Capitolo 6: Distribuzioni di Probabilità Continua - Uniforme e Normale, Dispense di Statistica

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Capitolo 6

Variabili Aleatorie Continue e

Distribuzioni di Probabilità

Statistica

Obbiettivi del Capitolo

Dopo aver completato il capitolo, sarete in

grado di:

 Spiegare la differenza tra una variabile aleatoria discreta

ed una continua

 Descrivere le caratteristiche delle distribuzioni uniforme

e normale

 Trasformare problemi relativi alla distribuzione normale

in problemi relativi alla distribuzione normale standard

 Calcolare probabilità usando la tavola della distribuzione

normale

Distribuzioni di Probabilità

Distribuzioni di

Probabilità

Continue

Binomiale

Distribuzioni

di Probabilità

Distribuzioni di

Probabilità

Discrete

Uniforme

Normale

Cap. 5 Cap. 6

Distribuzioni di Probabilità Continue

 Una variabile aleatoria continua è una variabile

che può assumere qualunque valore in un

intervallo

 spessore di un oggetto

 tempo necessario per completare un lavoro

 temperatura di una soluzione

 altezza, in pollici

 Queste variabili possono potenzialmente

assumere qualunque valore, dipendentemente

solo dall’abilità di misurare con precisione.

Funzione di Densità di Probabilità

La funzione di densità di probabilità, f(x), di una variabile aleatoria X

ha le seguenti proprietà:

1. f(x) > 0 per qualunque valore di x
2. L’area sottesa alla funzione di densità di probabilità f(x) su tutto l’intervallo

di valori ammissibili di X vale 1

3. La probabilità che X assuma valori in un intervallo è l’area sottesa alla

funzione di densità sull’intervallo

4. La funzione di ripartizione F(x 0 ) è l’area sottesa alla funzione di densità

f(x) dal valore minimo xm fino al valore x 0

dove xm è il valore minimo della variabile aleatoria x

0

m

x

x

f(x 0 ) f(x)dx

Probabilità come un’Area

a b x

f(x) P ( a x ≤ b )

L’area ombreggiata sottesa alla curva è la

probabilità che X assuma valori fra a e b

≤

= P ( a < x < b )

(Notare che la probabilità di un singolo valore è zero)

La Distribuzione Uniforme

 La distributione uniforme è la distribuzione di

probabilità che assegna la stessa probabilità a

tutti i possibili valori di una variabile aleatoria

xmin xmax x

f(x) L’area totale sottesa la funzione di densità della distribuzione uniforme è uguale a 1

La Distribuzione Uniforme Continua:

0 altrove

sea x b b a

dove f(x) = valore della funzione di densità a qualunque valore x a = valore minimo di x b = valore massimo di x

La Distribuzione Uniforme

(continuazione)

f(x) =

Esempio Distribuzione Uniforme

Esempio: Distribuzione di probabilità

uniforme nell’intervallo 2 ≤ x ≤ 6:

f(x) = = .25 per 2 ≤ x ≤ 6

x

f(x)

4 2

2 6 2

a b μ 

 

 

12

(6-2) 12

(b-a) σ

2 2 (^2)   

Valori Attesi

di Variabili Aleatorie Continue

 La media di X, indicata con μX , è definita come il

valore atteso di X

 La varianza di X, indicata con σX^2 , è definita come il

valore atteso del quadrato degli scarti della variabile

dalla sua media, (X - μX)^2

μX E(X)

σ E[(X μ ) ]

2 X

2 X  

 Un importante caso speciale dei precedenti risultati è la

variabile aleatoria standardizzata

 la quale ha media 0 e varianza 1; inoltre è un numero

puro (privo di unità di misura)

Funzione Lineare di Variabili

(continuazione)

X

X

X μ

Z

La Distribuzione Normale

Distribuzioni di

Probabilità

Continue

Distribuzioni

di Probabilità

Uniforme

Normale

Esponenziale

La Distribuzione Normale

 La distribuzione normale approssima molto bene le

distribuzioni di probabilità di un numero elevato di

variabili aleatorie

 In presenza di campioni “grandi” la distribuzione delle

medie campionarie è approssimata dalla distribuzione

normale

 Il calcolo delle probabilità è diretto ed elegante

 La distribuzione di probabilità normale ha prodotto

buone decisioni finanziarie/economiche in molti

problemi applicativi

(continuazione)

Variando i parametri μ e σ, otteniamo diverse

distribuzioni normali

Molte Distribuzioni Normali