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PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA
27 aprile 2017
Corso di Laurea in Economia e Gestione Aziendale
Cognome Nome Classe
Matricola Firma
Riportare lo svolgimento ragionato degli esercizi, unitamente ai calcoli essenziali,
negli appositi riquadri.
Compito A
ESERCIZIO 1 (punti 5)
Una ditta di articoli di giardinaggio sta analizzando i principali motivi di insoddisfazione relativi ad una
motofalciatrice commercializzata attraverso il proprio sito web. I dati, organizzati per zona geografica sono
rappresentati in tabella:
Motivo del reclamo Italia Estero
Tempo di spedizione alto 1 14
Danni di spedizione 10 34
Prodotto troppo rumoroso 1 5
Consumi eccessivi 1 4
Guasto tecnico 1 0
a) Quale percentuale di clienti esteri si lamenta di problemi legati al trasporto?
b) Quale percentuale di clienti totali si lamenta di problemi relativi ai tempi di spedizione?
c) Rappresentare graficamente i motivi di insoddisfazione complessivi.
a) La percentuale di clienti esteri che si lamenta per motivi legati al trasporto è del
b) La percentuale di clienti totali si lamenta di problemi relativi ai tempi di spedizione è del
c) Il grafico più opportuno è un diagramma di Pareto che permette di evidenziare le principali cause
d’insoddisfazione. Dal grafico si osserva come più dell’80% dei motivi di reclamo sia dovuto a
problemi legati al trasporto.
ESERCIZIO 2 (punti 5 )
Un campione di confezioni di shampoo, dal peso dichiarato di 18,5 grammi, è stato pesato ottenendo i
seguenti risultati
a) Calcolare una misura in grammi della variabilità del peso delle confezioni di shampoo
b) Rappresentare graficamente la distribuzione, indicando la forma e l’eventuale presenza di valori anomali.
a) Una misura di variabilità in grammi è lo scarto quadratico medio del peso delle confezioni (anche il range
o la differenza interquartile sarebbero misure adeguate):
Sostituendo i valori della media campionaria si ricava x =
1
n
x
i
i = 1
n
=
1
9
- 9 = 19. 32 e quindi
la stima cercata: s
c
n − 1
x
i
− x
2
i = 1
n
x
i
2
i = 1
9
= 0. 6016. Alternativamente si poteva usare
18.5 al posto del peso medio campionario.
b) Una rappresentazione grafica particolarmente adeguata a descrivere una variabile di tipo numerico con
poche osservazioni è il diagramma ramo – foglia ((in alternativa si poteva utilizzare un istogramma o un box
plot).
Dal diagramma si nota come la distribuzione sia obliqua a destra. Per quanto riguarda i valori estremi
consideriamo i due seguenti valori soglia:
Q1 - (Q3 - Q1)1.5SD = 18.90 - (1.05)1.50.6016= 17.
Q3 + (Q3 - Q1)1.5SD = 19.95 + (1.05)1.50.6016 = 20.
per cui non vi sono outliers.
danni spedizione
tempo spedizione
rumorosità
consumi eccessivi
guasto tecnico
frequenza
0
10
20
30
40
50
60
70
0%
25%
50%
75%
100%
frequenza cumulata
a) Indicare la tipologia della variabile “Fascia di prezzo” e rappresentare graficamente la variabile.
b) Quale misura di sintesi individua il prodotto con il maggior successo di vendite della multinazionale?
c) Ricavare la distribuzione di frequenza congiunta delle variabili “Categoria” e “Fascia di prezzo”.
Attraverso un grafico opportuno studiare la dipendenza delle due variabili.
ESERCIZIO 5 (punti 5 )
Un manager della KLEAN vuole studiare con maggiore attenzione la relazione tra il prezzo di vendita degli
shampoo e le unità vendute e chiede pertanto all’esperto statistico del gruppo di fornire dati di maggior
dettaglio rispetto a quelli contenuti nella tabella dell’esercizio precedente. L’esperto in seguito invia le
seguenti informazioni (X= prezzo in euro; Y= unità vendute):
x
i
=
i = 1
7
64 ; ( x
i
− x )
2
=
i = 1
7
118 , 8571 ; y
i
=
i = 1
7
3650 ; ( y
i
− y )
2
=
i = 1
7
1586958
( x
i
− x )( y
i
− y ) =
i = 1
7
− 9996 , 429
a) La variabile è categorica (su scala ordinale essendo i livelli di prezzo naturalmente ordinabili).
b) Il prodotto con il maggior successo di vendite è il prodotto modale, ovvero lo shampoo A.
c) La tabella delle frequenze congiunte è la seguente:
Capelli/
Prezzo
basso medio alto
normali 2 1 0
ricci 0 1 1
secchi 0 0 2
Utilizzando la tabella si può costruire un grafico a barre accostate per studiare la dipendenza tra le
due variabili. Dal grafico è evidente una certa dipendenza tra le due variabili; ad esempio i
prodotto per capelli secchi e ricci costano mediamente più di quelli per capelli normali.
a) Aiutate il manager a calcolare un’opportuna misura della relazione tra le due variabili e commentate il
risultato ottenuto.
b) Quante unità si potrebbero vendere al prezzo di 10 euro?
a) Una misura della forza della relazione lineare tra le due variabili è il coefficiente di correlazione
lineare. Consideriamo i dati come provenienti da un campione con n=7 unità:
r =
n − 1
( x
i
− x )( y
i
− y )
i
s
x
s
y
Il valore ottenuto indica una forte correlazione negativa tra prezzo e numero di unità vendute.
b) L’equazione della retta di regressione stimata è
y = b
0
1
x = 1290. 4 − 84. 1 x. Pertanto ad un prezzo di
vendita pari a 10 euro ci si può aspettare di vendere
- 4 − 84. 1 ⋅ 10 = 449. 4
confezioni di shampoo.
ESERCIZIO 6 (punti 5 )
Il signor M. deve partire per Milano con il volo delle 7:00 ma si è dimenticato di acquistare il biglietto.
Arrivato in aeroporto, apprende che il volo è pieno ed è quindi inserito in lista d’attesa: partirà solamente se
qualcuno dei 100 passeggeri rinuncerà al volo. Il signor M. attribuisce a ogni passeggero una probabilità di
rinunciare al volo (indipendente dalle scelte degli altri passeggeri) pari a 0,50.
a) Qual è la probabilità che il signor M. riesca a partire se è primo nella lista d’attesa?
b) Alle ore 6.30, 5 passeggeri prenotati non si sono ancora presentati all’imbarco. La lista d’attesa
include 3 passeggeri (incluso il signor M.). Qual è la probabilità che tutti i passeggeri in lista d’attesa
riescano a partire?
a) La probabilità che tutti e cento i passeggeri si presentino all’imbarco è, per le ipotesi fatte, 0.
100
. Il
signor M. parte se almeno uno dei cento passeggeri non si presenta all’imbarco ovvero con
probabilità 1 - 0.
100
(un numero molto prossimo ad uno). In alternativa si poteva osservare come il
numero X di passeggeri che non si presenta all’imbarco ha distribuzione binomiale di parametri
n=100 e p=0.5 e ricavare quindi P(X ≥1)=1-P(X=0) utilizzando la funzione di probabilità binomiale.
b) Se indichiamo con Y il numero dei passeggeri mancanti che non si presenterà all’imbarco la
probabilità richiesta è P(Y≥3) ovvero P(Y=3) + P(Y=4) + P(Y=5). Tale probabilità può quindi essere
facilmente calcolata utilizzando la funzione di probabilità di Y (una binomiale di parametri n=5 e
p=0.5). Si può anche osservare che, essendo p=0.5, tale distribuzione di probabilità binomiale è
simmetrica e pertanto P(Y≥3)=0.5.
