Probabilità - Parte 1, Schemi e mappe concettuali di Probabilità e Statistica

Scarica Probabilità - Parte 1 e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Probabilità e Statistica solo su Docsity!

Probabilita -

Prima

parte

&

I

S

I

S

,

,.

I

I

Funzioni

,

Immagini

e

control imagini

1) X

(E)

=

r

x

(n -

(x)

X

· X =

X(w)

fr 2) X(x

(B))

= B

y

= h(x)

3) x - (x(A))

= A

·

w

h

(c)

= h(X(w))

E

C

F

x "

(BC)

= (x

(B))

9

5)X -

(YBa)

=

y(X

x)

Y 11

spazio di

bernoulli

: m

= So

,

i

in

·

Tripletta

di

Kolmogorov

Andrey

Nikolaevich

Kolmogora

,

Russia

PROBABILITA > Def

.

Assiomatica nel 1933 ne

Modello

probabilistico

:

fenoment

"Concett

fondamental

del calado

= (x

,

A

,

P)

ALEAtori

delle

probabilita"

L

·

o-algebra

o additivita

C

part. discreta

·

B(IR) =:

o(2) con

e =

((a

,

b))

xxa

= b =

a)

·

Cpd

,

A

=

o(l)

p(n)

= IP((n)

Ene]

,

p

: I -[

,

determina

completamente

la

prob

suA

2. Data

p

: I

R allora

(POEPsuA/n

= pin

test

· PROBABILIT IPIAIE) =A

CONDIZIONATA

Electi

la

funzione

IPC

:

/E)

: -[

,

1]

e una

map

·

Formula di

Disintegrazione

:

IPIA)

=

AnEn)

VAEA

Formula

delle

PROB

. TOTALI

:

IP(A)

=

AIEn(IP(EN)

Fu

~

0

Formula

della MOLTIPLICAZIONE

: IP) Ain

...

1An)

= IP(A1)

IP(AzIai) PlazIainAz) .....

IP(An)

Aln ...

1An-1)

Eventi indiPENDENTI

,

condizionatamente di

pendenti

, famiglia

di eventi

indipendent

Una

classe

l EA e un -Sistema

per

A se

1. oll) = A

Ce chiusa

per

int.

finite

Criterio di

uniata di

Caratheodory

: ( ,

A) s .

probabilizzabia

,

IP

,

Q z m.

d . p

.

sua. Sia

eun it-sist.

per

A

. Allora se

Ple

=

Q

,

doe IP(c)

=

Q(c) Fel

=>

IPIA)

=

Q(A) FAEA

[P

= Q su

tulta

Al

VARIANZA

O"

= E[(X-N)2]

DISUGUAGLIANZA

IP((X

E(x)),

a)

&

di CHEBYCHEL

· h

mis

,

E(h(x))

=

(h(x)d

**(x)

= E

(h) Fho

,

he

MISURA di LEBESGUE

SU B

: m

:

B(IR)

[

,

x)/1)

m((a

,

b])

= b

• a F - xxacbcd

7! m 2)

m e o ADDITIVA

[m[Bn) =

mIB

(m)

=

[h

: /R-IR

bordiane/(h/dica) poiche

mi)

= n

Non Vale che

&

· h

limitata * hell

(am

=

d- a

·

2(9(pc

• d

-x)=

29xP

=

hd

con

her

limitatare

Riem .

integrabile

SPAZI PRODOTTO

(EXF

,

&

pil piccola

o-algebra

che contiene il

prodotto

cartesiano

lettore

E

:

(x)

:

(AEXF

W

h :

(EXF

,

EQ7)

- > (I

,

BIR))

allora

h(x

,

: (F

,

z) -IIR

,

B)

Exte

h 10

,

y)

: (E

,

• (IR

,

B)

FyEF

Fubini Tonelli

(E

,

E

,

Q1)

e (F

,

,

Q2)

sp

. Valgano

J!

/P :

2x

-[

,

map/IPlAXB)

= Q

, (A) Q2(B)

IP

=

QQQ

2) #f

: EXF

[

,

x)

7 mis Y

/ef(x

, y)dQe()

z-mis

x

(

=

f(x

, y)dQ2(x)E-

Mis

e vale

(d

=

(f(x)d(x

=

(f(x)dQ(x)dQ

3) #f

: EXF-IR

,

felTexF

,

207 ,

Deal

allora

X - >

f(x

,

y)e(2(Q) fyeF(Q

ac)

y

f(x

,

y)e() (Q2)fX E(Q

qc)

x

(

_

f(x

,

y)dQz(y)e(t(Q)

y

(

_

f(x

,

y(dQ

, (y)e(1(Qz)

·

X1y

= R ***

Y

COVARIANZA COV(X

,

Y)

= E[(X-ENs)(Y-ECYA

X

,

YeL

ICOV (x

,

Y)1 < VARIX) VAR(Y)

+xy

=is

[xT = CX

·

(x = E[(X

Nx)(x

Nx)

] -> 1)

ssdp

a

T

Cxa

Fac IRM

2)Nx

= 0

• (a

,

x) =

0 ga

Cy

= ACxAT

Funzione Caratteristica

: Y:

IR"- >C data da

Y(u)

=

Snei

dP(x) Fun

caratterizza P

IP

mudp su Bu

continua

,

umitata

,

4lo) = 1

~

X - (m((p)

Txcm

e (x(u)

=

iME(X

....

Xume

y= Ax + b

Yy(u)

=

ei(

,

b)(x(AT u)

LEGGE della

(x

,

X2)

vet .

al

.

Con

plX2 suB

e

Y= Xi

Xz

SoMMA

[Y

(B)

=

/[B(x

+ x2) d

**

(xx

=

x)

((xx2)e/x+ El

X as cont .

• fy (3)

=

(mf(x

x2)(tyy

• t)dt

3)A discreto - >

Py(y)

=

sy

,

P(X

=

xz)(X),

y

• xi)

Matrice

VETTORI GAUSSIANI YX(4)

= eiUN-

varianza

=

exp(icN,

us

-Eu,

cus]

Fue

·

XNN(N

,

C) NEW

,

Cest(n) =>

Xas .

cont =>

detc + o

·

Un

= llzl

~X

=

(n)

E(Yul

= n

VAR(Vn)

= zu

X

=

(n)

=

P((z

,

·

Th

tin

Eltn

= 0 En

VARITH)

=

Xn

~

N(w

,

04 n)

A

S(n