Probabilità e calcolo, Sintesi del corso di Probabilità e Statistica

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Lezioni di Calcolo delle Probabilità

Giuseppe Nolfe

a.a. 2019-

Università degli Studi del Sannio Dipartimento di Diritto, Economia, Management e Metodi Quantitativi Corso di Laurea in Scienze Statistiche e Attuariali

5.14 Dominio di integrazione, D, della (5.94) per il calcolo di FXY (z)

• 1 Definizione assiomatica di probabilità Elenco delle figure xiii
  • 1.1 Concetti introduttivi
    • 1.1.1 Oggetto della teoria della probabilità
    • 1.1.2 Gli eventi
    • 1.1.3 Unione e intersezione di eventi
    • 1.1.4 Alcune relazioni fondamentali
    • 1.1.5 Successioni di eventi e loro limiti
  • 1.2 Strutture algebriche di interesse probabilistico
    • 1.2.1 La struttura degli eventi
    • 1.2.2 La σ-algebra di Borel B
  • 1.3 La probabilità
    • 1.3.1 Considerazioni preliminari
    • 1.3.2 Gli assiomi di Kolmogorov
    • 1.3.3 Prime conseguenze degli assiomi
    • 1.3.4 Il teorema di equivalenza
    • 1.3.5 La probabilità come come funzione continua di insieme
    • 1.3.6 Eventi quasi certi ed eventi quasi impossibili
• 2 Spazi campionari discreti
  • 2.1 Applicazione della definizione di Kolmogorov al caso discreto
    • 2.1.1 Esiti equiprobabili
  • 2.2 Alcune situazioni specifiche e richiami di calcolo combinatorio
    • 2.2.1 Coppie ed r-ple
    • 2.2.2 Il campionamento
    • 2.2.3 Campione ordinato
    • 2.2.4 Campione non ordinato
    • 2.2.5 Coefficiente multinomiale
  • 2.3 Problemi di occupazione
    • 2.3.1 Celle per ipotesi anch’esse identiche
    • 2.3.2 Statistiche di Bose-Einstein e Fermi-Dirac
  • 2.4 Distribuzione ipergeometrica
• 3 Condizionamento e indipendenza di eventi
  • 3.1 Probabilità condizionata
    • 3.1.1 La legge di Bayes
    • 3.1.2 Odd Ratio
  • 3.2 Indipendenza stocastica
    • 3.2.1 La rovina del giocatore
    • 3.2.2 Il lemma di Borel e Cantelli
    • 3.2.3 Esperimenti indipendenti e spazio campionario prodotto
• 4 La distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson
  • 4.1 Le prove del Bernoulli
  • 4.2 La distribuzione binomiale
  • 4.3 Distribuzione di Poisson
  • 4.4 Tempi di attesa in prove del Bernoulli
  • 4.5 La distribuzione multinomiale
• 5 Variabili aleatorie
  • 5.1 Il concetto di variabile casuale
    • 5.1.1 Considerazioni preliminari
    • 5.1.2 Definizione di variabile casuale
  • 5.2 La funzione di distribuzione
  • 5.3 Variabili aleatorie discrete
    • 5.3.1 Alcune variabili casuali discrete
  • 5.4 Variabili aleatorie assolutamente continue
  • 5.5 Variabili casuali n-dimensionali
    • 5.5.1 Distribuzioni marginali
    • 5.5.2 Distribuzioni condizionate
    • 5.5.3 Condizionamento da un evento
      • le variabili casuali 5.5.4 La formula della probabilità totale e la legge di Bayes per
  • 5.6 Indipendenza di variabili casuali
  • 5.7 Funzioni di una variabile casuale
    • 5.7.1 Il metodo delle trasformazioni
  • 5.8 Somma, prodotto e rapporto di variabili casuali
    • 5.8.1 Somma di due variabili casuali
    • 5.8.2 Differenza di due variabili casuali
    • 5.8.3 Prodotto di due variabili casuali
    • 5.8.4 Rapporto di due variabili casuali
    • 5.8.5 Variabili casuali indipendenti ed alcuni esempi
  • 5.9 Funzioni di un vettore casuale
• 6 Caratteristiche numeriche delle variabili aleatorie
  • 6.1 Valore medio
  • 6.2 Momenti di ordine superiore
    • 6.2.1 La varianza di una variabile casuale
    • 6.2.2 La disuguaglianza di Tchebycheff e il teorema di Bernoulli
  • 6.3 Ulteriori misure di tendenza centrale e dispersione
    • 6.3.1 Valori caratteristici di forma
• 7 Momenti di variabili casuali multidimensionali
  • 7.1 Momenti congiunti
    • 7.1.1 Covarianza e correlazione
  • 7.2 Alcune disuguaglianze notevoli
    • 7.2.1 La disuguaglianza di Cauchy e Schwarz
  • 7.3 Momenti di una distribuzione condizionale
    • 7.3.1 Momenti di ordine superiore condizionali
      • pendenti 7.3.2 Somma di un numero casuale di variabili aleatorie indi-
    • 7.3.3 Il modello dell’urna
• 8 La legge di Gauss e alcune distribuzioni collegate
  • 8.1 Proprietà della densità normale
    • 8.1.1 Momenti della distribuzione normale
  • 8.2 La variabile casuale log-normale
  • 8.3 Distribuzione di Cauchy o di Lorentz o di Breit-Wigner
  • 8.4 Distribuzione di Erlang
  • 8.5 Distribuzione Gamma
    • 8.5.1 La variabile casuale chi-quadrato
  • 8.6 Distribuzione Beta
  • 8.7 Distribuzione Rayleigh
  • 8.8 Distribuzione t di Student
  • 8.9 Distribuzione F di Fisher
• 9 Funzioni generatrici
  • 9.1 Funzione generatrice dei momenti
• 10 La convergenza stocastica e teoremi limite
  • 10.1 La convergenza delle variabili aleatorie
    • 10.1.1 Convergenza in distribuzione
    • 10.1.2 Convergenza in probabilità
    • 10.1.3 Convergenza in media r-ma
    • 10.1.4 Convergenza quasi certa
  • 10.2 Teorema limite locale
  • 10.3 Teorema limite integrale
  • 10.4 Legge dei grandi numeri
    • 10.4.1 Legge dei grandi numeri nella forma di Tchebycheff
    • 10.4.2 Legge forte dei grandi numeri
    • 10.4.3 Il teorema centrale del limite
• 5.13 Dominio di integrazione della (5.94) per il calcolo di FY −X (z).
  • ove z è un numero reale positivo.
  • per ogni z numero reale negativo. 5.15 Dominio di integrazione, D, della (5.94) per il calcolo di FXY (z)
  • per z numero reale positivo. 5.16 Dominio di integrazione, D, della (5.94) per il calcolo di FY /X (z)
  • con z numero reale negativo. 5.17 Dominio di integrazione, D, della (5.94) per il calcolo di FY /X (z)
• 5.18 Significato geometrico del modulo di un prodotto vettoriale.
• 5.19 R ⊂ A.
• 5.20 S ⊂ D
• 5.21 A ≡ {(x 1 , x 2 ) : fX 1 X 2 (x 1 , x 2 ) > 0 }.
• 5.22 D ≡ {(u 1 , u 2 ) : fU 1 U 2 (u 1 , u 2 ) > 0 }.
• 6.1 Funzione di densità di Pareto.
  • varianza. 8.1 Funzione di densità di v-c normali con la stessa media e differente
  • varianza. 8.2 Funzione di densità di v-c normali con la media diversa e identica
• 8.3 Funzione di densità n(x) della v-c normale standardizzata.
• 8.4 Funzione di distribuzione N(x) della v-c normale standardizzata.
• 8.5 Un esempio di distribuzione log-normale.
• 8.6 Esempio di distribuzione log-normale al variare di σX e μX costante.
• 8.7 Esempio di distribuzione log-normale al variare di μX e σX costante.
• 8.8 La distribuzione di Cauchy per alcuni valori di θ e γ.
• 8.9 Funzione densità di probabilità di Erlang fissato γ.
• 8.10 Funzione densità di probabilità di Erlang per n costante.
• 8.11 Grafico della funzione gamma con x ∈ [0. 2 , 4].
• 8.12 Densità di probabilità Γ(α, β).
• 8.13 Densità di probabilità Γ(α, β).
• 8.14 variabile casuale χ^2 n.
• 8.15 Distribuzione di Rayleigh.
• 8.16 Densità di probabilità t di Student per tre valori dei gradi di libertà.
  • libertà. 8.17 Funzione di distribuzione t di Student per tre valori dei gradi di
• 8.18 fTn (x), per n = 20, vs n(x) per x ∈ R.
• 8.19 Densità di probabilità della variabile casuale Fm,n.
• 8.20 Funzione di distribuzione della variabile casuale Fm,n.

CAPITOLO 1

Definizione assiomatica di

probabilità

1.1 Concetti introduttivi

1.1.1 Oggetto della teoria della probabilità

Spesso lo scopo della ricerca scientifica è la formulazione di una adeguata descri- zione matematica di un fenomeno naturale o di un processo artificiale. L’idea- lizzazione matematica di un fenomeno osservabile viene genericamente chiamata Modello. I fenomeni che possono essere osservati, siano essi naturali o artificiali, si suddividono in due categorie fondamentali: fenomeni deterministici e fenome- ni casuali o aleatori^1. Un fenomeno è detto deterministico se, note le condizioni iniziali del sistema al quale esso si riferisce, è possibile prevederne esattamen- te l’evoluzione. In questo caso il modello che descrive il fenomeno in studio è

(^1) Alea in latino indica il dado, l’aggettivo aleatorius è traducibile come riguardante il gioco dei dadi o d’azzardo

2 Capitolo 1. Definizione assiomatica di probabilità

una legge matematica. Consideriamo il sistema solare, il moto dei pianeti intorno al sole è descritto dalle leggi di Keplero che rappresentano la idealizzazione ma- tematica di questo particolare fenomeno naturale. Esse, fissata una determinata configurazione iniziale, consentono non solo di prevedere con precisione le posi- zioni relative dei pianeti nel futuro ma anche di calcolare le traiettorie seguite nel passato. La legge di Ohm è un ulteriore esempio di modello deterministico: in un circuito elettrico composto da un resistore R alimentato da una tensione continua V , la corrente I che fluisce nel circuito è legata alla tensione applicata ed alla re- sistenza del carico dalla relazione: V = R · I. Una massa soggetta ad una forza e libera di muoversi nello spazio segue una traiettoria che può essere calcolata a partire dalla seconda legge della dinamica,

f = m · −→a , se è nota sia la posizio- ne che la velocità iniziale della massa m. Diversamente da quanto avviene per i fenomeni deterministici, per i fenomeni casuali non è possibile stabilire una legge matematica che ne descriva l’evoluzione futura anche essendo nota la storia pas- sata del sistema. Per tali fenomeni si adottano i cosiddetti modelli probabilistici^2 o stocastici. Supponiamo di lanciare più volte una moneta; non vi è possibilità di prevedere con esattezza l’esito del lancio anche se è noto l’esito di tutti i lanci pre- cedenti. Un esempio analogo è costituito dalla previsione del sesso di un neonato, noto il sesso dei bambini precedentemente nati nello stesso presidio ospedaliero. In entrambi gli esempi precedenti, lanciando ripetutamente la moneta o registran- do il sesso dei neonati per un lungo periodo di tempo, si osserva che la frazione di esiti testa, o di neonati di sesso maschile, è circa 1 / 2. Questo comportamento a lungo termine è chiamato regolarità statistica. I fenomeni casuali che esibiscono una regolarità statistica possono essere descritti con modelli di tipo probabilistico nei quali l’evoluzione del sistema in studio non è descritto da una legge matema- tica ma si determinano relazioni probabilistiche fra le possibili osservazioni. (^2) probabilità, dal latino probabilitas [probabilis + -tas]; l’aggettivo probabilis può essere inteso come ricco di prove, facile da dimostrare, verificabile.

4 Capitolo 1. Definizione assiomatica di probabilità

co o probabilistico per il fenomeno in studio è basata sulla possibilità di riprodurre i dati attraverso esperimenti controllati. Se un esperimento, ripetuto molte volte, produce gli stessi risultati, nei limiti dell’errore di misura, allora è ipotizzabile l’e- laborazione di un modello deterministico. Quando ciò non avviene il fenomeno è considerato, per sua natura, casuale.

1.1.2 Gli eventi

Per esperimento si intende una generica procedura^3 che genera dati numerici. Si definisce esperimento casuale, E, un esperimento che soddisfa le seguenti condi- zioni:

1. tutti i possibili esiti sperimentali sono noti a priori, nel senso che sono ben definiti o precisabili prima dell’esecuzione dell’esperimento;
2. l’esito di una determinata esecuzione dell’esperimento non è prevedibile a priori (casualità);
3. l’esperimento può essere ripetuto in analoghe condizioni;
4. ripetendo l’esperimento un gran numero di volte è possibile stabilire una regolarità statistica.

Ogni singola esecuzione di un esperimento casuale viene detta prova. Esempi di esperimenti casuali sono: il lancio di una moneta, l’estrazione di una carta da un mazzo di carte francesi, la misura del tempo di funzionamento di un componente elettronico, la determinazione della glicemia di pazienti diabetici, la misura del tempo di attesa di un paziente in pronto soccorso prima che gli siano praticate le prime cure, la misura della quantità di grano prodotta per ettaro e per tipo di (^3) La procedura può aver luogo spontaneamente o essere realizzata intenzionalmente.

1.1 Concetti introduttivi 5

fertilizzante in una data area di produzione, la quotazione in borsa di un titolo azionario, il prezzo del petrolio su mercato di Londra e così via. Si consideri un esperimento casuale; si definisce spazio campionario, o spazio campione o spazio delle prove o spazio dei campioni, l’insieme dei possibili esiti delle prove. Lo spazio campionario è tradizionalmente indicato con la lettera greca Ω. I possibili risultati dell’esperimento vengono detti punti campionari, o punti campione, o esiti elementari. Un punto campione è denotato dalla lettera ω. Uno spazio campionario può essere discreto, finito o numerabile, oppure continuo.

Definizione 1.1.1. Uno spazio campionario Ω associato ad un esperimento casua- le E, è un insieme di elementi ω, i punti campionari, che verificano le seguenti condizioni:

• ciascun ω ∈ Ω denota un esito dell’esperimento;
• ciascuna esecuzione dell’esperimento produce un risultato al quale è asso- ciato un singolo elemento ω ∈ Ω.

Esempio 1.1.1. Lancio di una moneta I possibili esiti sperimentali associati al lancio di una moneta sono solamente due: testa e croce; pertanto si ha: Ω = {T, C}. Se la moneta viene lanciata due volte di seguito, lo spazio campionario è dato da:

Ω = {T T, CC, T C, CT }.

Se si è interessati al numero di volte che esce testa lanciando consecutivamente n volte una moneta, lo spazio campionario è costituito dai numeri naturali da 0 ad n:

Ω = { 0 , 1 , 2 ,... , n − 1 , n}.

1.1 Concetti introduttivi 7

Osservazione 1.1.1. Non tutti i sottoinsiemi di Ω sono eventi; affinché un generico sottoinsieme di Ω sia un evento esso deve essere osservabile, in altre parole deve esistere la possibilità di decidere, inequivocabilmente, se quest’ultimo si sia veri- ficato oppure no, ovvero se il generico risultato ω della prova appartenga (ω ∈ E) o non appartenga ad E (ω /∈ E). ◦

Esempio 1.1.4. Lancio di un dado Nel caso del lancio di un dado, lo spazio campionario è costituito da sei punti campione, si ha: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. L’evento numero pari è il sottoinsieme E = { 2 , 4 , 6 }. Se il lancio dà come esito ω 2 = { 2 } o ω 4 = { 4 } oppure ω 6 = { 6 } si dice che E si è verificato.

In generale un evento è definibile anche da una proposizione. L’evento, infatti, oc- corre se la proposizione circa l’esito della prova è vera. Viceversa una proposizio- ne circa gli elementi dello spazio campionario definisce un insieme. Indichiamo con πE (ω) una proposizione riguardo gli elementi ω ∈ Ω e sia E il sottoinsieme di Ω costituito dagli eventi elementari per i quali πE (ω) è vera. Si usa la rappresenta- zione simbolica E = {ω : πE (ω)} per affermare che E è l’insieme di tutti i punti campione per i quali la proposizione πE (ω) è vera. L’evento E occorre se e solo se il risultato dell’esperimento ω appartiene all’insieme E. L’esempio seguente chiarisce quanto appena esposto.

Esempio 1.1.5. Lancio ripetuto di una moneta Se si lancia per tre volte una moneta, lo spazio campionario è costituito da otto punti campione, si ha:

Ω = {CCC︸ ︷︷ ︸ ω 1

, CCT︸ ︷︷ ︸

ω 2

, CT C︸ ︷︷ ︸

ω 3

, T CC︸ ︷︷ ︸

ω 4

, CT T︸ ︷︷ ︸

ω 5

, T CT︸ ︷︷ ︸

ω 6

, T T C︸ ︷︷ ︸

ω 7

, T T T︸ ︷︷ ︸

ω 8

8 Capitolo 1. Definizione assiomatica di probabilità

La proposizione πE (ω), la sequenza di lanci rappresentata da ω ha una testa al secondo lancio, individua l’evento che al secondo lancio si osserva testa:

T 2 = {ω 3 , ω 5 , ω 7 , ω 8 }.

Se l’esperimento casuale dà come esito ω 3 o ω 5 o ω 7 oppure ω 8 , si dice che T 2 si è verificato. Analogamente T 1 = {ω 4 , ω 6 , ω 7 , ω 8 } corrisponde all’evento individuato dalla pro- posizione una testa occorre al primo lancio.

Osservazione 1.1.2. Quanto prima esposto costituisce un primo fondamentale pas- so verso una formulazione matematica dei fenomeni probabilistici. Abbiamo, in- fatti, posto in relazione tra loro aspetti del mondo reale e componenti del modello. Le associazioni finora stabilite sono:

• possibili esiti di una prova vs spazio campionario Ω;
• evento vs sottoinsieme E di Ω;
• occorrenza di un evento vs ω ∈ E. ◦

Prima di proseguire nell’esposizione, chiariamo la differenza tra punto campiona- rio (esito elementare) ω ed evento elementare {ω}. Quando si esegue una prova dell’esperimento E, si osserva un singolo esito elementare ma possono essersi ve- rificati eventi tra loro diversi. Se nel lanciare contemporaneamente due dadi si os- serva la coppia di numeri (2, 4), ω = 24, l’esito elementare ottenuto può suggerire il realizzarsi di numerosi eventi tra loro distinti. Elenchiamone alcuni:

1. il punteggio ottenuto è sei;
2. il punteggio ottenuto è minore di sette;