Elementi di Calcolo delle Probabilità: Concetti Base e Operazioni, Slide di Statistica Descrittiva

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Elementi del Calcolo delle probabilitàElementi del Calcolo delle probabilità Rosanna VerdeRosanna Verde

Elementi di teoria della probabilitàElementi di teoria della probabilità

Elementi di teoria della probabilitàElementi di teoria della probabilità

Le Definizioni di Probabilita'Le Definizioni di Probabilita'

• (^) Def. Classica: la probabilità è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un risultato e il numero totale dei possibili risultati, ammesso che questi siano egualmente possibili.
• (^) Def. Frequentista: la probabilità è il limite della frequenza relativa di un evento ripetibile quando cresce, oltre ogni limite, il numero delle prove.
• (^) Def. Soggettivista: la probabilità rappresenta il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce al presentarsi di un evento, ovvero, quanto un giocatore sarebbe disposto a scommettere in un gioco equo se al verificarsi dell'evento vince 1.

L'Impostazione Assiomatica

Si introducono i Concetti Primitivi e la loro reciproca relazione: “la Prova genera l' Evento con una certa Probabilità”

• (^) Prova: è un esperimento soggetto a incertezza e può suddividersi in sottoprove.
• (^) Evento: è uno dei possibili risultati della prova e costituisce un insieme di descrizioni circa i possibili risultati dell'esperimento. L'insieme di tutti i risultati possibili prende il nome di Spazio Campionario.
• (^) Probabilità: è un numero reale compreso tra 0 e 1 associato al presentarsi di un evento e gode di proprietà intuitive formalizzate nei postulati.

L'Algebra degli EventiL'Algebra degli Eventi

a) Unione o Somma Logica fra due eventi A e B è quell'evento C che si verifica quando si verifica A oppure B oppure A e B contemporaneamente: C = A  B (« A o B ») b) Intersezione o Prodotto Logico fra due eventi A e B è quell'evento D che si verifica quando si verifica sia A sia B contemporaneamente: D = A  B (« A e B ») c) Negazione di un evento A è quell'evento E che si verifica allorquando A non si verifica: E = A (« non A »)

Eventi particolariEventi particolari

Eventi particolariEventi particolari

• (^) Evento Certo = : è l'evento che si verifica sempre;
• (^) Evento Impossibile =  : è l'evento che non può mai verificarsi;
• (^) Evento Incompatibile: A  B = 
• (^) Evento Necessario: A  B = 
• (^) Evento Elementare :
• per ogni A si ha A  E = E oppure A  E = .

Operazioni dell’algebra degli eventi Le leggi di De Morgan Operazioni dell’algebra degli eventi Le leggi di De Morgan Le leggi di de Morgan si possono generalizzare ad un numero qualsiasi, anche infinito numerabile, di unioni ed intersezioni di eventi Ei con i=1,…n. Esempio: Definiamo gli eventi A = { piove } e B = { tira vento } allora l’evento:

Altre operazioni dell’algebra degli eventiAltre operazioni dell’algebra degli eventiAltre operazioni dell’algebra degli eventiAltre operazioni dell’algebra degli eventi

A B C

Teoremi FondamentaliTeoremi Fondamentali

P() = 0.

P(A) = 1 – P(A)

Teorema delle Probabilità Totali Teorema delle Probabilità Totali P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B). Generalizzazione al caso di tre eventi: P(A  B  C) = = P(A) + P(B) + P(C) – P(A  B) – P(A  C) – P(B  C) + P(A  B  C). A B C

Principali teoremi del Calcolo delle ProbabilitàPrincipali teoremi del Calcolo delle Probabilità

Principali teoremi del Calcolo delle ProbabilitàPrincipali teoremi del Calcolo delle Probabilità

A B

Probabilità CondizionataProbabilità Condizionata

Probabilità CondizionataProbabilità Condizionata

• (^) La probabilità dell'evento B, dato che si è verificato l'evento A, è il rapporto fra la probabilità del contemporaneo verificarsi di A e B e la probabilità di A, se questa è diversa da zero: P(A) ≠ 0 allora: Da cui: P(A  B) = P(B|A) P(A) Indipendenza Stocastica Due eventi A e B sono stocasticamente indipendenti se

P(A|B) = P(A) P(A  B) = P(A) P(B)

P(A)

P(A B)

P B A 

• (^) Lancio 1: T C
• (^) Lancio 2: T C
• (^) Lancio di 2 monete: TT TC CT CC 10 0 5 10

P(10)=P(TTUCC)=

P(TT)+P(CC)=1/

P(0)=P(TC)=1/

P(5)=P(CT)=1/

P 0 5 10 1/

• (^) Se, invece, la prova consiste nell’estrazione di 2 palline senza ripetizione , la probabilità di eventi connessi alla seconda sotto-prova si modificano in funzione degli esiti della prima sotto-prova.
• Alla prima prova, la P(B 1 )=4/
• (^) Alla seconda prova, la P(B 2 |B 1 )=3/ perché se la prima pallina estratta è Bianca allora nell’urna sono rimaste 3 palline Bianche su un totale di 9 palline.
• (^) Pertanto, la medesima probabilità di 2 palline entrambe Bianche diventa: P(B 1  B 2 )= P(B 1 ) P(B 2 |B 1 ) = 4/10 x 3/9 = 2/

• (^) Nell’«estrazione di due palline senza ripetizione » da un’urna, la prova consta di due sottoprove non indipendenti poiché la prima pallina estratta non viene rimessa nell’urna dopo la prima estrazione.
• (^) Pertanto, per calcolare la probabilità richiesta occorre formalizzare l’evento E tramite gli eventi elementari generati dalle due sottoprove.