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Funzioni a Due Variabili: Guida allo Studio di Domini, Grafici e Derivate, Sintesi del corso di Matematica

Matematica

Una panoramica completa delle funzioni a due variabili, ideale per studenti universitari. Esplora concetti chiave come il dominio, il grafico tridimensionale, i punti di massimo e minimo (liberi e vincolati), e le disequazioni lineari. Approfondisce il calcolo delle derivate parziali (prime e seconde) e l'utilizzo dell'hessiano per la ricerca di punti stazionari. Include anche una sezione sulla gestione delle scorte e sui modelli matematici per problemi di scelta, con esempi pratici e spiegazioni dettagliate. Un ottimo strumento per comprendere e applicare le funzioni a due variabili in diversi contesti matematici ed economici. Utile per la preparazione di esami universitari.

Tipologia: Sintesi del corso

2024/2025

In vendita dal 22/09/2025

Giulaiii06
Giulaiii06 🇮🇹

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FUNZIONI A 2 VARIABILI
Funzione = dati 2 insiemi A e B non vuoti, si definisce funzione la relazione che associa ad ogni elemento del
primo insieme uno e uno solo elemento del secondo insieme
● Dominio → sull’asse delle X quindi R
● Grafico → piano cartesiano ( bidimensionale )
● Punti di max/min → derivata prima ( calcolo e studio )
● Punti → (x;y)
Funzione a 2 variabili = ad ogni coppia (x;y) si associa uno e un solo valore Z che prende il nome di quota.
● Dominio → sottoinsieme del piano cartesiano quindi R x R
● Grafico → nello spazio ( tridimensionale)
● Punti di max/min → liberi o vincolati tramite hessiano per i liberi e hessiano orlato per i vincolati
● Punti → (x;y;z)
disequazioni lineari in due incognite
Una disequazione è lineare se è di primo grado, ogni disequazione lineare in due incognite è ax+by+c>0.
Le soluzioni di una disequazione in due incognite sono tutte le coppie ordinate di numeri reali che verificano la
disuguaglianza, possiamo studiare la disequazione rappresentando l’insieme delle soluzioni nel piano cartesiano
Punto di prova: utile per verificare che la soluzione sia corretta, anche per evitare di esplicitare la y, quindi si sostituisce alla
funzione iniziale il punto di priva (quindi un punto casuale che non si trovi su tale retta)
anche con le disequazioni non lineari in due incognite quindi da secondo grado in poi, si procede allo stesso modo, risolviamo
la disequazione x^2-4x+3-y>=0 → equazione associata y = x^2-4x+3 → consideriamo i valori esterni e la parabola perché >=
sistemi di disequazioni= per rappresentare nel piano cartesiano l’insieme delle soluzioni di un sistema di 2+
disequazioni in 2 incognite, dobbiamo determinare l’intersezione fra le parti di piano che rappresentano le soluzioni delle
disequazioni di cui è composto il sistema
dominio funzione a due variabili
dominio di una funzione z=f(x;y) è detto anche campo di esistenza, è l'insieme di tutte le
coppie (x;y) appartenenti a R^2 per le quali la funzione è definita.
per determinare il dominio bisogna controllare le condizioni di esistenza per cui:
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Scarica Funzioni a Due Variabili: Guida allo Studio di Domini, Grafici e Derivate e più Sintesi del corso in PDF di Matematica solo su Docsity!

FUNZIONI A 2 VARIABILI

Funzione = dati 2 insiemi A e B non vuoti, si definisce funzione la relazione che associa ad ogni elemento del primo insieme uno e uno solo elemento del secondo insieme ● Dominio → sull’asse delle X quindi R ● Grafico → piano cartesiano ( bidimensionale ) ● Punti di max/min → derivata prima ( calcolo e studio ) ● Punti → (x;y) Funzione a 2 variabili = ad ogni coppia (x;y) si associa uno e un solo valore Z che prende il nome di quota. ● Dominio → sottoinsieme del piano cartesiano quindi R x R ● Grafico → nello spazio ( tridimensionale) ● Punti di max/min → liberi o vincolati tramite hessiano per i liberi e hessiano orlato per i vincolati ● Punti → (x;y;z)

disequazioni lineari in due incognite

Una disequazione è lineare se è di primo grado, ogni disequazione lineare in due incognite è ax+by+c> 0.

Le soluzioni di una disequazione in due incognite sono tutte le coppie ordinate di numeri reali che verificano la

disuguaglianza, possiamo studiare la disequazione rappresentando l’insieme delle soluzioni nel piano cartesiano

Punto di prova: utile per verificare che la soluzione sia corretta, anche per evitare di esplicitare la y, quindi si sostituisce alla

funzione iniziale il punto di priva (quindi un punto casuale che non si trovi su tale retta) anche con le disequazioni non lineari in due incognite quindi da secondo grado in poi, si procede allo stesso modo, risolviamo la disequazione x^ 2 - 4 x+ 3 - y>= 0 → equazione associata y = x^ 2 - 4 x+ 3 → consideriamo i valori esterni e la parabola perché >=

sistemi di disequazioni = per rappresentare nel piano cartesiano l’insieme delle soluzioni di un sistema di 2 +

disequazioni in 2 incognite, dobbiamo determinare l’intersezione fra le parti di piano che rappresentano le soluzioni delle disequazioni di cui è composto il sistema dominio funzione a due variabili dominio di una funzione z=f(x;y) è detto anche campo di esistenza, è l'insieme di tutte le coppie (x;y) appartenenti a R^ 2 per le quali la funzione è definita. per determinare il dominio bisogna controllare le condizioni di esistenza per cui:

grafico e curve di livello

nello spazio cartesiano, il grafico di una funzione a due variabili è l’insieme dei punti di coordinate (x;y;z) per cui sussiste la relazione z = f(x;y), cioè l’insieme dei punti di coordinate (x;y;f(x;y)). mentre il dominio della funzione, essendo costituito da coppie di RxR, è rappresentabile nel piano oxy, il grafico di una funzione a 2 variabili è una superficie nello spazio e quindi la sua rappresentazione è complessa. le curve di livello sono un modo per studiare la superficie della funzione. Una curva di livello è l’insieme delle proiezioni ortogonali sul piano oxy dei punti di una superficie che hanno tutti la stessa quota z = k (quindi è una curva che unisce i punti con uguale quota ovvero uguale alla distanza verticale dal piano di riferimento z) CALCOLO DELLE DERIVATE PARZIALI : PRIME E SECONDE Servono per determinare eventuali massimi e minimi attraverso lo studio del comportamento di 2 derivate dette parziali.

  • DERIVATE PRIME → si calcola rispetto alla x e rispetto alla y della funzione di riferimento
  • DERIVATE SECONDE → se le derivate prime sono anche loro funzioni derivabili, si possono definire le derivate seconde che sono 4 TEOREMA DI SCHWARZ = una funzione z=f(x;y) ha derivate parziali seconde miste che devono essere uguali. RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO LIBERI MEDIANTE LO STUDIO DELLE CURVE DI LIVELLO I massimi e minimi relativi (o locali) sono punti in cui una funzione assume un valore più alto o più basso rispetto ai punti vicini. Curve di livello = è l’insieme delle proiezioni ortogonali sul piano OXY dei punti di una superficie che hanno la stessa quota z=k ● Si considera la funzione e l’equazione delle linee di livello ● Si trovano i vari dati utili per rappresentare le funzione ad esempio se è una circonferenza bisogna trovare il centro e il raggio, se è una parabola bisogna trovare il vertice ecc… ● Si rappresenta le curve di livello Se le linee di livello tendono a ridursi a un punto C per valori crescenti di k, in C c’è un massimo relativo; se tendono a ridursi per valori decrescenti di k, in C c’è un minimo relativo.
RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO VINCOLANTI MEDIANTE I MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE

Questo metodo è applicabile a più funzioni, è meccanico ma molto complesso per trovare la strategia risolutiva, in quanto richiede molti passaggi. Si considera la funzione con derivati parziali primi e seconde continue nel suo dominio D e soggetta al vincolo. → Successivamente, si costruisce la funzione L, detta Lagrangiana, che dipende dalle tre variabili x, y e λ I punti di massima e minimo vincolati se esistono sono fra i punti stazionari della funzione L,cioè quelli trovati dal sistema in cui sono inserite le derivate prime della Lagrangiana fatta rispetto a x,y e λ. Dal sistema si trovano i punti stazionari e per stabilire se il punto stazionario è un punto di massimo o minimo relativo si considera l’hessiano orlato. HESSIANO ORLATO = è un determinante del terzo ordine formato da tre righe tre colonne nel quale sono inserite le derivate prime fatte rispetto x e y del della funzione vincolo e le derivate seconde della Lagrangiana, dove le derivate seconde non miste devono essere uguali secondo il teorema di Schwartz. All’hessiano orlato viene applicato IL METODO DI SARRUS : Una volta calcolato hessiano orlato, possiamo definire:

RICERCA OPERATIVA

La ricerca operativa è una disciplina scientifica che si occupa di ottimizzare processi decisionali. Nasce con l’obiettivo di trovare soluzioni ottimali a problemi complessi, tipici della gestione aziendale, della logistica, dell’ingegneria, dell’economia, ecc. ● Nasce durante la Seconda Guerra Mondiale, quando scienziati e matematici vennero chiamati a ottimizzare le strategie militari. ● Dopo la guerra, fu applicata a problemi industriali e civili. ● Oggi è ampiamente usata in molti settori, con l’aiuto dell’informatica. È l’applicazione di metodi matematici, statistici e computazionali per:

  1. analizzare problemi
  2. modellare situazioni reali
  3. trovare soluzioni ottimali o efficienti
  4. supportare decisioni strategiche e operative Esempi di problemi tipici: ● Come minimizzare i costi di produzione ● Come massimizzare il profitto di una fabbrica Viene applicata in ambiti logistici, industriali, finanziari, ospedalieri e informatici FASI DELLA RICERCA OPERATIVA
  5. FORMULAZIONE DEL PROBLEMA = si definisce l’obiettivo da raggiungere, ad esempio il massimo guadagno
  6. RACCOLTA DELLE INFO = si individuano le variabili che caratterizzano il problema, le relazioni tra esse e gli eventuali vincoli.
  7. COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO = si traducono in linguaggio matematico il problema e le info raccolte. Un modello di decisione economica contiene:
  • Una funzione detta funzione obiettivo in cui sono presenti dei variabili d’azione
  • Relazione fra variabili che definivamo vincolo tecnico (una macchina può lavorare al massimo 8 ore al giorno )
  • Vincoli di segno (x>= 0 )
  1. STUDIO DEL MODELLO = si risolve matematicamente il problema, si determinano i valori delle variabili che rendono massima o minima la funzione obiettivo
  2. CONTROLLO DEL MODELLO E DELLE SOLUZIONI OTTENUTE = si verifica se il modello teorico è attendibile e se la soluzione ottenuta è credibile e accettabile. area ammissibile = insieme dei valori che possono essere assunti complessivamente dalle variabili d’azione
CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI SCELTA

In base al tipo di variabile : ● DISCRETO = le variabili d’azione possono assumere solo valore interi x∈N ● CONTINUE = le variabili d’azione possono assumere qualsiasi valore dell’area ammissibile x∈R In base alle condizioni in cui si opera: ● CONDIZIONI DI CERTEZZA = i dati sono sicuri e frutto di indagini precise ( il costo di produzione dipende dai costi fissi e unitari che sono dati certi ) ● CONDIZIONI DI INCERTEZZA = I dati sono legati a eventi casuali e si conosce solo la probabilità del loro verificarsi ( la quantità di dolci da produrre per avere il massimo guadagno dipende dalle vendite che sono incerte ) In base al momento della scelta ed effetto della scelta: ● CON EFFETTI IMMEDIATI = il tempo fra la scelta è l’effetto non influisce sulle grandezze ● CON EFFETTI DIFFERITI = è rilevante il tempo che intercorre fra la scelta e l’effetto I MODELLI MATEMATICI PER RAPPRESENTARE I PROBLEMI DI SCELTA se l’obiettivo del problema di scelta è trovare il massimo guadagno, bisognerà studiare la funzione guadagno, per cui G(x)=R(x)-C(x) R(x)=prezzo di vendita oppure prezzo unitario moltiplicato per x C(x)=cv+cf (se sono unitari vanno moltiplicati per x) x = variabile d’azione nella costruzione del modello matematico, è importante tenere conto dei vincoli segno/tec la rappresentazione della funzione può essere una retta o una parabola retta parabola in entrambi i casi, è conveniente trovare il BEP o PUNTO DI PAREGGIO = punto in cui l’azienda non è né in perdita né in guadagno, il bep si può calcolare nei seguenti modi: G(x)= 0 diagramma di redditività G(x)= 0 diagramma di redditività punto di inters con ascisse incontro R(x) e C(x) intersezioni con ascisse incontro R(x) e C(x) I PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA E CON EFFETTI IMMEDIATI, possono essere

**- problemi di scelta nel caso continuo

  • problemi di scelta nel caso discreto problemi di scelta nel caso continuo** I problemi di scelta nel caso continuo si presentano quando le variabili decisionali possono assumere qualsiasi valore reale all'interno di un intervallo definito, anziché limitarsi a valori discreti. Questi problemi sono comuni in contesti economici e ingegneristici, dove le quantità da determinare (come produzione, consumo, investimento) non sono necessariamente numeri interi. problemi di scelta nel caso discreto riguardano situazioni in cui le decisioni devono essere prese scegliendo tra un insieme finito o numerabile di opzioni. A differenza dei problemi con variabili continue, dove le soluzioni possono essere qualsiasi valore all'interno di un intervallo, qui le soluzioni sono punti isolati, specifici. problemi di scelta tra 2 + alternative Nei problemi visti nei paragrafi precedenti, abbiamo operato scelte di produzione o vendita in base alla convenienza, calcolando per quale valore della variabile d'azione x la funzione obiettivo assumeva il massimo o il minimo valore nel rispetto dei vincoli. Tuttavia una scelta economica può anche avvenire fra più alternative con caratteristiche diverse tra loro. Anche in questo caso distinguiamo i problemi in base alle funzioni che descrivono le alternative. punto di indifferenza: punti in cui non c’è un’alternativa migliore rispetto ad un’altra, in cui le rette si incontrano