Probabilità
Un esperimento aleatorio è un fenomeno di cui non riusciamo a prevedere il risultato con certezza.
L’insieme U di tutti i possibili risultati di un esperimento si chiama spazio campionario o universo.
Un evento è un qualunque sottoinsieme dello spazio campionario; un evento formato da un singolo
risultato dell’esperimento è un evento elementare.
Chiamiamo spazio degli eventi l’insieme di tutti gli eventi che si possono associare a un esperimento,
cioè l’insieme delle parti di U.
L’insieme universo U è l’insieme di casi possibili mentre il sottoinsieme E rappresenta l’insieme dei casi
favorevoli.
La probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero di casi favorevoli f e quello dei casi possibili u
quando sono tutti ugualmente possibili.
p
(
E
)
=f
u
Dati due eventi E1 E2 di uno stesso spazio campionario:
- L’evento unione o somma logica (o evento totale) è l’evento E1E2 si verifica quando è
verificato almeno uno degli eventi E1 o E2
- L’evento intersezione o prodotto logico (o evento composto) è l’evento E1 E2 si verifica
quando sono verificati entrambi gli eventi E1 ed E2
Due eventi E1 ed E2, relativi allo stesso spazio campionario, sono incompatibili se il verificarsi di uno
esclude il verificarsi contemporaneo dell’altro (E1 E2=). In caso contrario sono compatibili.
La probabilità della somma logica di due eventi E1 ed E2 è uguale alla somma delle loro probabilità
diminuita della probabilità del loro evento intersezione.
La probabilità del prodotto logico di due eventi E1 ed E2 è uguale al prodotto della probabilità
dell’evento E1 per la probabilità dell’evento E2 nell’ipotesi che E1 sia verificato.
p¿
Possiamo generalizzare il teorema precedente al caso di n eventi a due a due incompatibili, E1, E2, …, En
ottenendo la formula
p¿
che è la probabilità totale.
Due eventi E1 ed E2 sono:
-Indipendenti se il verificarsi di uno non influenza la probabilità di verificarsi dell’altro
-Dipendenti in caso contrario.
Dati due eventi E1 ed E2 con
p
(
E1
)
≠0
si chiama probabilità condizionata di E2 rispetto ad E1 e si indica
con
p
(
E2∨E1
)
la probabilità che si verifichi E2 nell’ipotesi che E1 sia verificato.
Schema delle prove ripetute
Dato un esperimento aleatorio ripetuto nelle stesse condizioni n volte e indicando con E un evento che
rappresenta il successo dell’esperimento e ha probabilità costante p di verificarsi e probabilità q= 1-p
di non verificarsi, la probabilità di ottenere k successi su n prove è:
p
(
k ,n
)
=
(
n
k
)
pk×q n−k
Teorema di Bayes
La probabilità che essendosi verificato un evento E la causa che sta alla sua origine sia l’evento Ei con i=
1, 2, …, n, è
p
(
Ei
|
E
)
=p
(
Ei
)
× p ¿ ¿
dove
p(E)
è la probabilità dell’evento totale
p
(
E
)
=p
(
E1
)
× p
(
E
|
E1
)
+p
(
E2
)
× p
(
E∨E2
)
+…+p(En)× p(E∨En)
e gli eventi E1, E2, …, En sono una
partizione dell’evento campionario U.
La frequenza relativa f(E) di un evento sottoposto a n esperimenti effettuati tutti nelle stesse
condizioni è il rapporto fra il numero delle volte m in cui E si è verificato e il numero n delle prove
effettuate. Frequenza 0 non significa che l’evento è impossibile ma solo che non si è mai verificato.
Viceversa con 1.
