Introduzione all'Ottimizzazione Nonlineare: Metodi e Condizioni di Ottimalità - Prof. Loca, Slide di Ricerca Operativa

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Introduzione all’ottimizzazionenonlineare

Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 1/

Definizione del problema^ min^ f^ (x

) n x ∈ R c(x) = 0^ i^ ∈^ Ki^1 c(x)^ ≥^0 i^ ∈^ Ki^2

Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 2/

Ipotesi

Supporremo che:^2 f, c∈ C(ipotesi di differenziabilità);i^ almeno una tra le funzioni

f, c,^ i^ ∈^ K∪^ Ki^1

è^ non

lineare (ipotesi di nonlinearità).Il caso in cui^ f^ e^ c,^ i^ ∈i

K∪^ Ksono tutte funzioni lineari^1

corrisponde alla classe dei problemi di

Programmazione

Lineare.

Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 4/

Altre definizioni ∗^ Minimo globale : un punto^ x∈^ S^ tale che:∗^ f^ (x)^ ≤^ f^ (x)^ ∀^

x^ ∈^ S.

Minimo locale forte : un punto

∗^ xtale che per qualche

δ >^0 :

∗ f (x)^ < f^ (x)^ ∀^ x^ ∈^ S^ ∩ {x^ :^ ‖x^ −^ x

∗∗‖≤^ δ}, x^6 =^ x.^2 Minimo locale debole

∗^ : un punto xtale che per qualche

δ >^0 :

∗ f (x)^ ≤^ f^ (x)^ ∀^ x^ ∈^ S^ ∩ {x^ :^ ‖x^ −^ x

∗‖≤^ δ}^2

∗^ e xnon è un minimo locale forte.

Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 5/

Complessità

Possiamo aspettarci che l’identificazione di ottimi globali siaun problema non semplice.Ma la teoria ci dice che le cose sono anche più complicate.

Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 7/

Complessità

Introduciamo il problema

N P- completo^ SUBSET

SUM:

dati gli interi positivi

d, d,... , d, ci chiediamo se esiste^01 n

una soluzione del sistema^ ∑

ndy=^ dj^ j^0 j=1^ y∈ {^0 ,^1 }^ j^ = 1j

,... , n

In altre parole, si cerca di stabilire se esiste un sottinsiemedegli interi^ d,... , d^1

la cui somma è pari an

d.^0 Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 8/

Ottimalità locale e illimitatezza Se la difficoltà di individuare minimi globali era prevedibile,un po’ meno lo è quella dei seguenti problemi: nei problemi con e senza vincoli, stabilire se un datopunto^ non^ è un punto di minimo locale è

N P-completo;

nei problemi con e senza vincoli, stabilire se l’obiettivodel problema è illimitato sulla regione ammissibile è N P-completo.Le cose vanno un po’ meglio se si impongono restrizionisulle funzioni^ f^ e^ c.i

Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 10/

Definizione

Data una matrice simmetrica

A^ di ordine^ n, diciamo che questa è

semidefinita positiva^ se: T^ n xAx^ ≥^0 ∀^ x^ ∈^ R. Diciamo che questa è^ definita positiva

se: T n^ xAx >^0 ∀^ x^ ∈^ R\ {^0 }. Una matrice^ A^ è semidefinita (definita) positiva se e solo se tutti i suoi autovalori sono nonnegativi (positivi) [ data una matrice

A , i suoi autovalori sono le radici della seguente equazione^ det(A^ −^ λI) = 0

dove^ I^ è la matrice identica

]. Infine, una matrice^ A^ è semidefinita positiva (definita positiva) se tutti i suoi minori principalisono non negativi (positivi), dove i minori principali sono i determinanti di tutte le sottomatriciquadrate ottenute da^ A^ rimuovendo un sottinsieme delle sue righe con le corrispondenticolonne.

Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 11/

Programmazione Convessa (PC) I problemi di^ Programmazione Convessa (PC)

hanno la

seguente forma

min^ f^ (x) n^ x^ ∈^ R^ c(x)^ ≥^0 i^ ∈i

K^2

con^ f^ convessa e le

c,^ i^ ∈^ K, concave. Si noti che ii^2

problemi di PL sono una sottoclasse dei problemi di PC.

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Osservazione

I problemi PC appartengono alla classe

P. Gli algoritmi di

complessità polinomiale che hanno consentito di stabilirequesto sono gli stessi (elissoide, punto interno) che hannopermesso di catalogare nella classe

P^ i problemi di PL.^ Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 14/

Tuttavia già la trattazione degli argomenti citati rappresentaun’utile introduzione alle problematiche dell’ottimizzazionenon lineare, che possono poi venire utili anche per latrattazione dei casi non trattati in questi appunti.

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Il caso non vincolato Nel caso non vincolato gli insiemi

Ke^ Kdevono essere^1

entrambi vuoti.Vedremo per prima cosa condizioni necessarie e sufficientidi ottimalità locale per questo caso.In seguito, passeremo alla descrizione di alcuni aprroccirisolutivi.

Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 17/

In particolare ... ... per k = 1 e x(λ) =^ x+^ λs, ovvero^0 g(λ) =^ f^ (x+^0

λs),

si ha^ d^ d λ

[^ ]Tdg =x^ ∇f^ x^ d λ

T^ = s∇fx^ Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 19/

Condizioni di ottimalità Non è possibile la verifica di ottimalità

locale^ sulla base

della definizione. ⇒^ vengono ricavate delle

condizioni di ottimalità

locale. Introduzione all’ottimizzazione nonlineare – p. 20/