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Esercizio funzioni e matrici per la prova d’esame
Tipologia: Esercizi
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Cognome: Nome: Matricola:
3 , 1 , −1) e ortogonale al vettore n = −i +
3 j + 2k. Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e perpendicolare al piano ottenuto. Trovare il punto di intersezione tra retta e piano e calcolarne la distanza dall’origine.
{ x − y + λz = 0 x − λy + z = 1 x + z = 1 Trovare le soluzioni (quando esistono) utilizzando un metodo a piacere.
−(x −
3(y − 1) + 2(z + 1) = 0,
ovvero −x +
3 y −
3 + 2z + 2 = 0.
Semplificando e cambiando i segni si ottiene
x −
3 y − 2 z = 2.
Una retta perpendicolare al piano avr`a la stessa direzione del vettore n; se la retta passa anche per l’origine, possiamo scrivere (in forma vettoriale, ponendo r = xi + yj + zk)
r = n t, t ∈ R.
Le equazioni parametriche sono allora (^) { x = −t, y =
3 t z = 2 t
Sostituendole nell’equazione del piano si trova −t − 3 t − 4 t = 2, ovvero 8t = −2, t = − 1 /4. Quindi, il punto di intersezione ha coordinate (1/ 4 , −
3 / 4 , − 1 /2). La sua distanza dall’origine `e uguale a 1 4
1 − 1 λ 1 −λ 1 1 0 1
il cui determinante vale
detA = λ^2 − λ = λ(λ − 1).
Se λ 6 = 0 e λ 6 = 1, il sistema ammette una sola soluzione. Se λ = 0 il sistema e indeterminato (la seconda e la terza equazione coincidono). Se λ = 1 il sistemae impossibile (la prima e la seconda equazione sono incompatibili). La stessa conclusione si poteva ricavare applicando il teorema di Rouch´e-Capelli: se λ = 0, rango A=rango(A|b) = 2 (b vettore colonna dei termini noti); se λ = 1, rango A = 2, rango(A|b) = 3. Risoluzione: dalla seconda e dalla terza equazione si ricava (se λ 6 = 0) y = 0 ; il sistema si riduce alle due equazioni (^) { x + λz = 0 x + z = 1 da cui si ricava facilmente
x =
λ λ − 1
, z =
1 − λ
; (λ 6 = 1).
Nel caso λ = 0, le soluzioni sono i punti della retta x = y = 1 − z (in forma parametrica, ponendo x = y = t: x = t, y = t, z = −t + 1, t ∈ R).
a) Il numero di possibili giurie e uguale al numero di modi in cui si possono scegliere 3 elementi da un insieme di 6 senza tenere conto dell’ordine; tale numeroe dato dal coefficiente binomiale ( 6 3
Il numero di giurie formate da sole donne `e invece ( 4 3
Dunque, la probabilita di una giuria di sole donnee pari a
p 1 =
Se una giuria non e formata da sole donne, deve ovviamente essere presente almeno un uomo. Dunque ci sono 20 − 4 = 16 giurie con almeno un uomo e la probabilita di scegliere a caso una di queste `e
p 2 =
Osservare che p 1 + p 2 = 1; infatti, i due insiemi sono disgiunti e la loro unione contiene tutti i possibili eventi.
b) Dalla definizione di valore assoluto abbiamo i sistemi: { x(x − 3) ≥ 0 x ≥ 0
x(x + 3) ≥ 0 x ≤ 0
risolvendo i quali, troviamo le soluzioni: x = 0; x ≥ 3; x ≤ − 3.
Dunque, la disequazione vale per
x ∈ (−∞, −3] ∪ { 0 } ∪ [3, +∞).
c) Il volume richesto `e uguale al valore assoluto del prodotto misto: ∣ ∣(u + 3w) · (−u ∧ 2 v)
∣u · (−u ∧ 2 v) + 3w · (−u ∧ 2 v)
∣ 0 − 6 w · (u ∧ v)
∣u · (v ∧ w)
d) Le lunghezze delle diagonali sono
|a + b| = | 4 i − 2 j − 3 k| =
|a − b| = | 2 i + j + 2k| =
Le due diagonali sono perpendicolari poich´e:
(a + b) · (a − b) = 8 − 2 − 6 = 0.
