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Formulazione e analisi di modelli
matematici per la risoluzione di
problemi decisionali
Ricerca Operativa (Università telematica
Universitas Mercatorum di Roma)
Formulazione del problema
Aspetto fondamentale della Ricerca Operativa è: Identificare un modello matematico con cui studiare in modo sistematico il problema decisionale.
All'interno del 'Metodo delle Cinque fasi' la fase in cui viene definito un modello matematico viene detta: Formulazione del problema.
Funzioni Obiettivo
Con a(x),b(x) lineari continue e parallele, una funzione del tipo: lineare.
Con a(x),b(x),c(x) lineari continue e non parallele la formulazione della F.O. è del tipo: lineare a tratti.
Strategia Bottom-up
Con riferimento alla strategia bottom-up possiamo dire che: Il problema principale viene suddiviso in problemi più piccoli la cui soluzione viene memorizzata in una tabella.
Notazioni
Con xT si intende un: vettore riga.
Tempi di sosta e velocità
Considerando i dati indicati nella seguente tabella, il tempo di sosta ad una fermata è pari a: 20s.
Considerando una velocità di regime pari a 45 km/h e i valori di accelerazione e decelerazione pari a 1.0 m/s2 e 1.2 m/s2 rispettivamente, data la distanza tra due fermate pari a 200 m, possiamo dire che: La velocità di regime viene raggiunta e mantenuta per 56.8 m.
Considerando una velocità di regime pari a 50 km/h e i valori di accelerazione e decelerazione pari a 0.8 m/s2 e 0.9 m/s2 rispettivamente, data la distanza tra due fermate pari a 200 m, possiamo dire che: Il
diagramma trapezio degenera in un diagramma triangolare e la velocità massima raggiunta è di circa 47 km/h.
Cammini Euleriani
Da un grafo G=(V,E) un cammino euleriano su G è: un cammino che contiene tutti gli archi di G una sola volta.
Condizione di Ottimalità
Dal Teorema sulla Condizione di Ottimalità una soluzione di base non degenere di un problema di PL è ottima se e solo se: La soluzione corrente è ammissibile e non migliorabile.
Cover Minimale e Non Minimale
Data la seguente disuguaglianza, un cover minimale è dato da: C = {1,2,3}.
Data la seguente disuguaglianza, un cover non minimale è dato da: C = {2,3,4}.
Gradiente e Punti di Sella
Data la seguente funzione f e il punto x0, il modulo del gradiente di f in quel punto vale f(x)=X12+3x2 ; x0=(2,-3): 5.
Data la seguente funzione f, il punto x=[x1,x2]=[3/2-3/2] è: un punto di sella.
Massimi e Minimi Globali
Data la seguente funzione f, possiamo dire che: f ammette un punto di massimo globale.
Data la seguente funzione f, possiamo dire che: ha un minimo globale di.
Condizioni del Primo Ordine
Data la seguente funzione, trovare il punto x* che soddisfa le condizioni del primo ordine. Tale punto è: un punto di sella.
Determinante di una Matrice
Data la seguente matrice il determinante è: -2.
Condizione di Qualificazione dei Vincoli Attivi
Data la seguente regione ammissibile di problema di PNL possiamo dire che: Non esistono punti ammissibili in cui non è verificata la condizione di qualificazione dei vincoli attivi.
Operazioni Logiche
Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, e sia data la variabile c= a ∨b. Deve risultare che: c ≥ (a+b)/2.
Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, e sia data la variabile c= a ∧b. Deve risultare che: Sia a che b sono vere.
Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, e sia data la variabile c=a ⊕b. Deve risultare che: c ≤ 2 - (a+b).
Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, la variabile c= a ∧b assume il valore vero (pari ad 1) se: Sia a che b sono vere.
Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, la variabile c= a ∨b assume il valore vero (pari ad 1) se: Almeno una tra a e b è vera.
Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, la variabile c=a ⊕b assume il valore vero (pari ad 1) se: Esattamente una tra a e b è vera.
Operazioni tra Matrici
Date le due matrici A e B la matrice C=A*B è.
Date le due matrici A e B la matrice C=A+B è.
Determinante dello Jacobiano
Date le seguenti funzioni e il punto x, il determinante dello jacobiano calcolato in x vale: -2.
Date le seguenti funzioni, indicare quando vale: 5/2.
Date le seguenti funzioni, indicare quando vale: 0.
Combinazioni Convesse e Coniche
Dati due vettori x e y la loro combinazione convessa è.
Dati due punti x,y ∈ R^n, una loro combinazione convessa stretta è: z=3/2.
Dati due vettori v1 e v2, una loro combinazione conica è.
Differenza Simmetrica
Dati gli insiemi E1 e E2, la loro differenza simmetrica è pari a.
Problema del Knapsack 0-
Dati i seguenti oggetti con i rispettivi pesi w e profitti p, risolvere il problema del knapsack 0-1 con la programmazione dinamica assumendo una capienza B=8. All'ottimo la F.O. Vale: 15.
Dati i seguenti oggetti con i rispettivi pesi w e profitti p, risolvere il problema del knapsack 0-1 con la programmazione dinamica assumendo una capienza B=8. All'ottimo la somma delle variabili x1, x2, x5 vale: 0.
Dati i seguenti oggetti con i rispettivi pesi w e profitti p, risolvere il problema del knapsack non capacitato assumendo una capienza B=9. All'ottimo la F.O vale: 13.
Dati i seguenti oggetti con i rispettivi pesi w e profitti p, risolvere il problema del knapsack non capacitato assumendo una capienza B=9. 3.
Prodotto Scalare
Dati i seguenti vettori, il loro prodotto scalare vale: 11.
Intersezione di Vincoli
Dati i seguenti vincoli, la loro intersezione individua x1 +2x2 +x3 -x4 ≥ 0; x +2x2 +x3 -x4 ≤ 0: UN IPERPIANO.
Algoritmo del Simplesso
Dato il problema min{cT x: Ax=b, x≥ 0} e il corrispondente duale max{uTb: uT A≤cT}, il vettore generato ad ogni iterazione dell'algoritmo del simplesso cT B B-1: è una soluzione ammissibile per il duale solo all'ultima iterazione quando i costi ridotti sono non nulli.
Albero Decisionale
Dato il seguente albero decisionale di un problema di massimizzazione, il nodo 4 può essere chiuso se: UB = 28.
Dato il seguente albero decisionale di un problema di massimizzazione, la F.O all'ottimo è compresa tra i valori: 28 = z* = 34.
Grafo Bipartito e Matching
Dato il seguente grafo bipartito e gli insiemi di archi A={(v1,v8),(v2,v10), (v3, v9), (v5,v6)};B={(v2,v8),(v3,v7), (v3, v9), (v1,v6)}; C={(v1,v8),(v2,v9), (v3, v7), (v4,v10)}. Un possibile matching del grafo è: A.
Dato il seguente grafo bipartito e gli insiemi di archi A={(v1,v8),(v2,v6), (v3, v9), (v5,v6)}; B={(v2,v8),(v3,v7), (v3, v9), (v1,v6)}; C={(v1,v8),(v2,v9), (v3, v7), (v4,v10)}. Un possibile matching del grafo è: C.
Stelle Entranti e Uscenti
Dato il seguente grafo, la numerosità della stella entrante nel nodo 2 è.
Dato il seguente grafo, la stella uscente dal nodo 3 è.
Cicli Euleriani
Dato il seguente grafo, possiamo dire che: ammette questo ciclo euleriano.
Dato il seguente grafo, possiamo dire che: non è euleriano, quindi non ammette ciclieuleriani.
Dato il seguente grafo, possiamo dire che: ammette questo ciclo euleriano.
Grafi Bipartiti
Dato il seguente grafo, possiamo dire che: Rimuovendo l'arco e6 diviene bipartito.
Dato il seguente grafo, possiamo dire che: È bipartito dai seguenti insiemi.
Matching
Dato il seguente grafo, un suo possibile matching è.
Sottografo Parziale
Dato il seguente grafo, un suo sottografo parziale è.
Problema del Knapsack 0-
Dato il seguente knapsack 0-1, all'ottimo intero la F.O. Vale: 31.
Dato il seguente knapsack 0-1, all'ottimo intero la F.O. 14.
Dato il seguente knapsack 0-1, all'ottimo intero la F.O.
Dato il seguente knapsack 0-1, all'ottimo rimane uno spazio disponibile pari a: 2.
Dato il seguente kn
Problema di flusso su rete non capacitato
Formulazione in forma standard
Dato il seguente problema di flusso su rete non capacitato, dove accanto agli archi è indicato il loro costo e accanto ai nodi la domanda/fornitura. La formulazione in forma standard è:
Ottimo
All'ottimo, le variabili di flusso sono nulle.
Problema di Programmazione Lineare (PL)
Base B=[A1,A4,A3]
Dato il seguente problema di PL e data la base B=[A1,A4,A3], il vettore cB^T è dato da: [-1 2 0].
Base B=[A1,A3,A4,A5]
Dato il seguente problema di PL e la base B=[A1,A3,A4,A5]: - Il vettore dei costi ridotti è dato da. - La componente x4 della soluzione base associata vale: 5,75.
Base B=[A2,A3]
Dato il seguente problema di PL e la base B=[A2,A3], possiamo dire che la base B è ammissibile.
Ottimo duale
Dato il seguente problema di PL e la corrispondente soluzione ottima, l'ottimo duale è: [u1 u2 u3] = [-1 0 3/2].
Base B=[A1,A4,A3]
Dato il seguente problema di PL, la base B=[A1,A4,A3] è data da.
Base B=[A2,A4]
Dato il seguente problema di PL, una base ammissibile è: [A2,A4].
Valore della Funzione Obiettivo all'ottimo
Dato il seguente problema di PL, all'ottimo la F.O. vale: - -7 - -26 - 7,5 - 4.
Valore della variabile x1 all'ottimo
Dato il seguente problema di PL, all'ottimo la variabile x1 vale: - 0 - 0,
Valore della variabile x2 all'ottimo
Dato il seguente problema di PL, all'ottimo la variabile x2 vale: 1.
Disuguaglianza valida violata dall'ottimo rilassato
Dato il seguente problema di PLI, una disuguaglianza valida per X ma violata dall'ottimo rilassato è: x2 = 3.
Problema di Programmazione Non Lineare
(PNL)
Punti candidati di minimo locale
Dato il seguente problema di PNL e i punti A,B e C, possiamo dire che il punto C è un candidato di minimo locale.
Sistema KKT
Dato il seguente problema di PNL, il sistema KKT è dato da.
Line search esatta
Dato il seguente problema di PNL, effettuando una line search esatta partendo dal punto x0 il passo α alla seconda iterazione vale: 2/3.
Condizioni di ottimalità globale
Dato il seguente problema di PNL, risulta che: - Nel punto di minimo globale si ha ∇^2f=0. - Esiste un punto di minimo globale e le KKT sono condizioni necessarie di ottimalità globale per i punti regolari.
Punti regolari e non regolari
Dato il seguente problema di PNL vincolata e la soluzione ammissibile x=(x1, x2)=(1, 0), risulta che x è un punto regolare. Dato il seguente problema di PNL vincolata e la soluzione ammissibile x=(x1, x2)=(1, 1), risulta che nel punto x nessun vincolo è attivo. Dato il seguente problema di PNL vincolata e la soluzione ammissibile x=(x1, x2)=(4, 8), risulta che x è un punto regolare ed è il punto di minimo del problema.
Vettore dei moltiplicatori di Lagrange
Dato il seguente problema di PNL vincolata e la soluzione ammissibile x=(x1, x2)=(5, 12) risulta che la soluzione x è ottima e le componenti del vettore λ sono.
Lagrangiana
Dato il seguente problema di PNL vincolata, la lagrangiana è data da.
Metodo del gradiente con line search di Armijo
Dato il seguente problema di PNL, si effettui un'iterazione di discesa verso il punto di minimo a partire da x0 utilizzando il metodo del gradiente con line search di Armijo. Il valore che assume la funzione obiettivo al nuovo valore è: -7/2. Dato il seguente problema di PNL, si effettui un'iterazione di discesa verso il punto di minimo a partire da x0 utilizzando il metodo del gradiente con line search di Armijo. Il valore di α che soddisfa la sufficiente riduzione è: 1.
Problema di Programmazione della
Produzione
Caso senza backlogging
Dato il seguente problema di programmazione della produzione (assumere s0= s3=0), all'ottimo la F.O. vale: - 42 - 50 - 65
Valore delle variabili x1 e x2 all'ottimo
Dato il seguente problema di programmazione della produzione (assumere s0= s3=0), all'ottimo: - la variabile x1 vale: 10 - la variabile x1 vale: 2 - la variabile x2 vale: 0
Caso con s0=s4=
Dato il seguente problema di programmazione della produzione (assumere s0=s4=0), all'ottimo la F.O. vale: 84 e la variabile x2 vale: 15.
Caso con backlogging
Dato il seguente problema di programmazione della produzione con backlogging: - All'ottimo s1+ vale: 6 2/3 - All'ottimo s3- vale: 6 - All'ottimo la F.O. vale: 24 - All'ottimo la F.O. vale: 109 - All'ottimo la F.O. vale: 65 - All'ottimo la F.O. vale: 76 - All'ottimo la variabile x2 vale: 13 - All'ottimo la variabile x3 vale: 0 - La soluzione ottima è del tipo: x1>0 x2>0 x3=0 s3->0 - La soluzione ottima è del tipo: s+1 = 0, s-1 = 0
Caso senza backlogging
Dato il seguente problema di programmazione della produzione: - All'ottimo la F.O. vale: 57 - All'ottimo la F.O. vale: s-1 > 0 x2 > 0 s+2 = 0 - All'ottimo la F.O. vale: 62 - All'ottimo la F.O. vale: s-1 > 0 x2 > 0 s+2 > 0
Insieme convesso
Dato un insieme finito di semispazi chiusi e iperpiani, possiamo dire che tale insieme individua sicuramente un insieme convesso. Dato un iperpiano H ed uno semispazio S vale che: 1. Un Iperpiano è un insieme convesso 2. Un Semispazio è un insieme convesso 3. L'intersezione di iperpiani/semispazi produce un insieme convesso.
Problema del Knapsack 0-
Cover
Dato un knapsack 0-1 insieme di oggetti C è detto cover se non è ammissibile una soluzione che selezioni tutti gli oggetti di C.
Matching su Grafi
Condizione per matching di cardinalità massima
Dato un matching M su un grafo G=(V,E), la condizione per cui non esistano cammini aumentanti è necessaria e sufficiente per affermare che M ha cardinalità massima.
Programmazione della Produzione
Costo complessivo di inventario
Dato un orizzonte temporale T suddiviso in un insieme finito di periodi di controllo {1,2,…,T} in presenza di backlogging il costo complessivo di inventario in T è dato da.
Direzione di non variazione della Funzione
Obiettivo
Dato un poliedro P e un punto generico x0, la retta perpendicolare al gradiente della funzione obiettivo in quel punto rappresenta una direzione verso la quale non si hanno variazioni della F.O.
Rappresentazione di un poliedro e problemi di
ottimizzazione multi-obiettivo
Rappresentazione di un poliedro
Dato un poliedro X non vuoto con punti estremi xi con i =1,...,k e direzioni estreme dj con j=1,...,t, ogni punto x appartenente a X può essere espresso
come: - Combinazione convessa dei punti estremi di X - Combinazione lineare non negativa (conica) delle sue direzioni estreme
Problemi di ottimizzazione multi-obiettivo
In un problema di ottimizzazione multi-obiettivo, una soluzione ammissibile x è dominata da un'altra soluzione ammissibile y se: - y è strettamente migliore di x per almeno un obiettivo - y non è peggiore di x per nessun obiettivo
Problemi di Programmazione Lineare (PL)
Problema primale e duale
Dato un problema di PL del tipo min{cTx: Ax ≥ b, x ≥ 0} con n variabili e m vincoli, il suo duale sarà: - Un problema di massimo con n vincoli e m variabili
Soluzione ottima del problema duale
Dato un problema di PL del tipo min{cTx: Ax ≥ b, x ≥ 0} e sia B* la base ottima del problema, per il problema duale la soluzione ottenuta ponendo uT=cBTB*-1 è ottima.
Basi di un problema di PL in forma standard
Dato un problema di PL in forma standard con n incognite e m equazioni tali che n>m, una base B è: - Una matrice con m righe e m colonne
Numero di basi di un problema di PL in forma standard
Dato un problema di PL in forma standard con 5 variabili e 3 vincoli, il numero di basi del sistema lineare è: - 10
Aggiornamento del tableau del simplesso
Dato un problema di PL in forma standard min{cTx: Ax=b, x≥ 0} ad una certa iterazione del simplesso, possiamo dire che: - La variabile x2 entra in base con valore 1/2 annullando la variabile x3 - Il problema è inferiormente illimitato - L'elemento pivot è pari a 2
Direzione di variazione della funzione obiettivo
Dato un problema di PL, se il prodotto scalare tra la direzione d e il vettore cT è: - Negativo, vuole dire che nella direzione d la funzione obiettivo diminuisce - Positivo, vuole dire che nella direzione d la funzione obiettivo aumenta
Un punto x è detto non regolare se: - Lo jacobiano dei vincoli attivi ha rango inferiore al numero di vincoli attivi
Problemi di Programmazione della
Produzione
Espressione per la soluzione ottima
Dato un problema di programmazione della produzione con 3 periodi produttivi, l'espressione per il calcolo della soluzione ottima è:
Concetti generali
Ottimalità globale
Dato un problema in forma generale di minimo di PL, un punto x è un ottimo globale per la funzione f(x) se e solo se: - f(x ) = f(x) per ogni x in X
Direzione di un poliedro
Dato un qualsiasi punto x appartenente ad X, il vettore d è una direzione del poliedro se:
Relazioni temporali tra attività
Dato una coppia di lavori i, j, il vincolo tj ≥ ti + pi indica che i precede j e il lavoro i ha durata pi. Dato una coppia di lavori i, j, il vincolo tj = ti + pi indica che i precede j e il lavoro i ha durata pi.
Soluzioni ammissibili
Una soluzione di base xB rappresenta anche una soluzione ammissibile se:
Grafi e problemi equivalenti
Due archi di un grafo si dicono consecutivi se: - Hanno un vertice in comune
Due problemi di Programmazione Lineare P e P' di max/min si dicono equivalenti se: - Per ogni soluzione ammissibile di P esiste una soluzione ammissibile di P' con lo stesso valore di funzione obiettivo, e viceversa.
Gli elementi ae,k della matrice di incidenza archi-percorsi hanno valore: - Pari ad uno se il percorso k insiste sull'arco e
Metodi di discesa
I metodi di discesa 'del gradiente' utilizzano l'antigradiente come direzione di discesa e servono a raggiungere iterativamente il minimo, se esiste, di una funzione non lineare.
Tagli di Gomory
I tagli di Gomory generano disuguaglianze valide per X ma non per P.
Criteri di visita dei nodi
Il criterio di visita dei nodi di tipo FIFO indica che i nodi vengono gestiti come una coda. Il criterio di visita dei nodi di tipo LIFO indica che i nodi vengono gestiti come una pila.
Proprietà del gradiente
Il gradiente è un campo vettoriale. Il gradiente di un iperpiano rappresenta la direzione di crescita dell'iperpiano.
Guscio convesso di un insieme di punti interi
Il guscio convesso di un insieme di punti interi è un insieme continuo con vertici interi.
Numero massimo di matrici di base
Il massimo numero di possibili matrici di base per una matrice A di dimensioni mxn è:
Proprietà dell'algoritmo del simplesso
Il metodo del simplesso si arresta se il problema è illimitato.
Metodo della line search di Armijo
Il metodo della line search di Armijo parte da un passo α grande che viene progressivamente ridotto fino a che non è soddisfatta la sufficiente riduzione.
Minore di testa di ordine 2
Il minore di testa di ordine 2 della seguente matrice vale: -
Modello di Zangwill
Il modello di Zangwill è un'estensione del modello di Wagner-Whitin nel quale è ammesso anche il backlogging.
Condizione di equilibrio con backlogging
In presenza di backlogging, la condizione di equilibrio ad un generico periodo t={2,...,T-1} è: xt + s+t-1 - s+t - s-t-1 + s-t = dt
Test dei minimi rapporti
Il test dei minimi rapporti serve a trovare la variabile che esce di base.
Test di illimitatezza dell'algoritmo del simplesso
Il test di illimitatezza dell'algoritmo del simplesso viene effettuato valutando se yik =0 per ogni i=1,...,m.
Test di ottimalità dell'algoritmo del simplesso
Il test di ottimalità dell'algoritmo del simplesso viene effettuato valutando se zj-cj<=0, in tal caso abbiamo la soluzione ottima.
Regressione lineare semplice
Il valore di beta (pendenza) di una regressione lineare semplice con intercetta α non necessariamente nulla che minimizza la somma dei quadrati degli scarti è pari a: - Il valore di beta (pendenza) di una regressione lineare semplice con intercetta α nulla che minimizza la somma dei quadrati degli scarti è pari a:
Valore di θ
Il valore di θ rappresenta il valore massimo che può assumere una variabile che entra in base.
Valore ottimo della F.O. di un problema di PLI rilassato
Il valore ottimo della F.O. di un problema di PLI di massimizzazione rilassato è maggiore o uguale del valore della F.O. all'ottimo intero.
Vettore dei costi cT
Il vettore dei costi cT rappresenta il vettore dei coefficienti della funzione obiettivo.
Vettore dei costi ridotti
Il vettore dei costi ridotti è dato dalla relazione:
Vincolo di conservazione del flusso
In un problema di flusso su rete dove la variabile xij rappresenta il flusso sull'arco (i,j) e bi rappresenta la domanda/fornitura dell'i-esimo nodo, il vincolo di conservazione del flusso è:
Elementi della formulazione di un problema di PL
In un problema di programmazione lineare: - Il vettore cT rappresenta il vettore dei coefficienti di costo della funzione obiettivo - Il vettore X rappresenta il vettore delle variabili decisionali - Il vettore A rappresenta la matrice dei coefficienti dei vincoli - Il vettore b rappresenta il vettore dei termini noti
Algoritmo dei piani di taglio
L'algoritmo dei piani di taglio si arresta se non trovo un cover violato o l'ottimo del problema è intero.
Algoritmo di Dijkstra
L'algoritmo di Dijkstra serve per risolvere problemi di cammino di costo minimo su grafi.
Analisi del modello matematico
L'analisi del modello matematico prevede la deduzione per via analitica, in riferimento a determinate classi di problemi, di alcune importanti proprietà quali esistenza ed unicità della soluzione ottima, condizioni di ottimalità e stabilità in caso di variazioni.
Analisi del problema
L'analisi del problema consiste nell'analisi della struttura del problema per individuare i legami logico funzionali e gli obiettivi.
Analisi di sensitività
L'analisi di sensitività consiste nel valutare la stabilità della soluzione ottima facendo variare i dati del problema.
Input dell'algoritmo del simplesso
L'input dell'algoritmo del simplesso è un Problema di PL in forma standard di minimo e una soluzione ammissibile.
Definizioni e concetti fondamentali
Definizione di vettore
Si definisce vettore ad n componenti reali una n-pla ordinati di numeri reali.
