(riportare OBBLIGATORIAMENTE negli spazi sia formula che soluzione) Si consideri la tabella a doppia entrata riportata a lato. N.B. le frequenze sono assolute. Calcolare, se possibile:

1- Mo( X ): ___”A"_________________________________________________________________

2- Me( Y ): ___−^1 −| +1____________________________________________

3- Calcolare 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑀𝑀(𝑌𝑌|𝑋𝑋)� + 𝑀𝑀�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑌𝑌|𝑋𝑋)�:

_1.125 + 0.375= 1.5_______________________________________________________

--o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o---

Quesiti obbligatori ( rispondere ad almeno 2) (riportare risposta sul foglio “di bella”)

a) Si riportino le principali proprietà degli indici di posizione. b) Date le v.s. 𝑾𝑾, 𝒁𝒁, si mostri sotto quali condizioni 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑾𝑾) = 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽[𝑴𝑴(𝑾𝑾|𝒁𝒁)]. c) Data la retta di regressione priva del termine noto, si mostri a cosa corrisponde il calcolo del coefficiente angolare. c) Dimostrare (eventualmente con un esempio) che 𝑀𝑀 1 (𝑋𝑋)^ ≤ 𝑀𝑀 2 (𝑋𝑋).

--o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o-----o-o-o-o-o---

Parte Istituzionale (quesiti applicati)

(riportare risposte nei riquadri corrispondenti)

Si consideri la tabella seguente:

S 0 0 0 2 2 2 4 4 4

T 1 1 1 5 5 5 2 2 2

X

A B

Y

1.1) Fare un opportuno grafico del fenomeno congiunto (S,T).

Risposta Quesito 1.

1.2) Se possibile, si calcolino le seguenti statistiche:

Risposta Quesito 1.2 (riportare OBBLIGATORIAMENTE qui solo soluzione)

𝑰𝑰 𝒒𝒒𝒒𝒒𝑽𝑽𝑽𝑽𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒 𝒅𝒅𝒒𝒒 𝑺𝑺 0 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 �

1.3) Si calcolino, utilizzando il metodo dei minimi quadrati, le statistiche riportate nel riquadro sottostante relative ai seguenti modelli: a) 𝑆𝑆 = 𝑉𝑉 0 + 𝑉𝑉 1 𝑇𝑇 b) 𝑆𝑆 = 𝑏𝑏 0 + 𝑏𝑏 1 log 10 𝑇𝑇

Risposta Quesito 1.3 (riportare OBBLIGATORIAMENTE qui solo soluzione; eseguire procedimento sul foglio di “bella” da consegnare al termine della prova)

𝑽𝑽�𝒐𝒐 1.3846 𝑽𝑽�𝟏𝟏 0.2307 (^) 𝒃𝒃^ �𝟏𝟏^ 2.

Coeff di correlaz. del mod a)

Dev. Residua mod b)

Parte Istituzionale (quesiti applicati)

Si consideri la tabella seguente:

S 0 0 0 2 2 2 4 4 4

T 1 1 1 5 5 5 2 2 2

Calcolare, se possibile:

Risposta Quesito 1 (riportare OBBLIGATORIAMENTE qui solo soluzione)

Asimmetria di S 0 Curtosi di T -1.

(riportare nel campo RISP la risposta al quesito mentre commenti e formule sono da riportare sul foglio) 2 ) Si consideri un dado regolare a 5 facce. Le facce riportano i numeri { −2, −1, 0, +1, +2}. Il dado viene lanciato 2 volte. Se il punteggio ottenuto nel secondo lancio è maggiore (ma non uguale) al punteggio ottenuto nel primo lancio, allora, da un’urna che contiene il 40% di palline rosse, vengono estratte con reimmissione 10 palline. Se il punteggio ottenuto nel secondo lancio è minore o uguale al punteggio ottenuto nel primo lancio, allora dalla medesima urna vengono estratte con reimmissione 5 palline.

Calcolare:

la probabilità di ottenere almeno 1 pallina rossa; RISP:___0.950925_____
la probabilità di vincere almeno 50 volte su 100 replicazioni del gioco descritto al punto 1).

RISP:____1______________

il numero di vincite, x , sapendo che su 100 replicazioni del gioco descritto al punto 1) la probabilità di vincere non più di x volte è pari al 25%.

RISP:___93.63________

il premio equo che si dovrebbe pagare nel caso si vincano €100 nel caso 1)

RISP:___1937.71____