Scarica Probabilità e Statistica e più Appunti in PDF di Probabilità e Statistica solo su Docsity!
differenza tra probabilità e statistica
- PROBABILITÀ : Dare gli strumenti rigorosi matematici per passare dalla popolazione totale a un campione
- STATISTICA : Fa l’opposto della probabilità, basandosi sulle proprietà della probabilità permette di partire da un
campione per arrivare alla popolazione totale
Modello probabilistico: matematicamente ci viene dato attraverso
la TRIPLETTA DI KOMOGORON
- SPAZIO CAMPIONARIO: insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento casuale.
è finito se contiene un numero finito di casi
è non numerabile se è un intervallo di numeri reali o una regione di
esperimento: due lanci successivi della moneta
esperimento: tempo di usura del macchinario
intervallo non numerabile (non riusciamo a contare gli elementi)
uno spazio di omega viene indicato con omega piccolo e viene chiamato REALIZZAZIONE (ciò
che si realizza effettivamente)
- SIGMA ALGEBRA: classe di sottoinsiemi di omega
EVENTI: elementi di effe, proposizione che siamo in grado di dire se è vera o falsa in base al risultato
dell’esperimento
‣ se w appartiene al sottoinsieme allora l’evento si è realizzato
‣ se w non appartiene al sottoinsieme allora l’evento non si è realizzato
se si realizza l’evento A E l’evento B intersezione
se si realizza l’evento A OPPURE l’evento B unione
se A NON si realizza complementare
se A è incompatibile a B disgiunti
leggi di MORGAN
PROPRIETÀ DI SIGMA ALGEBRA
1. Sia lo spazio campionario completo che l’insieme vuoto devono appartenere ad effe 2. Se A appartiene a effe allora anche il suo complementare deve appartenere ad A 3. Se un certo numero di sottoinsiemi appartiene a effe allora anche l’unione e l’intersezione dei sottoinsiemi
deve appartenere a effe vale anche se la successione è infinita
- PROBABILITÀ: funzione che prendendo un evento gli associa 0 o 1
assiomi che la definiscono:
- La probabilità dello spazio campionario è sempre uguale a 1 — SPAZIO CERTO
PROBABILITA
popolazione campo
statistica
R
F
IP
ma
se x
y
x
y
e
0,
ETF o.o
Ci O o 1 Ci 1
s
s
IRA
semiretta
positiva
NEA
z
E e
7
NE
E
W
E
AMB
AUB
A RIA
AUB 0
CAMBI A
U
B
SEI
A OEF
A EF RA EI
A
A
As An eng
te
Ai
ez
I
Ariete
An en
ey
Few
Ane 7
En
Avez
IP
è
È È
A IP r L
cardinalità: insieme degli elementi
- Prendendo una qualsiasi successione di eventi di effe a due a due disgiunti ( )
allora la probabilità dall’unione è la somma delle singole probabilità
PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ
1. La probabilità dell’insieme vuoto è zero
- Prendendo due insiemi disgiunti la probabilità dell’unione è uguale alla sommatoria delle singole probabil.
in generale (2):
3. Fissato un evento A (conosciamo la probabilità di A) 4. A implica B (se accade A di sicuri accade anche B) —inclusione 5. Prendiamo due eventi distinti A e B 6. Prendendo due eventi A e B
Esempio: spazio campionario composto da solo due eventi
definizione della funzione: bisogna calcolare le singole probabilità
In generale: se omega è finito allora l’insieme delle parti è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di omega
- per definire la probabilità è sufficiente conoscere
Quindi la probabilità di E è l’unione disgiunta di tutti gli elementi di omega:
Aina
O i
PCI
Ai
É
IP CAI
IP O
0
A B E
F
AN B
O
IPCAÙBI IP A PCB
the 1N
Se Ai
i i n e
I
t
c
Ai
NAJ
0
PC A U A2 U An IP CAI PCAL
IP An
IPCAC L
PCA
a
s ANAC ANAC 0
Per
p ama
a PCA PCA PCA
c 2 PCA
A
B
A
E B IPCASEIPCB
a 1 A UAC PCB B MA BN
CAUAC
BRA
UCB
NAC A
U BMAC O
miope
disgiunta
TACA è contenuta in B
IPCBJ
PCAJTIEII.IE
IPCBJ7IPCA
B A BRAC
IP BIA IP BRAC PCB P CATE
BÈ
A
a
B BRA U BRAC
IP B P BRA
IP BMAC IP
BRAC PCB IP BRA
IPLAUB
PCA IP B IP AMB
A
AUB AIB
U
BIA O CAMBI
CASE
In
B PCA PCB Plan
B
A
0,23 7
50,
IP
0,13 1
assioma
IP
o ocassioma
so po
eco
IPC
I
p
e 0,
Potrai
è
I
2
a
IPC w 0W E IR
PLEIN
E
PCSO
È sufficiente conoscere la probabilità di uno
dei su de elementi per definire la funzione
REGOLA DI MOLTIPLICAZIONE:
prendiamo due eventi A e B (entrambi non trascurabili)
formula delle probabilità totali (o legge delle alternative)
esempio:
condizionando il lancio della moneta:
regola generale delle probabilità totali (partendo dalla partizione di omega)
definizione: partizione di omega
è una famiglia di insiemi tale che l’intersezione è l’insieme vuoto e ricoprono tutto omega
formula delle probabilità totali in generale:
Fissata la tripletta, sia una partizione di omega tale che
regola della moltiplicazione generalizzata:
Siano
Ez femme
ELI
5 PLEA
5 4
3
36
2
A
ieri dado
dei
6 2
223456
Al
6 PCA
G
G
G
IP
E A IP CE MAI IE MAI
PCA
I t
è
a
3136 1112
GIP CELIA
IP EZRA
gg
6
E
EZRA
I 1136
PCA A
PCA B P
CAMBI
PCB
PCB A PCena
CAMBI PCA B PCB
PCA
P BIA
PCA
IPCBJ IPCBNAJTIPCBNACJ
PCBIAJ.IPCASTIPCB.LA PCB
E
iopace sapaccine
sonare
1 aveva
2
so
biancane
abiancee
B Età
IF
PCB
Festa Accetta
pcbiefes.pe
PCA 112
IPCAS
1,
PCB
À 1,
PCB A
PCB 6120
B
Ai
i i n E TITTI È
ce
ai
a
Ai
i n n PCA 0 Hi i n
allora
Keef
PCE IPCE
IAI PCA IPCEIAZJ.PL N IPCEIAnJ.PCAn
È
PCE Ai PCA
IP CAMBI P AIB PCB
A
i i n
E c PCA MA M
An
Econdizione
IB
tiro una moneta se mi esce testa pesco una pallina
dalla prima urna, se esce croce pesco dalla seconda
Applico la regola della moltiplicazione a un insieme più grande
FORMULA DI BAYERS
Riprendendo l’esempio della moneta e delle urne: voglio trovare un modo per ricondurmi al risultato della moneta
andando a ritroso
in generale: sia la tripletta uno spazio probabilistico + sia una partizione di eventi
esempio:
EFFETTO DI INDIPENDENZA
definizione: dati due eventi A e B si dicono indipendenti se
attenzione: due eventi disgiunti sono indipendenti solo se uno dei due ha probabilità nulla
osservazione se allora
se ho 3 eventi: diciamo che A, B, C sono indipendenti se:
- A è indipendente da B
- B è indipendente da C
- A è indipendente da C
definizione di indipendenza: siano n eventi diciamo che sono indipendenti se qualsiasi
sottoinsieme di indici
VARIABILI ALEATORIE:
Sono delle funzioni che vanno fa uno spazio campionario a uno più grande (indicate con la lettera maiuscola)
IP A NAAA
AI
PLATÌ ÀMAMA An
B
P Canta naan _An i
IP
CANTA NAAA _An a
_PCA IA NAAA _An a
IPCAZIAD.PL
F
PCA B
des
Ip
AND p bla
PCA
ÉETPCB
IPCBIAS.PL
S
IPCBIAS.PCPCB EIPCB
Ai
i i n
CIP 0
KEEF
conPCE O IPCAI E PCE Ai PCA PCE Ai
PCA
PCE
E
IPCEIAJJ.PL
j
IP
EIaEEEEE IP
EEEE
O
IIa
IP
IEEE
IP
EEEE
IP CAMBI PCA
PCB
d
I CAIB
IP CAMBI PCA PCB PCA
PCB PCB
IP CBI A PCB
AIB AIB
a
IPCANBC PCA PCBS
CPCARBI
RCA PCB
ACAMBIO
Camba
IPCA.jp
FH
PCAiB 9 IPCANBCJ
PCA
IPCASIPCB
Plan Bo IIII IP AnBC
PCA PCBS Ah Be
IPCAMBI PCA IP B
IP BMC PCB IPCC
CANBMC
PCA IE
PEjIPCA
IPCC
Ai Aa AN
ii iz
inseme
i_
w
con
i
ciao im
IPCAi Maia Naim PCA
IP
Aia
IP Aim
ex
a IR
lasua
realtà
ER IPEX
u x o IP
X x
PIU
er XCw
**N.B. *** continuo da qui l’osservazione fatta sulle due precedenti proprietà
Data una funzione che soddisfa le prime due proprietà allora:
Definito lo spazio sia X una variabile aleatoria definisco la funzione
si dice funzione di RIPARTIZIONE
Se X è aleatoria discreta allora ho un modo più semplice per scrivere la funzione di ripartizione:
Esempio delle due monete:
Proprietà della funzione di ripartizione
3 la funzione non è continua però esistono delle priorità di continuità da destra o da sinistra
la funzione è continua da destra
nel caso discreto
dimostrazione
3
Esser
esempio
IPCXEBI
jgg.fm
i a 12
B x
IR 0,
fca
p
O
Ics
p
o
Sex
e
Bo
z i
p
Sco
p
o
p
X 30
p
so
p
CX
X
d
R
F
IP
Fx IR 0,
x Fx X
P XIX
Fx x P XIX
EL
y
C
Ey
IP ex
y
Fx
X Fx
O
IP x O
IPCx OS
I a
sì
IP xsl
po
Pi 314
a
P
x 2
po
p pa
I
sia
x
o ex
i
f
x
a i a
po
X
Ey
Fx X E Fx
y
x
EX E
EEG
IP EX
E IP
Asg
finito
Fx x L
fine
Fx x 0
GIA
F Cx Fx zo
sto E _pasto
ma
ipcxexo.ES IPCxszo
kxoeiRIiefinzo
Fx Plx zo FIFÌ
figo
Face
IP x zo
L
zo
agnaceaceadensità
fa
b EIR
IP
a
b Fx
b Fx a
b Ia stia
PC a Fx a
IPCxSb Fx
b
IPCa
x
b PLEX ED
I XEa IPC
x
ES IPCX sa Fx Cb Fx
a
Se voglio calcolare la probabilità che la
somma sia 8 basta sommare tutti gli elementi
di V intersecato a B
Tale condizione definisce
una variabile aleatoria
Sono sicura per forza che, essendo una funzione
non decrescente è continua da destra, esiste il
limite che tende a xo da sinistra
Se conosco una singola funzione di ripartizione so calcolare tutte le
probabilità che mi interessano facendo la differenza tra i valori della funzione
Nota bene: sia X una V.a. discreta con funzione di ripartizione Fx
VALORE ATTESO DI UNA VARIABILE ALEATORIA o MEDIA ( caso discreto)
- se V è finito:
esempio:
il valore atteso della variabile aleatoria non è necessariamente un valore assunto dalla variabile stessa
- Se V è numerabile:
se è assolutamente convergente
altrimenti
Proprietà di
2. linearità della media
esempio: (lancio la menta due volte e ogni volta che esce testa mi danno 3€)
3. Sia X:
g(x) è una variabile aleatoria
Variabile aleatoria:
Descritta completamente da densità o funzione di ripartizione
Le sue caratteristiche: valore atteso, varianza (spiegano come si comporta una variabile aleatoria)
VARIANZA DI UNA VARIABILE ALEATORIA X ( DISCRETA )
Sia X una variabile aleatoria discreta con si dice varianza di X la quantità:
e si calcola come
Per essere definita dev’essere assolutamente convergente
Proprietà di varianza:
1. È necessariamente positiva 2. Modo più semplice per scriverla
I 3
C C
IPCa
b
P X a
U a X E
b IP X a IP a XE
b Fx a
GIA
E G IE CSI
Fx
fa
IP a sx
e b lim
b
FX
X
Fx
a
IP a sx
b
fg
_Fx
x
Gira
Fx
x
1
ja
e
Paesi
LE
x
LEI z
E
AD
ALAN NGAN
x az
aw
E
ZE
x
E
Z Pax
z
x IIIe LEI
co
L.j
ce
2 0 1.212 2.2 a L
SIETE LEI
EI
i
E
ci 2 1136 3 2136
1136
Gaffe
peessemerepcx
a.at
XK KIL
E
AKE
tu
q
E
tu
L
can too
LEI
ETA
min
V E LE E
Max V
ta b e IR
y
ax
by
3 2
fy
i i a
fy
a 112
8g
7 i a Ely
4
3 x L
IPCX C L LEI C
Sia X sia
g
IR IR
EEG
x
F
g
x
f
a
es
E
a
x
02
f
co
22 s 22
EEE
LE
E IR Var x LEI MI
E Ca n
L
x
a
E
Ca a
x
Var
x 70
Var x LFA ma
C’è solo un salto e
vale esattamente 1
valori assunti dalla
variabile aleatoria X
proprietà della variabile geometrica:
dimostrazione: è equivalente a dire
Perché sappiamo che:
voglio dimostrare che:
variabile di Poisson
fissato e V =
Densità discreta:
Valore atteso:
Varianza:
viene utilizzata per modellizzare gli eventi rari
fissato k
variabile aleatoria ipergeometrica
Densità discreta:
Valore atteso:
VETTORI ALEATORI: tale vettore aleatorio si dice discreto se entrambe le componenti sono discrete
Oppure (definizione più generale):
EI
K C1 p PIÙ se a t
p
g
x
FI
K
g
x
a
μ
PII
K ci p p
2 p
Geo
P
a e
μ
gg
PCI
P
tent corso
O aut
Plx ntm x
m P x n
Pex ntm Ix MI P Cx n
PLX
K
FI
IPCx G
IP x htm Ix m
Em
IP
x
mah
Ix m
IP X m n
I m P
man
A x m PA
man
IPC
x m IPCx m
geometra
p
i
p
man i
i ppm
iii
Iiii
A O
pepe
Poi
R
0.1.
IN
o
se
Che
II
e
a
Iii
IL
II XIX É
a I è
É
Rt
e
a
Ea a
è
Var X R
n
Bin n RAT
E IN
IP Xo
K I I
I
se 00
Pax
K
X
Hyp
N M n
e
tu
con
N M n
N
g
Per
Ken
Ch
i
0 perk
n
N
x 4 ERI
Se gli eventi sono tanti la probabilità
che avvengono è molto bassa
X approssima una v.a.
binomiale Xn per n grande
insiemi al più numerabili tali che
densità congiunta discreta: è la funzione
proprietà:
densità marginali: sia (X,Y) una v.a. discreta con densità congiunta si chiamano densità marginali le seguenti
funzioni e definite come segue
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE: si dice assolutamente continua se esiste una funzione
detta densità continua tale che
esempio
proprietà della densità:
differenze fondamentali tra v.a. continue e discrete
- interpretazione della densità
IV
V IP XEVI L IPC Eva
L
Ix n
IN 0,
x
y fax
x
y
Ipex x Y
y
o pccx.us
x
y
1
f a
ix
g
te
g
E vi va
Esafora E
E
Sa
casi
a
c a
b
x c
3 di
te
E
là
da_
a b
IPCCx Y E C E
Sexy
x
y
casecnn.ua
PCC
e c
Iaea ee
x.usCx.s
IXa
Sy
FCX
X
L
x
Efx
y
XX E VI
PLY
g
fa
y
fu
fax
Cz
Hye
Va
IR IRT
FCX
è
CE At KX E IR
o
soddisfece
IIII
airone
1 Fece
sexy
Fx se xe
X
I
e
ax
continuadadestra
ftp.ooexcxs
ogz.oex
z
Fx
X
è
f
t de
se x
O
fà
fa
E de 0
Fx
z
se
x o
fà
f
e de
IL
E
d
Zedde 1 e
Fa
ca
I
f
x O HA EIR
S
t
2 de l'm
1
t
cit
finto
è
a o
Fx
x L
3
IP
a
x
b FxCb Fx a
LE
a da
fès
calda
a
casa
n B
via discrete
Pca EX E b
E
Sx
Ce
Varianza:
Funzione di ripartizione:
variabile esponenziale: modellizza il tempo di vita di un qualsiasi oggetto non soggetto a usura
Densità discreta:
Valore atteso:
Varianza:
Funzione di ripartizione:
Proprietà dell’assenza di memoria (dimostrazione)
variabile normale (o gaussiana) :
X si dice variabile aleatoria gaussiana di parametri
Densità discreta:
proprietà della variabile aleatoria normale
Var X b
a
a
x
a
e
a
b
X 7 b
Exp
CR
a
I e
se x
o
se 27 o
IIx
I A
Var CX I Ra
off
ce cit
O se
a o
Fx X
ÉL
e de Re Atene i e
tà
Vs E
O
IP x STE I
S P Cx
E
Fx S I e
as
IPC
x s I Fx s Ei
IPC
x
STE
X
SI IP X STE N
X S IP STE e
E
P x S IP x s
e
RCD
e
Rt
P x E
x Nin 09
MEIR
Gert
a
1
Vita
e
2 sia x Nere
ta b e IR
y
ax b X NCantb
aaaa
Lb x Nin
2
se a
ila e b
ma
X
nein
me
0 x arco
i
Z NCO 2
X O E tu E
Cm.az
TANDARDIZZAIONE
2
X
Nin
7 E NCO i
x
E OEM
O È
tu p
Vortex Vartoztu
02 Vai z
02
La densità la ricavo sempre
derivando la funzione di ripartizione
quantile di coda destra di ordine di
normale STANDARD
Densità discreta:
Valore atteso:
Varianza:
Funzione di ripartizione
proprietà della normale standard
quantile di coda destra di ordine
per la normale
VETTORI ALEATORI CONTINUI:
def. sia si dice densità continua BIDIMENSIONALE (congiunta) se
Def. definisco (X,Y) vettore aleatorio continuo se esiste una funzione densità continua
proprietà dei vettori aleatori continui:
1. X è una v.a. continua di cui conosco la densità:
3 X Nin
a
NCO i
Fx
A
P XIX
P
CX
E
a n
I
Io
a
J
4
a
a X Nin or
a ozo.tn
μ
ore E X m
μ
o
è I
a
2
μ
e
IEEE
L
z e
TÌ
Ma o
Var E IEEE CELE
L
FE
x e
242
e
de
a 1,25 Feci
I
x Fa a
Io o 112
Io
c
x
I E Ch
e per
Z
n NCO 1
E CE a p Zaza i
a
za E_
i a
Inverta
E i
e Ea
f
IR IR
2
fcx.gs
so
tcz.gs
era
2
ffà
è
da
a
Sx
ta b c d
IP e ta b
9 E c d
fax
ix
g dy
da
te
e
IR
IPCC x y Ec
fa
y
x
y
da
dy
x
LÌ
x
y dy
fa
y
Lff
x
y
di
IETx
L
X
fax
da
E 4
L
y 8
y dy
Non si può scrivere
in maniera esplicita
ma esistono delle
tavole (della
normale standard)
Se la covarianza è positiva le variabili sono positivamente correlate
Se la covarianza è negativa le variabili sono negativamente correlate
Se la covarianza è uguale a 0 le variabili non sono correlate
Proprietà della covarianza:
1 simmetria
dimostrazione 10
def. siano X,Y variabili aleatorie continue
definisco il coefficiente di correlazione
allora esistono a, b tali che
dimostrazione
5 se X e Y sono indipendenti allora la covarianza è uguale a zero
dimostrazione 13
v
a continue
car x 4 x mx
y
my
f g
x
y
dy
dx
Con
x
y
Var
x
IIII.ua
Cor x y E X 4
ETA 4
la
cor x y
cerca X
ta b
c der
cor at b card
a c con
cx.us
ax b
mano
Conte nauta
IEEaxtbj aezxitb a.mx
b vale anche per
c a
IEECaxtb maxxbsccutd.nu
EEcax y amx
b lcytd eng
d
YEECax
maxsccy meysI
ELacx
uxsccy.my
perlinearità del Ex
ac
ELA Ax
y
my
a c
con
x y
cou x
412 E varca varca
disuguaglianze
di c s
o Varca
too e
o Varca too
f
x
y
cerca 4
Vvarcavarca
È
pcx.gs
E
1,
pcx.us
1 ER PCU ax b
a
o
p
x
y
o con cx.ms
o
Var
x
4 Varca
varca 2 con Cx 4
Mx
TEEN
My
IEExt
mx
My
Varcata ETA U Ax
Nyt
ex un
y
my
acx
uxscy.mg
varco varca zcovcx.us
EEx.gs muy
Cor
x
y E
Ex 93
any
many muy
0
Esempio: età e numero di scale che si
salgono senza fermarsi. Più aumenta
una più diminuisce l’altra
nota bene: se la covarianza è nulla non è detto che siano indipendenti
VETTORI N-DIMENSIONALI ALEATORI
n variabili aleatorie discrete o continue, diciamo che le variabili aleatorie sono indipendenti se
somme di variabili aleatorie indipendenti e notevoli
Per induzione potremmo dimostrare che
3. Siano
In generale
TEOREMI LIMITE:
Def. si dice successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite se:
1 qualsiasi sottogruppo di variabili aleatorie è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti
2 hanno tutte la stessa legge hanno quindi stessa varianza e stessa media
Legge dei grandi numeri (formulazione debole)
Sia una successione di variabili aleatorie i.i.d. con media e varianza
allora possiamo definire
In generale non ha una legge nota
many many
0
x XN
EE
tw
f
czii
Lacza Lacan
Hai aw eri
x X2 3
conoscoeaeegge
W xitxztxsceeg.ge
x Bern p
a
Benny
a
legge
diritta
Wax x e o 1,
SCO
Pix o Xa O
i
pt
w Bin
p
g
i Pax o a 1 ipex i Xa c ap
g
P
x
I
D
P
pew
o
L pi
gu
Cx 0
Pcw
2pct
p
PCW 2 pa
PCW x O Hx
0.1.
nello Xa
Xo ti Ben Cps
ti i _n indio
X PCR
PCI
1
O
I o
f
a
Cn.ms
9 Poi
Rttr
X
NIM Of
Nena 022
Titta Cui ma fior
nonvazepertureee
v a
Va
Be IR ex Bra
Nam
Bua
GO.at
BOE
Xm nein
Guinan
Ix
or
a
Annan
μ
02 00
In
IÉ
Xi
complementare
te
o
Ging
PCI xn mi
E 9
gigoopcixn.nl
e
0
ELENI N Varcen
gr
Xu
L
exit tw FIN
Indipendenti
Indipendenti
Media pesata dei risultati
degli esperimenti
STATISTICA INFERENZIALE
presa una popolazione rappresentabile da una v.a. X di cui conosciamo alcune caratteristiche
esempio: X è esponenziale ma non conosco il parametro. La statistica estraendo un campione casuale e usando i
valori ottenuti dal campione stima le caratteristiche mancanti.
def. data una popolazione X con funzione di ripartizione si dice campione casuale di taglia n una n-pula
di una variabile aleatoria iid con legge
La statistica usa i dati per:
- cercare possibili valori di
- validare modelli con assegnato
STIMATORI:
Si chiama stimatore di parametro una funzione del campione
usata per fare inferenza di
N.B. osservo il campione inserisco i valori ottenuti nella funzione
esempio: ho una moneta truccata di cui non conosco
stimatore corretto
stimatore distorto
Stimatori speciali (media e varianza campionaria):
Sia campione da distribuzione con media e varianza incognite
scelgo come stimatore di
scelgo come stimatore di
proprietà della media campionaria
Fx
Cx tw Fx
o
o
Cx xn
O
Cx xD
xi.az
_xD
e no _a
ottengoeastimaace
valoreincognito
PER
LIETTE
Ber
x xn Xi
Bercy
zxitxg.i.tw
H
x _xD
stimatore
amen
mia
3
Caixa
tu
sax xo
media
bias
e
o OCA o nonostante
N O
LEO x
xn o
μ
a
i
xi xD Fx μ
o
e
a
M
Xo
È
i
mediacampionaria
è
n
O 5
È
Cx Io
no
no
ampio
netti
con crisi iid
correnopeau
2 ELENI LEE ht HN
I
CETI
Exo
ng
μ
stimatore
2 Var In 02in
errore
quadratica medio
percacesseacigranainumeri
KE
o lim
ns.olPCxw
u E Io
campione di una variabile aleatoria iid
stimatore consistente
per il teorema del limite centrale
proprietà della varianza campionaria
Stimatore consistente
uno stimatore è consistente se
ERRORE QUADRATICO MEDIO
errore medio di uno stimatore:
Chi quadro di grado n
Densità discreta:
Valore atteso:
Varianza:
* non è simmetrico quindi il quantile di coda destra e sinistra sono diversi *
t-di student
Densità discreta:
Valore atteso:
Varianza:
Quantili:
CASO PARTICOLARE
campione normale
xn a Niu
no
San
2
n 2
iI
Xi Xa
a
Isee
vacce atteso
I SI
02
E
O
figo
IPC
a Ch Xa
Xo
O E
0
IEEE
x xD 01 IET
Cxn.xw
III
L
Var x Xn
Cn
X n
Zi NCO 1 i l n Cn
zia ZE zar
È
zia
variabile
aleatoria
o
O
a
In
E
E_
12
a 7,
Istantedi
Cn
n
normalizzazione
Var Cn 2m
Tu E Ven n
x
ti
È'È
Heer
d'e
42
LE Tu 0
Var Tn n
n 2
ta n Petr
y
ta
n e
Iafet
acne
ta
Xi Xa Xn iride
Xi Nem
02 ti l n
XN
NCM.gr
tre IN
Xu si
III
c
accianado
n 1 Sn
02
È
Xi 5
a
X Cn
1
n n
fitti xw
u
Nco.is
stimatore corretto
