta a quella di v a seconda che λ sia positivo o negativo. Chiaramente, se λ = 0 allora λ v e il vettore nullo. Moltiplicando un vettore non nullo per l’inverso del suo` modulo si ottiene un versore, detto normalizzazione di v.

Il prodotto per uno scalare gode delle seguenti propriet`a:

1. Comunque scelti due scalari λ , μ ed un vettore geometrico v si ha λ (μv) = (λ μ)v;
2. Comunque scelto un vettore geometrico v si ha 1v = v;
3. Comunque scelti due scalari λ , μ ed un vettore geometrico v si ha (λ + μ)v = λ v + μv;
4. Comunque scelti uno scalare λ e due vettori geometrici v, w si ha λ (v + w) = λ v + λ w.

Le prime tre propriet a sono di verifica immediata. Per l’ultimae necessario osservare che il triangolo che si costruisce per sommare i vettori v e w e simile a quello che si costruisce per` sommare i vettori λ v e λ w.

1.1.3 Prodotto scalare

Definizione 1.1.6 Dati due vettori geometrici v e w il loro prodotto scalare, indicato con v · w e il numero reale v · w = |v||w| cos ϑ , ove ϑ e l’angolo formato da due rappresentanti di v e w applicati in un medesimo punto. In particolare due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare risulta nullo.

10 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio

E’ semplice verificare che l’operazione di somma di vettori geometrici corrisponde alla somma coordinata per coordinata delle terne associate, cio e che, sev ha coordinate (v 1 , v 2 , v 3 ) e w ha coordinate (w 1 , w 2 , w 3 ), allora v + w ha coordinate (v 1 + w 1 , v 2 + w 2 , v 3 + w 3 ) e che il prodotto per uno scalare corrisponde a moltiplicare per lo scalare ogni componente del vettore, cioe che se v ha coordinate (v 1 , v 2 , v 3 ) allora λ v ha coordinate (λ v 1 , λ v 2 , λ v 3 ).

Inoltre il modulo di un vettore pu o essere calcolato, utilizzando le componenti, applicando due` volte il Teorema di Pitagora, come

|v| =

v^21 + v^22 + v^23 La normalizzazione di v e il versore di componenti`

v |v|

(v 1 , v 2 , v 3 ) √ v^21 + v^22 + v^23

Cerchiamo ora l’espressione del prodotto scalare di due vettori nelle loro componenti:

Proposizione 1.1.3 Il prodotto scalare di v e w `e dato da

v · w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 =

3 ∑ i= 1

viwi

Dimostrazione. Sia u = v − w; possiamo calcolare il quadrato del suo modulo, utilizzando il prodotto scalare, come

|u|^2 = (u · u) = (v 1 − w 1 )^2 + (v 2 − w 2 )^2 + (v 3 − w 3 )^2 = v^21 + v^22 + v^23 + w^21 + w^22 + w^23 − 2 (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) = |v|^2 + |w|^2 − 2 (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ).

v

e H

C

B

A

vïw

w

D’altra parte |u|^2 pu`o essere calcolato, utilizzando il teorema di Pitagora, come

|u|^2 = |

HB|^2 + |

HC|^2 = (|v| − |w| cos ϑ )^2 + (|w| sin ϑ )^2 = |v|^2 + |w|^2 − 2 v · w.

Dal confronto delle due espressioni si ha la tesi. 

Osservazione 1.1.4 Utilizzando le coordinate `e immediato verificare che, comunque scelti tre vettori geometrici v, w, u si ha v · (u + w) = v · u + v · w, senza dover ricorrere alle proiezioni ortogonali.

1.2 Equazioni di rette e piani nello spazio 11

1.2 Equazioni di rette e piani nello spazio

1.2.1 Equazioni di una retta

Sia r una retta nello spazio, e siano P e Q due suoi punti; sia v il vettore geometrico individuato dal vettore applicato

PQ; un punto R sta sulla retta se e solo se il vettore

PR ha la stessa direzione di v, cio e e il prodotto di v per un numero reale. I punti R della retta sono cio e tutti e soli i punti` tali che −→ PR = tv per qualche t In coordinate, se P = (xP, yP, zP) e Q = (xQ, yQ, zQ), e R = (x, y, z) abbiamo che il vettore v ha componenti v 1 = xQ − xP, v 2 = yQ − yP, v 3 = zQ − zP e la condizione sopra descritta si esprime come: (^)  



x = xP + tv 1 y = yP + tv 2 z = zP + tv 3 Queste equazioni sono dette equazioni parametriche della retta r. Eliminando il parametro t si ottengono due equazioni lineari in x, y e z, dette equazioni cartesiane di r. Esercizio 1.1 Si trovino equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per i punti P = (− 1 , 2 , 1 ) e Q = ( 1 , 0 , 2 ). 

 Svolgimento Il vettore geometrico che d a la direzione della rettae v =

PQ che ha componenti (xQ − xP, yQ − yP, zQ − zP) = ( 2 , − 2 , 1 ); delle equazioni parametriche per la retta sono quindi  



x = − 1 + 2 t y = 2 − 2 t z = 1 + t

Eliminando t troviamo le equazioni cartesiane della retta: ricavando t = z − 1 dall’ultima equazione e sostituendolo nelle precedenti otteniamo { x − 2 z = − 3 y + 2 z = (^4) 

1.2.2 Equazioni di un piano

Un piano π nello spazio tridimensionale puo essere descritto, dati un punto ` P che gli appartiene e un vettore N ad esso ortogonale, come il luogo dei punti Q(x, y, z) tali che il vettore

PQ sia ortogonale al vettore N, cio`e tali che −→ PQ · N = 0.

In coordinate, se P = (xP, yP, zP) e N = (a, b, c) abbiamo che il vettore

PQ ha componenti (x − xP, y − yP, z − zP) e la condizione sopra descritta si esprime come:

a(x − xP) + b(y − yP) + c(z − zP) = 0 ,

che, posto d = axP + byP + czP pu`o essere riscritta come

ax + by + cz = d.

1.3 Posizioni reciproche di rette e piani nello spazio 13

Esercizio 1.3 Sia r la retta di equazioni cartesiane x + 2 z = 3 , x − y + z = 1 , e sia P il punto ( 0 , 2 , 1 ). Si trovi il piano π che contiene r e P. 

 Svolgimento Troviamo il fascio di piani di sostegno r come sopra descritto: λ (x + 2 z − 3 ) + μ(x − y + z − 1 ) = 0.

Imponiamo il passaggio per il punto P, sostituendo le sue coordinate nell’equazione del fascio: −λ − 2 μ = 0 ⇔ λ = − 2 μ. Diamo a μ un valore diverso da zero, ad esempio μ = 1 , e sostituiamo λ = − 2 , μ = 1 nell’equazione del fascio, trovando − 2 x − 4 z + 6 + x − y + z − 1 = 0 , −x − y − 3 z − 5 = 0 , che `e un’equazione del piano cercato. 

1.3 Posizioni reciproche di rette e piani nello spazio

1.3.1 Posizione reciproca di due rette

Siano r ed s due rette distinte, individuate rispettivamente da un punto P e da un vettore v e da un punto Q e da un vettore w. Definizione 1.3.1 Le rette si dicono parallele se i vettori v e w sono proporzionali. Se ci o non accade le rette si diconoincidenti se hanno un punto in comune, sghembe altrimenti. Se le rette sono incidenti, si dicono perpendicolari o ortogonali se v e w sono ortogonali, cio e se e solo se v · w = 0. Infine le rette si dicono complanari se giacciono in uno stesso piano. Questo accade se e solo se esse sono parallele o incidenti.

Esercizio 1.4 Trovare la retta r, passante per P = ( 0 , − 2 , 1 ), perpendicolare (e incidente) alla retta s di equazioni parametriche (^)  



x = − 1 + t y = 1 + 2 t z = 3 − t (^) 

 Svolgimento Per essere incidente alla retta s, la retta r dovr a passare per un punto di essa, cio e per Q(t) = (− 1 + t, 1 + 2 t, 3 − t) per qualche valore di t. Il valore cercato di t si trova imponendo che il vettore

QP e il vettore v che d a la direzione di` s siano ortogonali. Nel nostro caso −→ QP =

0 − (− 1 + t) − 2 − ( 1 + 2 t) 1 − ( 3 − t)

1 − t − 3 − 2 t − 2 + t

 (^) v =

e quindi il loro prodotto scalare `e −→ QP · v = 1 − t − 6 − 4 t + 2 − t = − 6 t − 3 , che si annulla per t = − 1 / 2. Sostituendo tale valore in

QP troviamo la direzione della retta r cercata:

w =

14 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio

La retta r ha quindi equazioni parametriche  



x = 32 t y = − 2 − 2 t z = 1 − 52 t 

Esercizio 1.5 Siano r la retta passante per A = ( 0 , 0 , 1 ) e B = (− 2 , − 1 , 0 ) ed s la retta passante per C = ( 1 , 2 , 2 ) e D = (− 3 , 0 , 0 ). Si mostri che tali rette sono complanari e si trovi un’equazione cartesiana del piano π che le contiene. 

 Svolgimento La retta r ha direzione data da

AB = (− 2 , − 1 , − 1 ), mentre la retta r′^ ha direzione data da

CD = (− 4 , − 2 , − 2 ); tali vettori sono proporzionali, quindi le rette considerate sono parallele, e quindi complanari. Il piano che le contiene e individuato da due punti su una retta e un punto sull’altra. Pos-` siamo prendere tali punti come A, B e C e trovare il piano passante per questi tre punti come nell’Esercizio 1.2. Alternativamente possiamo trovare equazioni cartesiane per la retta r, che ha equazioni parame- triche (^)  



x = − 2 t y = −t z = 1 − t Eliminando t otteniamo (^) { x = 2 y z = 1 + y Ora consideriamo il fascio di piani di sostegno r:

λ (x − 2 y) + μ(y − z + 1 ) = 0 ,

ed imponiamo il passaggio per C. − 3 λ + μ = 0 , da cui μ = 3 λ e, posto λ = 1 troviamo

π : x + y − 3 z + 3 = 0 

1.3.2 Posizione reciproca di due piani

Siano π e π′^ due piani distinti di equazioni

π : ax + by + cz = d π′^ : a′x + b′y + c′z = d′

Definizione 1.3.2 I piani sono paralleli se le direzioni normali ad essi sono proporzionali, cioe se e solo se i vettori N = (a, b, c) e N′^ = (a′, b′, c′) sono proporzionali. Se cio non accade i piani si dicono incidenti, e la loro intersezione e una retta. Due piani in R^3 si dicono perpendicolari o ortogonali se le loro direzioni normali sono ortogonali, cioe se e solo se N · N′^ = 0.

16 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio

 Svolgimento E’ innanzitutto necessario trovare equazioni parametriche per la retta; questo pu`o essere fatto ponendo y = t, e quindi ricavando  



x = − 2 t y = t z = t

Pertanto un vettore v che d a la direzione di re v = (− 2 , 1 , 1 ). Un vettore normale al piano π e N = ( 1 , 1 , 1 ); pertanto v · N = − 2 + 1 + 1 = 0. Ci sono quindi due possibilita: o la retta e contenuta nel piano oe parallela ad esso. Per determinare in quale caso ci troviamo prendiamo un punto su r e vediamo se tale punto appartiene a π. Prendendo ad esempio A = ( 0 , 0 , 0 ) e immediato verificare che A 6 ∈ π, e quindi r e π sono paralleli. Il piano π′, ortogonale ad r avra un’equazione cartesiana del tipo

− 2 x + y + z = d,

e d puo essere trovato imponendo il passaggio per P, ottenendo − 2 − 1 = d, cioe d = −3. 

1.4 Distanze

1.4.1 Distanza di due punti

La distanza di due punti P = (xP, yP, zP) e Q = (xQ, yQ, zQ) e il modulo del vettore geometrico−→ PQ, cioe

d(P, Q) = |

PQ| =

(xQ − xP)^2 + (yQ − yP)^2 + (zQ − zP)^2. (1.1)

1.4.2 Distanza di un punto da un piano

Vediamo come ricavare la formula che d`a la distanza di un punto da un piano

Proposizione 1.4.1 Sia P il punto di coordinate (xP, yP, zP), e sia π il piano di equazione ax + by + cz = d. Allora

d(P, π) = |axP + byP + czP − d| √ a^2 + b^2 + c^2

Dimostrazione. Sia Q = (xQ, yQ, zQ) un punto del piano π. La distanza di P da π e il modulo` della proiezione ortogonale di

QP sulla direzione normale al piano. Indicato con n il versore normale al piano, cio`e

n =

a^2 + b^2 + c^2

(a, b, c)

si ha che

d(P, π) = |

QP · n| = |axP + byP + czP − (axQ + byQ + czQ)| √ a^2 + b^2 + c^2

|axP + byP + czP − d| √ a^2 + b^2 + c^2

ove l’ultima uguaglianza `e dovuta al fatto che il punto Q appartiene al piano π. 

1.4 Distanze 17

1.4.3 Distanza di un punto da una retta

Per trovare la distanza del punto −→ P dalla retta r e necessario trovare il puntoH su r tale che PH sia ortogonale a un vettore v che da la direzione della retta r. A questo punto e sufficientecalcolare la distanza dei punti P ed H. Per trovare il punto H e possibile procedere in due modi. Si pu o, analogamente a quanto fatto` nell’Esercizio 1.4 considerare un generico punto Q(t) sulla retta r scritta in forma parametrica con parametro t, e imporre che

PQ · v = 0. Si trova cosı un valore t 0 di t che individua il punto H = Q(t 0 ). Alternativamente si pu o cercare l’equazione del piano π perpendicolare a r e passante per P; l’intersezione di tale piano con la retta r `e il punto H.

Esercizio 1.8 Si trovi la distanza del punto P = ( 1 , 2 , 2 ) dalla retta r passante per il punto R = ( 3 , − 1 , 3 ) di direzione v = ( 2 , − 1 − 1 ). 

 Svolgimento Il generico piano perpendicolare ad r ha equazione

2 x − y − z = d;

imponendo il passaggio per P si trova d = −2, quindi il piano π ha equazione 2 x − y − z = − 2.

La retta r ha equazioni parametriche  



x = 3 + 2 t y = − 1 − t z = 3 − t Troviamo il punto H, intersezione di r e π, sostituendo nell’equazione di π le espressioni di x, y e z date dalle equazioni parametriche di r, e otteniamo: 6 + 4 t + 1 + t − 3 + t = − 2 , trovando t = −1. Il punto H e quindi il punto( 1 , 0 , 4 ) e la distanza cercatae data da

d(P, r) = d(P, H) =

( 1 − 1 )^2 + ( 0 − 2 )^2 + ( 4 − 2 )^2 = 2

1.4.4 Distanza di due rette

Per distanza di due rette r ed r′^ si intende la minima distanza possibile tra un punto sulla prima retta ed un punto sulla seconda. Chiaramente se r ed s sono incidenti, la loro distanza e zero. Se r ed r′^ sono parallele, la loro distanza e data dalla distanza di un punto qualsiasi preso su una di esse dall’altra. Pi u complessoe il caso delle rette sghembe. Vediamo due metodi per calcolare la distanza in questo caso.

Il primo metodo richiede di trovare un segmento i cui estremi stanno sulle due rette, che sia ortogonale ad entrambe, e calcolare quindi la lunghezza di tale segmento. Poniamo entrambe le rette in forma parametrica (con parametri diversi!!), e, detti P(t) il punto generico della retta r e Q(s) il punto generico della retta r′, rispettivamente, andiamo a imporre le condizioni di ortogonalit`a: (^) { −→ PQ · v = 0 −→ PQ · w = 0

1.5 Esercizi riassuntivi 19

1.5 Esercizi riassuntivi

Esercizio 1.10 Sia r la retta di equazioni x − y = 0 , y − z = 1 , e sia s la retta passante per i punti ( 2 , 0 , 1 ) e ( 3 , 0 , 0 ). Siano inoltre π il piano perpendicolare a r passante per (− 1 , 0 , 0 ) e P il punto di intersezione di r e π.

1. Si mostri che r ed s sono rette sghembe.
2. Si trovi la distanza di P da s. (^) 

 Svolgimento Scriviamo le rette date in forma parametrica:

r :

x = 1 + λ y = 1 + λ z = λ

s :

x = 2 + t y = 0 z = 1 − t Sostituendo le equazioni parametriche si s nelle equazioni cartesiane di r troviamo il sistema { 2 + t = 0 t − 1 = 1

che non ha soluzione, quindi le rette non sono incidenti. Inoltre i vettori v e w che danno la direzione delle rette v = ( 1 , 1 , 1 ) w = ( 1 , 0 , − 1 ) non sono proporzionali, e quindi le rette non sono parallele; quindi le rette sono sghembe. Il piano π ha come direzione normale quella del vettore ( 1 , 1 , 1 ) e passa per (− 1 , 0 , 0 ) e ha quindi equazione π : x + y + z = − 1. Il punto di intersezione tra r e π si ottiene sostituendo le equazioni parametriche di r nell’equa- zione di π: ( 1 + λ ) + ( 1 + λ ) + λ = − 1 , da cui λ = −1 che individua il punto

P = ( 0 , 0 , − 1 ).

Sia Q(t) il generico punto di s. Allora

PQ = ( 2 + t, 0 , 2 − t). Imponendo l’ortogonalit`a con w

0 =

PQ · w = 2 + t − 2 + t,

da cui si ricava t = 0. La distanza di P da s e uguale al modulo di`

PQ( 0 ), cio`e a √ 22 + 02 + 22 = 2

Il punto 2) pu o essere svolto in modo alternativo, considerando il pianoπ′^ ortogonale ad s e passante per P; essendo ortogonale ad s il piano π′^ si scrive come x − z = d e, imponendo il passaggio per il punto si ottiene x − z = 1. L’intersezione di π′^ con la retta s e il punto Q = ( 2 , 0 , 1 ) e la distanza di P e Q `e √ 22 + 02 + 22 = 2

20 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio

Esercizio 1.11 Siano P il punto di coordinate ( 0 , 1 , 1 ), π il piano di equazione y − z = 0 e r la retta di equazioni (^) { x − y + z = 1 2 x − z = 0

1. Sia Q il punto di intersezione di r e π. Si trovi la distanza di P da Q.
2. Si trovino equazioni cartesiane per la retta r′, parallela ad r e passante per P.
3. Si trovi un’equazione cartesiana del piano π′^ che contiene r e P. (^) 

 Svolgimento Le coordinate del punto Q di intersezione di r e π sono le soluzioni del sistema  



x − y + z = 1 2 x − z = 0 y − z = 0

si ricava facilmente che cio `e Q = ( 1 , 2 , 2 ). La distanza di P da Q si calcola ora con la formula (1.1), ottenendo

d(P.Q) =

( 1 − 0 )^2 + ( 2 − 1 )^2 + ( 2 − 1 )^2 =

Per trovare la retta s dobbiamo scrivere la retta r in forma parametrica, per trovare un vettore che ne d`a la direzione. Ponendo x = t troviamo equazioni parametriche per r

r :

x = t y = − 1 + 3 t z = 2 t

e vediamo che la direzione di r e data da` v = ( 1 , 3 , 2 ). Possiamo quindi trovare equazioni parametriche per r′:

s :

x = s y = 1 + 3 s z = 1 + 2 s ed, eliminando il parametro s, equazioni cartesiane:

s :

y = 1 + 3 x z = 1 + 2 x

Infine, per trovare il piano π′, consideriamo il fascio di piani di sostegno la retta r:

λ (x − y + z − 1 ) + μ( 2 x − z) = 0 ,

e imponiamo il passaggio per P: −λ − μ = 0 , da cui λ = −μ; scegliendo μ = 1 troviamo un’equazione cartesiana del piano π′:

π′^ : x + y − 2 z + 1 = 0.