Probabilità e Statistica: Principi e Metodi - Capitolo 12, Appunti di Statistica

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Capitolo 12

Probabilità

Statistica: principi e metodi

¥ L’ Inferenza statistica ha per oggetto l’analisi di dati ottenuti da un campione casuale e si pone come obiettivo quello di dare “validità generale” alle informazioni desunte dal campione. ¥ Ha come base necessaria la teoria della probabilità.

Probabilità e Statistica

Il singolo risultato dell’esperimento casuale si chiama evento elementare. L’insieme degli eventi elementari viene comunemente chiamato spazio dei risultati o spazio campionario. Si chiama evento un qualsiasi insieme di eventi elementari, ossia un qualsiasi sottoinsieme dello

spazio campionario Ω.

Spazio campionario ed eventi

Consideriamo l’esperimento che consiste nel lanciare un dado e osservare le facce che si presentano. Esempio 1: spazio campionario ed eventi q Evento “uscita di un numero pari” A={2,4,6}

Esempio 3: spazio campionario ed eventi Esperimento del lancio di due dadi. q Evento “somma uguale 7” A = { (1,6),(2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

Operazioni su insiemi

Dato un insieme insieme complementare^ A , si chiama (^) di A , l’insieme dei punti di non appartengono ad S che A Si chiama (^) insieme unione (^) di A e B , e lo si indica con il simbolo A ∪ B , l’insieme costituito da tutti i punti che appartengono ad B , oppure a entrambi A , oppure a Ω Ω

Riprendiamo l’Esempio 1. Sia A l’evento “il risultato è un numero pari” ed E l’evento “il risultato è un numero maggiore o uguale a 4”. Allora: A = {2, 4, 6}; E = {4, 5, 6} ¥ Insiemi COMPLEMENTARI: Ā = {1, 3, 5}; Ē = {1, 2, 3} ¥ Insiemi UNIONE: A ∪ E = {2, 4, 5, 6}; Ā ∪ E = {1, 3, 4, 5, 6} ¥ Insiemi INTERSEZIONE: A ∩ E = {4, 6}; Ā ∩ E = {5} ¥ Insiemi DISGIUNTI: A ∩ Ā = ∅ ; E ∩ Ē = ∅ Illustrazione grafica dell’evento A ∩ E Esempio 4: operazioni su insiemi Ω

La probabilità è una funzione P(·), definita su una

famiglia di sottoinsiemi Ω che gode delle

seguenti proprietà:

¥ P( Ω) = 1;

¥ P( A) ≥ 0, per ogni A;

¥ P( A

1

∪ A

2

∪ ...) = P( A

1

) + P( A

2 ) + ... per ogni successione di eventi a due a due incompatibili.

Probabilità

¥ La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di A e il numero totale dei casi possibili, ammesso che questi siano ugualmente probabili ( definizione classica ). ¥ La probabilità P( A) dell’evento A è il limite della frequenza relativa con cui A si verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto le stesse condizioni ( definizione frequentista ). ¥ la probabilità di un evento è il grado di fiducia che un individuo, sulla base delle conoscenze possedute in un determinato momento, assegna al verificarsi dell’evento ( interpretazione soggettivista ).

Interpretazione della probabilità

Quando gli eventi elementari sono ugualmente

probabili, quando cioè p

i

= 1/ N, ( i = 1, 2, …, N), la

probabilità dell’evento A è

dove n ( A ) è il numero degli eventi elementari

contenuti in A.

Assegnazione delle probabilità

agli eventi

N n A P A

frequenza relativa degli eventi elementari contenuti in A

B: “estrarre un asso o una regina o un re”. È facile stabilire che: ¥ P( A) = 4/52 = 0, ¥ P( B) = 4/52 + 4/52 + 4/52 = 12/52 = 0,231. Esempio 6: assegnazione delle probabilità agli eventi Riprendiamo l’Esempio 2 e calcoliamo le probabilità degli eventi: A: “estrarre un 10”; N.B.: Per il calcolo della probabilità di B, Abbiamo applicato il terzo assioma del calcolo delle probabilità.

È facile stabilire che: ¥ P( A) = 5/36 = 0,139; ¥ P( B) = 30/36 = 0,833; ¥ P(C) = 3/36 = 0,083. Esempio 7: assegnazione delle probabilità agli eventi Riprendiamo l’Esempio 3 e calcoliamo le probabilità degli eventi: A: “la somma dei numeri è 6; B : “la differenza dei numeri, in valore assoluto, è minore o uguale a 3”; C: A ∩ B.

Esempio 8 ( continuazione) Con la stessa logica, il numero dei casi favorevoli è dato dal prodotto In definitiva, la probabilità dell’evento è:

1 3 2 1 5 4 1 3 2 5 × = × × = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 , 54. 56 30 = Spesso il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili si determinano applicando le formule del calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni.

Se A e B sono due eventi dello spazio

campionario Ω e P ( A ) > 0, allora la probabilità

condizionata di B dato A è definita come

Dalla relazione precedente ricaviamo nota come legge del prodotto.

Probabilità condizionata

P A

P A B

P B| A

P ( A∩B ) = P(A)P( B|A),