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A – TEORIA DEGLI INSIEMI
A1. Dati gli insiemi A = {4, 1, 7}, B = {1, 7, –3}, quali delle seguenti
affermazioni è vera?
A – B = {4}
A2. Introdotto l'insieme Z = {0, {1}, {1, 2}}, quali delle seguenti
affermazioni è falsa?
{1} ⊂ Z
A3. Sia E l'insieme numerico sull'asse reale R dato da
E = {x ∈ R : x
2
3
Quali delle seguenti uguaglianze è corretta?
E = {2}
A4. Quali sono tutti e soli i valori di x ∈R per i quali è vera la seguente
uguaglianza insiemistica?
{x, x – 1} = {0, 1}
x = 1
A5. Quali sono tutti e soli i valori di x ∈R per i quali è vera la seguente
uguaglianza fra coppie ordinate?
(x – 2, x + 1) = (2x, 1)
nessun x
A6. Dato l'insieme E = {0, 1, –1} quale, fra i seguenti, è l'insieme P(E)
delle parti di E?
P(E) = {{0}, {1}, {–1}, {0, –1}, {–1, 1}, {0, 1}, ∅ , E}
A7. Siano A e B due insiemi generici contenuti in un insieme universo
X (con A, B, X non vuoti). Quale delle seguenti affermazioni è vera?
B ∩ B
c
= ∅
A8. Considerato, per ogni n ∈N–{0}, l'intervallo aperto a sinistra dato
da
I
n
quali delle seguenti è vera?
n∈ N – { 0 }
I
n
=[ 0,1]
A9. Se A, B, C, D sono quattro insiemi assegnati, quale fra le seguenti
uguaglianze insiemistiche è vera?
(A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × C) ∪ (A × D) ∪ (B × D)
A10. Se A, B, C sono tre insiemi assegnati (non vuoti), quale fra le
seguenti uguaglianze insiemistiche è vera?
(A ∪ A
c
)
c
∩ B = ∅
B – INTRODUZIONE ALLE MATRICI
B1. Data la matrice
A =[
]
quale delle seguenti affermazioni è vera?
A è una matrice rettangolare di tipo (2, 3)
B2. Data la matrice quadrata
A =[
1 z x
z 2 0
− x 0 3
]
,
dove x e z sono numeri reali, quale delle seguenti affermazioni è vera?
A è simmetrica se e solo se x = 0
B3. Data la matrice quadrata
A
=[
x y
y − x
],
dove x e y sono numeri reali, quale delle seguenti affermazioni è vera?
A è simmetrica per ogni x e per ogni y
B4. Per quali t ∈R risulta vera l'uguaglianza seguente?
[
t t + 1
2 − t t − 1
]=[
]
Per nessun t
B5. Siano S ed A gli insiemi costituiti dalla totalità delle matrici
quadrate (di ordine n fissato) rispettivamente simmetriche ed
antisimmetriche, cioè
S = {A ∈ M n
: A = A
t
}
A = { A ∈ M n
: A = –A
t
}
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
S ∩ A = {O n
}
B6. Data la matrice A seguente
A =[
],
quale delle seguenti affermazioni è vera?
A è di tipo (3, 4) e risulta A
t
=[
]
B7. Sia A una matrice di tipo (m, n). Quale delle seguenti uguaglianze
matriciali è corretta?
(– (–A)
t
)
t
= A
B8. Sia 𝞑l'insieme delle matrici quadrate del secondo ordine così
definito
Β ={[
1 α
α 1
] : α∈ R }
Se B è un fissato elemento generico di 𝞑, quale delle seguenti è vera?
B
t
∈ 𝞑
B9. Sia A la matrice quadrata del terzo ordine data da
A =[
y 0 z + x
0 ( x − 1 )
2
y
0 − y 2
]
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
Nessuna delle precedenti è vera
B10. Siano α, β due numeri reali, ed A, B le matrici quadrate del
secondo ordine seguenti
A =[
1 α
0 β
] , B =[
α 0
]
Se E è l'insieme di tutte le coppie ordinate (α, β) per le quali risulti –A
= B
t
, cioè
E = {(α, β) ∈ R
2
: –A = B
t
},
allora, quale delle seguenti è vera
E = {(–1, 0)}
C – OPERAZIONI SULLE MATRICI I
C1. Siano A, B e C tre matrici di tipo (m, n), (p, q) ed (r, s),
rispettivamente. Quale delle seguenti condizioni devono soddisfare gli
interi m, n, p, q, r, s, affinchè la matrice data da
A + B
t
sia definita?
m = q = r ed n = p = s
C2. Per quali numeri reali α la seguente uguaglianza matriciale è vera?
[ αα ]+[
]=[
α α
]
Per nessun α
C3. Siano A e B le due matrici date da
A =[
] , B =[
]
Qual è la matrice X soluzione dell'equazione matriciale seguente?
A + X
t
= B
X =[
]
C4. Quale delle seguenti somme matriciali è corretta?
[
]
t
+[
]
t
=[ 1 – 1 ]
C5. Determinare tutti i valori dei numeri reali α, β e γ, tali che,
introdotte le due matrici seguenti E ed F
E
=[
0 2 − 2 α
α 3 1
0 5 α β
]
, F
=[
8 β − 2
γ 1 1
]
,
la matrice E – F risulti diagonale.
α = 1, β = 2, γ = 1
C6. Siano A e B le matrici quadrate del secondo ordine date da
A =[
2 x
y
3
− 1 3 x
2
] , B =[
1 y − x
5 ( y
2
− x
4
]
,
dove x, y ∈R. Quali sono tutti i valori di x ed y per i quali la seguente
matrice
2A
t
t
risulti simmetrica?
ogni valore di x ed y
C7. Sia A una generica matrice quadrata di ordine n ed x, y due numeri
reali. Introdotta la matrice B così definita
B = xA – yA
t
quale delle seguenti affermazioni è corretta?
B è antisimmetrica se e solo se (x = y, oppure A è antisimmetrica)
C8. Siano A, B ∈ M n
due matrici simmetriche ed α, β due numeri reali.
Sia poi C la matrice data da
C = αA + βB
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
C è simmetrica per ogni valore di α e di β
C9. Considerati i seguenti due vettori colonna U1 ed U
U
1
=[
] , U
2
=[
t
t − 1
]
,
quali sono tutti i valori di t ∈ R tali che U 1
ed U 2
risultino linearmente
indipendenti?
tutti i valori t ≠ 1
C10. Considerati i seguenti tre vettori riga a due componenti V 1
, V 2
e
V 3
V 1
= [2 0], V 2
= [1 1], V 3
= [0 y]
dove y è un numero reale, quale delle seguenti affermazioni è vera?
V 1
, V 2
, V 3
sono linearmente dipendenti per ogni y ∈ R
D – OPERAZIONI SULLE MATRICI II
D1. Siano A, B, C le matrici date da
A =[
] , B =[
z 0 y
x 3 − 3
] ,C =[
]
quali dei seguenti prodotti sono tuttti eseguibili?
BA, AC, BC, CB
D2. Siano x, y due numeri reali da determinarsi, ed A, B, X le matrici
quadrate del secondo ordine date da
A =
[
] , B =[
] , X =[
1 x
3 y 0
]
,
Determinare tutte le coppie ordinate (x, y) ∈ R
2
, per le quali la
seguente equazione matriciale è soddisfatta
A
t
X = B
(x, y) = (2, 1)
D3. Siano A e B le matrici quadrate del secondo ordine seguenti
A =[
x
2
1 y
3
sin x
] , B =[
x
3
cos y 6
6 x
4
2
]
,
e C la matrice definita da
C = α(AB + BA) – βI 2
dove x, y, α, β sono numeri reali. Allora, C è simmetrica se e solo se
x, y, α, β sono reali qualsiasi
D4. Assegnate le matrici A e B seguenti
A =[
] , B =[
]
,
quali delle seguenti affermazioni è corretta?
( AB )
2
= 2 [
]
D5. Indicando, nel seguito, con A una generica matrice quadrata di
ordine 2, quale delle seguenti affermazioni è vera?
Esistono infinite matrici A ≠ O 2
tale che A
2
= O 2
D6. Siano X, Y, A tre matrici quadrate di ordine n, con X e Y
entrambe permutabili con A. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
X + Y e XY sono entrambe permutabili con A
D7. Siano A, B, C, D quattro matrici tali che la matrice
P = A(B + C)D
sia definita. Quale delle seguenti uguaglianze matriciali è corretta?
P
t
= D
t
(C
t
+ B
t
)A
t
D8. Siano A, B ∈ M n
due matrici assegnate qualsiasi. Quale delle
seguenti affermazioni è sempre corretta?
(A + B)(A – B) = A
2
- B
2
se e solo se [A, B] = O n
(ovvero, se e solo se
A e B commutano)
D9. Siano A e B due matrici quadrate linearmente dipendenti e k un
intero positivo. Allora A
k
e B
k
sono linearmente dipendenti
per ogni k intero positivo
D10. Siano A x,y
la matrice data da
A
x , y
=[
x 1
0 y
]
,
dove x, y sono numeri reali, e P(t) il polinomio dato da
P(t) = t
2
Sia poi E l'insieme definito da
E = {(x, y) ∈ R
2
: P(A x, y
) = O 2
}
Quali delle seguenti è corretta?
E = {(0, 2) , (2, 0)}
E – VETTORI GEOMETRICI
E1. Il disegno
rappresenta
il vettore applicato
BA
F9. Si consideri l'insieme delle coppie di numeri reali R
2
dotato delle
seguenti operazioni
¿( u , v )+( u ' , v ' )=( 3 u + 2 v ) ∀ ( u , v ) , ( u ' , v ' ) ∈ R
2
¿ λ· ( u , v )=( λu , λv ) ∀ ( u , v ) ∈ R
2
, ∀ λ ∈ R
Allora si ha che R
2
(+, ·)
soddisfa la proprietà distributiva del prodotto per uno scalare rispetto
alla somma tra scalari
F10. Si consideri l'insieme dei numeri reali R dotato delle operazioni
¿ u + v = 3 u + 3 v ∀ u , v∈ R
¿ λ·u =
λ
u ∀ u , λ∈ R
Allora si ha che
3 è l'elemento neutro per il prodotto
G – SOTTOSPAZI VETTORIALI
G1. Si consideri il sottoinsieme
S = {(x, y) : x ≠ y}
dell'R–spazio vettoriale R
2
(+, ·). Allora si ha che
S non è un sottospazio vettoriale di R
2
(+, ·)
G2. Si consideri il sottoinsieme
S = {(x, y ) : x – 3y = 0}
dell'R–spazio vettoriale R
2
(+, ·). Allora si ha che
S è un sottospazio vettoriale di R
2
(+, ·)
G3. Si consideri il sottoinsieme
S = {(x, y) : ∃ t ∈R tale che x = 2t, y = –5t}
dell'R–spazio vettoriale R
2
(+, ·). Allora si ha che
S è chiuso rispetto alla somma
G4. Si consideri il sottoinsieme
S = {(x, y) : y = 3}
dell'R–spazio vettoriale R
2
(+, ·). Allora si ha che
S non contiene l'elemento neutro della somma
G5. Si consideri il sottoinsieme
S = {(x, y, 1) : x, y ∈R}
dell'R–spazio vettoriale R
3
(+, ·). Allora si ha che
S non è un sottospazio di R
3
(+, ·)
G6. Si consideri il sottoinsieme
M ={(
a b
c d
)}: a , b , c ,d∈ R
dello spazio vettoriale M(2, 2, R). Allora si ha che
M è stabile rispetto alla somma
G7. Si consideri il sottoinsieme
M ={(
a b
c d
): a , b , c , d∈ R con a + c = b + d }
dello spazio vettoriale M(2, 2, R). Allora si ha che
M non è un sottospazio di M(2, 2, R)
G8. Si consideri il sottoinsieme
M = {A ∈ M(2, 2, R) : A
t
= A}
dello spazio vettoriale M(2, 2, R). Allora si ha che
M contiene l'elemento neutro della somma
G9. Si consideri il sottoinsieme
M ={(
a 0 0
0 b 0
0 0 c
): a , b , c∈ R con a + b = 2 }
dello spazio vettoriale M(3, 3, R). Allora si ha che
M non contiene l'elemento neutro della somma
G10. Si consideri il sottoinsieme
M ={(
v
1
v
2
v
3
) ∈ M ( 3 , R ): v
1
⋅v
2
⋅v
3
dello spazio vettoriale M(3, R). Allora si ha che
M non è un sottospazio di M(3, R)
H – DIPENDENZA LINEARE DI UN VETTORE DA UN
SISTEMA
H1. Si consideri l'R–spazio vettoriale R
3
ed il sistema
S = [(1, 2, 3)]
Allora si ha che
il vettore (
)è linearmente dipendente da S
H2. Si consideri l'R–spazio vettoriale R
3
e il sistema
S = [(2, 0, 0), (0, 1, 0)]
Allora si ha che
il vettore (1, π, 0) è linearmente dipendente da S
H3. Si consideri l'R–spazio vettoriale R
4
ed il sistema
S = [(1, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0)]
Allora si ha che
il vettore (0, –1, 0, 1) è linearmente dipendente da S
H4. Si consideri lo spazio vettoriale M(2, 2, R) e il sistema
S =[(
)]
Allora si ha che
la matrice (
)è linearmente dipendente da S
H5. Si consideri lo spazio vettoriale M(2, 2, R) e il sistema
S =[(
)]
Allora si ha che
la matrice
è linearmente dipendente da S
H6. Si consideri lo spazio vettoriale M(3, 3, R)
S
e il sistema
S =[(
)]
Allora si ha che
la matrice (
)è linearmente dipendente da S
H7. Si consideri lo spazio vettoriale M(2, 2, R) e il sistema
H ={(
a b
0 c
): a , b , c∈ R con a + c = 0 }
Allora si ha che
lamatrice (
)è linearmente dipendente da H
H8. Si consideri l'R–spazio vettoriale R
3
e l'insieme
H = {(x, y, z ) ∈ R
3
: x + 2y = 0}
Allora si ha che
il vettore (− 1 ,
) è combinazione lineare di H
H9. Si consideri l'R–spazio vettoriale R
4
e i sistemi
S = [(1, 0, 0, 0), (1, 0, 2, 0), (1, 1, 0, 0)],
T = [(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)]
Allora si ha che
⟨ T ⟩ ⊆ ⟨ ⟩ S
H10. Si consideri l'R–spazio vettoriale R
3
e i sistemi
S = [(2, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0)],
T = [(1, 0, 1), (1, 0, 0)]
Allora si ha che
T ⊄ ⟨ ⟩ S
I – DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE DI SISTEMI DI
VETTORI
I1. Dato l'R–spazio vettoriale R
3
(+, ·), si consideri il sistema
S =[ v =(
) , w =(
)]
Allora si ha che
S è linearmente indipendente
DIPENDENZA LINEARE II
I2. Dato l'R–spazio vettoriale R
3
(+, ·), si consideri il sistema
S =[ v =(
) , w =(
) , u =(
)]
Allora si ha che
S è linearmente indipendente
I3. Dato l'R–spazio vettoriale R
3
(+, ·), si consideri il sistema
S =[ v =(
) , w =(
) ,u =(
)]
Allora si ha che
la combinazione lineare con gli scalari (1, 1, –1) è uguale al vettore
nullo
I4. Dato l'R–spazio vettoriale R
3
(+, ·), si consideri il sistema
S =[ u =(
) , v =(
) , w =(
)]
Allora si ha che
S è linearmente indipendente
I5. Dato l'R–spazio vettoriale R
3
(+, ·), si consideri il sistema
S
=[
v
, w
, u
)]
Allora si ha che
S è linearmente indipendente
I6. Dato l'R–spazio vettoriale R
3
(+, ·), si consideri il sistema
S
=[
v =(
, w =(
,u =(
, z =(
)]
Allora si ha che
⟨ ⟩ S = ⟨ S − z ⟩
I7. Dato lo spazio vettoriale M(3, 3, R)
d
, si consideri il sistema
S = [D(1, 1, 0), D(1, 1, 1)]
Allora si ha che
S è linearmente indipendente
I8. Dato lo spazio vettoriale M(2, 2, R)
s
, si consideri il sistema
S =[ v =(
) , w =(
) , u =(
)]
Allora si ha che
S è linearmente indipendente
I9. Dato lo spazio vettoriale M(2, 2, R)
s
, si consideri il sistema
S =[ v =(
) , w =(
) , u =(
)]
Allora si ha che
⟨ ⟩ S = ⟨ S − w ⟩
I10. Dato l'R–spazio vettoriale R
3
(+, ·) si consideri il sistema
S =[ v =(
) , w =(
) , u =(
)]
Allora si ha che
S è linearmente indipendente
L – DIMENSIONE E BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE
L1. Nell'R–spazio vettoriale R
4
si consideri
W = ⟨v 1
= (1, 2, 0, 2), v 2
=(2, 1, 1, 0), v 3
= (5, 4, 2, 2)⟩
Allora si ha che
dim W = 2
L2. Nell'R–spazio vettoriale R
4
si consideri
W = ⟨v 1
= (1, 2, 0, 2), v 2
=(2, 1, 1, 0), v 3
= (5, 4, 2, 2)⟩
Allora si ha che
{v 1,
v 2
} è una base di W
L3. Nell'R–spazio vettoriale R
4
si consideri
W = ⟨v 1
= (1, 2, 0, 2), v 2
=(2, 1, 1, 0), v 3
= (5, 4, 2, 2)⟩
Allora si ha che
{v 1,
v 2,
e 1,
e 2
} è una base di R
4
L4. Nell'R–spazio vettoriale R
5
, si consideri
S
=[
v
1
=(2,0,1,0 , – 1 ) , v
2
v
3
v
4
, v
5
]
Allora si ha che
{v 1
, v 2
, v 5
} è una base di ⟨ ⟩ S
L5. Nell'R–spazio vettoriale R
3
si consideri
W = ⟨
v
1
=(1,5 , − 1 ) , v
2
v
3
=(1,1,3) , v
4
Allora si ha che
dim W = 3
L6. Nell'R–spazio vettoriale R
3
si consideri
W = ⟨
v
1
=(1,5 , − 1 ) , v
2
v
3
=(1,1,3) , v
4
Allora si ha che
{v 1
, v 2
, v 3
} è una base di W
L7. Nell'R–spazio vettoriale R
4
si consideri l'insieme
H = {(a, 0, b, c) : a, b, c ∈R}
Allora si ha che
dim H = 3
L8. Nell'R–spazio vettoriale R
4
si consideri l'insieme
H = {(a, 0, b, c) : a, b, c ∈R}
Allora si ha che
{e 1
, e 3
, e 4
} è una base di ⟨ H ⟩
L9. Nell'R–spazio vettoriale R
4
si consideri l'insieme
H = {(a, b, a, c) : a, b, c ∈R}
Allora si ha che
dim H = 4
L10. Nell'R–spazio vettoriale R
4
si consideri l'insieme
H = {(a, b, a, c) : a, b, c ∈R}
Allora si ha che
{e 2
, e 4
, e = (1, 0, 1, 0)} è una base di ⟨ H ⟩
M – SISTEMI LINEARI
N8. Si consideri il sistema lineare
x + 2 y + z = 4
3 x − y + z = 2
x + z = 9
Allora si ha che
detta B la matrice completa, risulta rk(B) = 3
N9. Si consideri il sistema lineare
2 x + y + 3 z = 1
x +
y + 6 z = 2
x +
y + 3 z = 1
Allora si ha che
la soluzione del sistema non è unica
N10. Si consideri il sistema
x + 3 y + 4 z =
4 x − y + 3 z = 2
− y − z = 0
Allora si ha che
dette B e A la matrice completa ed incompleta, risulta rk(B) = rk(A) =
2
O – SISTEMI LINEARI EQUIVALENTI
O1. Si considerino i sistemi
x + y = 0
y = 1
x − y = 1
e {
x + y = 0
y = 1
x − y = 2
Allora si ha che
i due sistemi sono equivalenti
O2. Si considerino i sistemi
x + y = 2
2 x − y = 1
3 x + y = 1
e {
2 x + 2 y = 4
x −
y =
2 x −
y =
Allora si ha che
i sistemi sono equivalenti
O3. Si considerino il sistema A
3 x + 2 y = 1
y =− 1
− x − y = 0
e l'equazione α
x +
y =− 1
Allora si ha che
ogni soluzione di A risolve α
O4. Si considerino il sistema A
x + 3 y − z = 0
2 y − z = 1
2 x + y + 4 z = 6
x − y + 3 z = 4
e l'equazione α
–2x – 5z = 7
Allora si ha che
ogni soluzione di A risolve α
O5. Si considerino gli spazi vettoriali
V = ⟨ (
) ⟩ ,W ={(
x
y
z
x + z = 0
y + 2 z = 0
Allora si ha che
V ∩ W = (0)
O6. Si considerino gli spazi vettoriali
V = ⟨ (
) ⟩ ,W ={(
x
y
z
x + z = 0
y + 2 z = 0
Allora si ha che
dim(V ∩ W) = 0
O7. Si considerino gli spazi vettoriali
V = ⟨ (
) ⟩ ,W ={(
x
y
z
x + z = 0
y + 2 z = 0
Allora si ha che
dim(V + W ) = 3
O8. Si considerino gli spazi vettoriali
V = ⟨ (
) ⟩ , W ={(
x
y
z
): x + z = 0 }
Allora si ha che
dim(V ∩ W) = 2
O9. Si considerino gli spazi vettoriali
V = ⟨ (
) ⟩ , W ={(
x
y
z
): x + z = 0 }
Allora si ha che
dim(V + w) = 2
O10. Si considerino gli spazi vettoriali
V = ⟨ (
) ⟩ , W ={(
x
y
z
x + y − 2 z = 0
x − z = 0
Allora si ha che
V ∩ W = (0)
P – ALGORITMO DI GAUSS
P1. Si considerino le matrici
A
1
)e A
2
Allora si ha che
A 2
è ottenuta da A 1
tramite la trasformazione (2,1; –1)
P2. Si considerino le matrici
A
1
)e A
2
Allora si ha che
A 2 è ottenuta da A 1 tramite la trasformazione (1, 3; 2)
P3. Si considerino le matrici
A
1
)e A
2
Allora si ha che
A 2
è ottenuta da A 1
tramite le trasformazione (3, 1; –1) e (2, 3)
P4. Si considerino le matrici
A
1
)e A
2
Allora si ha che
A 2 è ottenuta da A 1 tramite le trasformazioni (2, 3) e (1, 3; 2)
P5. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
A è (1, 3)–ridotta
P6. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
A è (2, 4; 1, 4)–ridotta
P7. Si consideri la matrice
A
Allora si ha che
A è (1, 2, 3; 1, 3, 2)–completamente ridotta
P8. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
rk A = 3
P9. Si consideri la matrice
A =(
Allora, applicando l'algoritmo di Gauss si ottiene la matrice
P10. Si consideri la matrice
A =(
Allora, applicando l'algoritmo di Gauss si ottiene la matrice
Q – RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI CON IL METODO DI
ELIMINAZIONE DI GAUSS
Q1. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
Q2. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
A non è a scalini
Q3. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
i pivot di A sono (1, –1, 3)
Q4. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
rkA = 3
Q5. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
A non è a scalini
Q6. Si consideri la permutazione
σ : I 3 → I 3
1 ↦ 3
2 ↦ 1
3 ↦ 2
e la tripla (–1, 0, –1). Allora si ha che
D
σ
Q7. Si consideri la permutazione
σ : I 4
→ I 4
1 ↦ 1
2 ↦ 4
3 ↦ 2
4 ↦ 3
Allora si ha che
D σ
(–1, 3, 2, 4) = (–e
1
, 2e
3
, 4e
4
, 3e
2
)
Q8. Si consideri il sistema
2 x − z = 4
y + 2 z = 2
2 x − y − 3 z = 2
Allora si ha che
(3, –2, 2) è una soluzione del sistema
Q9. Si consideri il sistema
2 x
1
− x
2
4
x
1
2
− x
3
4
x
2
− 2 x
3
4
Allora si ha che
(–3 – 7t, 3 – t, 7t – 5, 8t) è una soluzione in forma parametrica de
sistema
Q10. Si consideri il sistema
− a + 3 c = 2
2 a + b + c = 1
a + b + 4 c = 3
Allora si ha che
(1, –2, 1) è una soluzione del sistema
S5. Si consideri l'applicazione lineare f : M(3, R) → M(3, R) tale che
f(1, 1, 0) = (3, 0, –1)
f(1, 0, 1) = (1, 1, –2)
f(0, 1, 1) = (0, 1, 0)
Allora la matrice A ∈M(3, 3, R) associata alla base canonica tale che f
= f A
è
S6. Si consideri la matrice
M =(
Allora si ha che
rk M = 3
S7. Si consideri l'applicazione lineare f : R
3
→ R
2
definita da
f (
x
y
z
)=( y , y + 3 z )
Allora si ha che
Ker f = ⟨ (
S8. Si consideri l'applicazione linearef : R
3
→ R
2
definita da
f(x, y, z) = (2x + y – z, x – y + 2z)
Allora si ha che
dim Ker f = 1
S9. Si consideri l'applicazione lineare R
4
→ R
4
definita da
f(x, y, z, t) = (–x + z, –y + t, x – z, y – t)
Allora si ha che
dim Ker f = 2
S10. Si consideri l'applicazione lineare f : R
4
→ R
2
definita da
f ( x , y , z , t )=(
x − y + t
2 y − z + t
Allora si ha che
dim Im f = 2
T – CALCOLO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE
T1. Si consideri l'applicazione lineare σ : I 6
→ I 6
tale che
σ(1) = 3, σ(2) = 6 σ(3) = 1, σ(4) = 4, σ(5) = 2, σ(6) = 5
Allora si ha che
σ è una permutazione dispari
T2. Si consideri l'applicazione lineare σ : I 6
→ I 6
tale che
σ(1) = 1, σ(2) = 6 σ(3) = 5, σ(4) = 2, σ(5) = 4, σ(6) = 3
sign(σ) = 1
T3. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
det A = 7
T4. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
det A =
T5. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
det A= –
T6. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
det A = 66
T7. Si consideri la matrice
Allora si ha che
det A =
T8. Si consideri la matrice
Allora si ha che
det A =
T9. Si consideri la matrice
Allora si ha che
det A = 0
T10. Si consideri la matrice
Allora si ha che
det A = 0
U – PROPRIETÀ DEL DETERMINANTE
U1. Si consideri l'applicazione 𝜙: M(2, R) × M(2, R) → M(2, R) tale
che
ϕ ((
x
y
z
w
))=( 3 x − y , z + w + 1 )
Allora si ha che
𝜙 non è multilineare
U2. Si consideri l'applicazione 𝜙: M(2, R) × M(2, R) → R tale che
ϕ ((
x
y
z
w
))=( z + w )( xw − yz )
Allora si ha che
𝜙 è lineare solo nel primo vettore
U3. Si consideri l'applicazione 𝜙: M(2, R) × M(2, R) → R tale che
ϕ ((
x
y
z
w
))= xz + yw
Allora si ha che
𝜙 è multilineare e simmetrica
U4. Si consideri l'applicazione 𝜙: M(2, R) × M(2, R) → R tale che
ϕ ((
x
y
z
w
))= xw − yz
Allora si ha che
𝜙 è multilineare alternante
U5. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
det A = 0
U6. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
det A = 0
U7. Si consideri la matrice B ottenuta da
A =(
moltiplicando la seconda colonna per
. Allora si ha che
det B = 1
U8. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
A
− 1
U9. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
A
− 1
U10. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
A
− 1
( A − 2 I
4
V – CALCOLO DEL RANGO E RISOLUZIONE DI SISTEMI
LINEARI CON IL DETERMINANTE
V1. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
tutte le orlate di A (2,3 ; 1,3)sono
A
12
(
2 , 3 ; 1 , 3 )
, A
42
(
2 , 3 ; 1 , 3 )
, A
52
(
2 , 3 ; 1 , 3 )
V2. Si consideri la matrice
A
Allora si ha che
tutti gli orlati di A(1, 3, 4; 2, 3, 4) hanno determinante nullo
V3. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
ogni orlato di A(1, 2, 3; 2, 3, 4) ha determinante nullo
V4. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
A(2, 3; 3, 4) è un minore fondamentale
V5. Si consideri la matrice
A =(
Allora si ha che
rk A = 4
