prove d esame miste ., Prove d'esame di Fisica Tecnica

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Fisica Tecnica – Ingegneria Meccanica

Soluzioni dell’appello di Fisica Tecnica del 07/04/

Esercizio 1

Un ciclo Diesel ad aria ideale (PM=28,97 kg/kmol) ha un rapporto di compressione pari a 20. La

pressione e la temperatura di inizio compressione sono, rispettivamente, 1 bar e 25 °C. Il calore fornito

dalla sorgente calda è 1000 kJ/kg. Determinare il rendimento e le temperature dei rimanenti punti del

ciclo.

Soluzione

∗

ଵ

∗

ଵ

ଵ

ଷ

Il punto 2 presenta un volume specifico 20 volte inferiore rispetto al punto 1:

ଶ

ଵ

௖

ଷ

ଷ

La temperatura del punto 2 si ottiene con la relazione dell’adiabatica reversibile, la temperatura del

punto 3, invece, grazie all’informazione sul calore fornito nell’isobara.

𝟐

𝟏

𝒄

𝛄ି 𝟏

𝟎,𝟒

𝟑

𝟐

𝟐𝟑

𝒑

Il rapporto di combustione, grazie al quale è possibile calcolare il rendimento è:

ଷ

ଶ

ଷ

ଶ

𝐜

𝛄ି 𝟏

𝜸

𝟏,𝟒ି 𝟏

𝟏,𝟒

Un possibile modo per calcolare la temperatura del punto 4 è il seguente:

η = 1 −

q

ସଵ

q

ଶଷ

c

୴

ସ

ଵ

q

ଶଷ

𝟒

𝟏

𝟐𝟑

𝒗

Esercizio 2

Utilizzando i dati dell’esercizio 1, si determinino le variazioni di entropia lungo le quattro trasformazioni del

ciclo Diesel.

Soluzione

La trasformazione 1-2 è un’adiabatica reversibile, per cui:

ଵଶ

La trasformazione 2-3 è un’isobara:

ଶଷ

௣

ln

ଷ

ଶ

La trasformazione 3-4 è un’adiabatica reversibile, per cui:

ଷସ

La trasformazione 4-1 è un’isocora:

ସଵ

௩

ln

ଵ

ସ

Come era prevedibile, la variazione di entropia specifica dell’intero ciclo è nulla.

Quesito 1

Un ingegnere sostiene di aver progettato una macchina termica capace di produrre 700 W di potenza

meccanica assorbendo 1000 W termici da una sorgente calda a 800 K. La macchina in questione cede

calore ad una sorgente termica a temperatura ambiente (298 K). Dimostrare che non è possibile

realizzare questo tipo di macchina.

Soluzione

Il rendimento della macchina termica è:

η =

ଵ

Il rendimento di una macchina di Carnot operante tra le stessa sorgenti di temperatura è:

η

ୡ

T

ଶ

T

ଵ

Il rendimento della macchina termica non può essere superiore a quello della macchina di Carnot

operante tra gli stessi estremi di temperatura: la macchina non è realizzabile.

Fisica Tecnica – Ingegneria Meccanica

Soluzioni dell’appello di Fisica Tecnica del 30/06/

Esercizio 1

Una portata di 5 kg/s di aria ideale (PM = 28,97 kg/kmol) percorre un ciclo Joule ideale con un rapporto di

pressione pari a 10. La temperatura all’inizio della compressione è 300 K, mentre la temperatura alla fine

dell’espansione è 400 K. Determinare il rendimento del ciclo, la temperatura di inizio espansione e la potenza

meccanica utile prodotta.

Soluzione

Il rendimento del ciclo Joule è:

𝐩

𝜸ି 𝟏

𝜸

𝟏,𝟒ି 𝟏

𝟏,𝟒

La temperatura alla fine della compressione può essere ottenuta attraverso la relazione dell’adiabatica

reversibile:

ଵ

ଶ

ଵ

ଶ

ఊିଵ

ఊ

ଶ

ଵ

ଶ

ଵ

ఊିଵ

ఊ

ଵ,ସିଵ

ଵ,ସ

Siccome il ciclo presenta trasformazioni a due a due uguali, la temperatura di inizio espansione è:

𝟑

𝟐

𝟒

𝟏

La potenza termica assorbita dal ciclo è:

ଵ

ଶଷ

௣

ଷ

ଶ

∗

La potenza meccanica utile è:

𝟏

Esercizio 2

Un sistema termodinamico evolve secondo un ciclo diretto composto da due trasformazioni isoterme

completamente reversibili (le cui temperature sono rispettivamente di 300 K e 600 K) e due

trasformazioni adiabatiche irreversibili. Nell’adiabatica di compressione si ha un incremento di

entropia di 2 J/K. Durante il ciclo, il sistema riceve 3000 J di calore e cede 2400 J di calore.

Si chiede di calcolare il rendimento del ciclo, la variazione di entropia dell’universo termodinamico

e l’incremento di entropia del sistema durante l’adiabatica di espansione.

Soluzione

Siccome due trasformazioni sono adiabatiche, i calori saranno scambiati

solamente attraverso le isoterme. Siccome il ciclo è diretto, il calore sarà

in ingresso in corrispondenza dell’isoterma a temperatura maggiore e

sarà in uscita in corrispondenza dell’isoterma a temperatura minore:

ଶଷ

= 3000 𝐽 e Q

ସଵ

a) Il rendimento del ciclo può essere calcolato utilizzando i calori

scambiati:

𝟒𝟏

𝟐𝟑

b) La variazione di entropia dell’universo è data dalla somma della variazione di entropia del sistema

(pari a 0 in quanto il sistema evolve ciclicamente) e della variazione di entropia dell’esterno.

௨

௦௜௦

௘௦௧

௘௦௧

Gli scambi di calore avvengono attraverso le trasformazioni isoterme 2-3 e 4-1, le quali sono

completamente reversibili: ciò significa che le sorgenti con le quali interagiscono presentano

temperature analoghe 𝑇

ଶ

ଷ

௦ଵ

= 600 𝐾 e 𝑇

ଵ

ସ

௦ଶ

= 300 𝐾. La sorgente a

temperatura 𝑇

௦ଵ

cede il calore Q

ଶଷ

mentre la sorgente a temperatura 𝑇

௦ଶ

riceve il calore Q

ସଵ

. La

variazione di entropia dell’universo termodinamico sarà, dunque:

𝒖

𝒆𝒔𝒕

𝟐𝟑

𝒔𝟏

𝟒𝟏

𝒔𝟐

c) Come già detto, la variazione di entropia del sistema è nulla. Si può scrivere, quindi:

௦௜௦

ଵଶ

ଶଷ

ଷସ

ସଵ

ଵଶ

ଶଷ

ଶ

ଷ

ଶ

ଶଷ

ଶ

ସଵ

ଵ

ଵ

ସ

ସଵ

ଵ

𝟑𝟒

𝟏𝟐

𝟐𝟑

𝟒𝟏

Quesito 2

Un sistema termodinamico evolve, secondo una politropica di indice n, da uno stato 1 (p 1

,v 1

) ad uno

stato 2 (p 2 , v 2 ). Scrivere l’equazione del lavoro nel caso di sistema senza deflusso e di sistema con

deflusso.

Soluzione

ℓ

12

=

p

2

v

2

• p

1

v

1

1 - n

ℓ

12

=- vdp =

1

2

ò

• p

1

1

n

×v

1

p

1

n

1

2

ò

dp = -

n

n - 1

p

1

1

n

×v

1

p

1 -

1

n

1

2

=

=

n

1 - n

p

1

1

n

×v

1

p

2

n- 1

n

• p

1

n- 1

n

= n

p

2

v

2

• p

1

v

1

1 - n

Quesito 3

Un gas ideale biatomico alla temperatura T 1

viene riscaldato finché raggiunge la temperatura T 2

seguendo una trasformazione politropica. Confrontare la variazione di entropia del gas nei casi in cui

l’indice della politropica sia 𝑛 ଵ

= 2 e 𝑛

ଶ

Soluzione

La variazione di entropia lungo una trasformazione politropica è:

∆𝑆 = 𝑐 ln

ଶ

ଵ

in cui il risultato del logaritmo naturale del rapporto delle temperature è positivo ed è coincidente per

le due trasformazioni. La variazione di entropia sarà, dunque, maggiore per la politropica che presenta

una capacità termica molare più alta:

௣

௩

௩

௣

ଵ

ଶ

𝒄

< 𝒄

→ ∆𝑺

< ∆𝑺

ଵ

ଶ

ଵ

ଶ

ଵ

ଶ

Non determinabile

Quesito 4

Il candidato disegni il circuito elettrico equivalente relativo ad un problema di irraggiamento in una

cavità composta da 3 superfici (una grigia e due nere).

Soluzione

Esercizio 2

Del vapore surriscaldato a temperatura di 760°C e alla pressione di 100 bar espande adiabaticamente in turbina

in modo irreversibile fino alla pressione di 50 bar (rendimento isoentropico di 0,846).

Successivamente, il vapore subisce un’ulteriore espansione adiabatica irreversibile fino alla pressione di 5 bar,

con aumento di entropia specifica pari a 96,

௃

௞௚ ௄

.

Determinare:

1. Il rendimento isoentropico della seconda espansione;

2. Il lavoro specifico totale compiuto dal vapore.

(fare uso delle tabelle termodinamiche in fondo al documento)

Soluzione

Con riferimento alla tabella con pressione pari a 100 bar è

possibile individuare l’entalpia specifica e l’entropia specifica

del punto iniziale.

ℎ

ଵ

= 4015,

𝑘𝐽

𝑘𝑔

𝑠

ଵ

= 7,

𝑘𝐽

𝑘𝑔 𝐾

Se la trasformazione avvenisse in maniera adiabatica reversibile

giungerebbe al punto termodinamico 2, il quale presenta

pressione di 50 bar e entropia 𝑠 ଶ

= 𝑠

ଵ

= 7,

௞௃

௞௚ ௄

. È possibile

individuare il punto 2 nella tabella relativa alla pressione di 50 bar utilizzando il valore di entropia 𝑠

ଶ

.

Si legge che la temperatura del punto 2 è di 620°C e l’entalpia specifica è: ℎ ଶ

= 3712,

௞௃

௞௚

L’espansione avviene in modo irreversibile con rendimento isoentropico pari a 0,846. Questo dato consente di

individuare l’entalpia specifica del reale punto di fine espansione:

η

௜௦

=

ℎ

ଵ

− ℎ

ଶᇱ

ℎ

ଵ

− ℎ

ଶ

→ ℎ

ଶᇱ

= ℎ

ଵ

− η

௜௦

( ℎ

ଵ

− ℎ

ଶ

) = 4015,4 − 0,

( 4015,4 − 3712,

)

𝑘𝐽

𝑘𝑔

= 3759,

𝑘𝐽

𝑘𝑔

Con riferimento alla tabella di 50 bar, è possibile individuare il punto 2’ utilizzando l’entalpia specifica. Si

osserva che esso corrisponde alla temperatura di 640°C con entropia specifica: 𝑠

ଶᇱ

= 7,

௞௃

௞௚ ௄

Il vapore subisce una nuova trasformazione adiabatica irreversibile. È possibile determinare, come in

precedenza, il punto finale della trasformazione ideale (punto 3), sapendo che è caratterizzato da una pressione

di 5 bar ed entropia uguale al punto 2’: 𝑠 ଷ

= 𝑠

ଶᇱ

= 7,

௞௃

௞௚ ௄

. In tabella si legge che il punto 3 presenta una

temperatura di 275°C ed entalpia specifica: ℎ ଷ

= 3012,

௞௃

௞௚

Il reale punto di fine espansione 3’ si trova alla pressione di 5 bar e possiede un’entropia specifica superiore

di 96,

௃

௞௚ ௄

rispetto ad 𝑠

ଷ

ed 𝑠

ଶᇱ

:

𝑠

ଷᇱ

= 𝑠

ଶᇱ

• 𝛥𝑠

ଶᇱଷᇱ

= 7,

𝑘𝐽

𝑘𝑔 𝐾

• 0,

𝑘𝐽

𝑘𝑔 𝐾

= 7,

𝑘𝐽

𝑘𝑔 𝐾

Entrando in tabella con questo valore, si evince che la temperatura del punto 3’ è 300°C e l’entalpia specifica:

ℎ

ଷᇱ

= 3063,

𝑘𝐽

𝑘𝑔

Il rendimento isoentropico della seconda trasformazione sarà dunque:

𝛈

𝒊𝒔

=

𝒉

𝟐ᇱ

− 𝒉

𝟑ᇱ

𝒉

𝟐ᇱ

− 𝒉

𝟑

=

𝟑𝟕𝟓𝟗, 𝟑 − 𝟑𝟎𝟔𝟑, 𝟕

𝟑𝟕𝟓𝟗, 𝟑 − 𝟑𝟎𝟏𝟐, 𝟎

= 𝟎, 𝟗𝟑𝟏

Il lavoro specifico totale è dato dalla differenza di entalpia specifica tra il punto iniziale e il punto

finale.

𝒍 = 𝒉

𝟏

− 𝒉

𝟑

ᇲ = 𝟒𝟎𝟏𝟓, 𝟒

𝒌𝑱

𝒌𝒈

− 𝟑𝟎𝟔𝟑, 𝟕

𝒌𝑱

𝒌𝒈

= 𝟗𝟓𝟏, 𝟕

𝒌𝑱

𝒌𝒈

Esercizio 3

Una piastra piana di 1 m

2

di acciaio inox (k=15 W/mK) dello spessore di 20 cm è riscaldata

mediante generazione interna di calore. Sapendo che la temperatura massima nella piastra è di

40°C, si determini la potenza generata 𝑞̇ e la potenza complessivamente dispersa, nell’ipotesi che

la temperatura superficiale esterna (di entrambe le facce) sia pari a 20°C.

Soluzione

È necessario integrare due volte l’equazione generale della conduzione

in geometria piana, nel caso stazionario.

ଶ

ଶ

ଵ

ଶ

ଵ

ଶ

Poniamo l’origine del sistema di riferimento in corrispondenza del centro

della piastra e definiamo L pari a metà dello spessore della piastra. L=0,1 m.

Le condizioni al contorno per individuare le costanti di integrazione sono:

= 0 (per le particolari condizioni di simmetria)

𝑥 = 0 T(x) = T

୑ୟ୶

(in alternativa: 𝑥 = 𝐿 T(x) = T

ୣ

Dalla prima condizione risulta 𝐶

ଵ

= 0. Dalla seconda:

ଶ

ଶ

ଶ

ଶ

= T

୑ୟ୶

ଶ

= T

୑ୟ୶

Il profilo di temperatura è, quindi, il seguente:

𝑇(𝑥) = T

୑ୟ୶

ଶ

Quesito 3

Un sistema termodinamico evolve secondo la trasformazione irreversibile rappresentata in Figura.

Quanto vale la variazione di entropia dell’universo?

Soluzione

Per il secondo principio della termodinamica, se nell’universo termodinamico avvengono

trasformazioni irreversibili, la variazione di entropia dell’universo è maggiore di 0.

𝒖

Quesito 4

Si disegni lo schema di un impianto di climatizzazione estiva, evidenziando tutti i componenti

dell’unità di trattamento dell’aria (UTA). Si riportino, inoltre, sul diagramma di Mollier, tutte le

trasformazioni subite dall’aria umida.

Soluzione

S

T

i

f

௨

௨

௨

Servono ulteriori informazioni

relative all’ambiente esterno

Quesito 5

Due piastre, piane, parallele ed infinite (una grigia con emissività ε 1

ed una nera) sono separate da

uno schermo grigio che presenta emissività diverse nelle sue due superfici: εs sul lato di sinistra, εd

sul lato di destra (vedi Figura).

Il candidato disegni il circuito elettrico equivalente (indicando le grandezze presenti nei potenziali ed

esplicitando le espressioni delle resistenze).

Soluzione

Fisica Tecnica – Ingegneria Meccanica

Soluzioni dell’appello di Fisica Tecnica del 09/09/

Esercizio 1

Determinare il rendimento ed il lavoro specifico utile di un ciclo Diesel ad aria ideale (PM=28,96 kg/kmol)

sapendo che le temperature di inizio e fine combustione sono di 700 K e 1400 K. Il rapporto di compressione

è 10.

Soluzione

∗

Per determinare il rendimento del ciclo Diesel è necessario conoscere, oltre al rapporto di

compressione, anche il rapporto di combustione. Quest’ultimo è determinabile usando le

temperature di inizio e fine combustione:

ଷ

ଶ

ଷ

ଶ

Ricordando che l’aria è un gas biatomico, per il quale 𝛾 = 1,4, il rendimento del ciclo Diesel è:

𝒄

𝜸ି 𝟏

𝜸

𝟏,𝟒ି 𝟏

𝟏,𝟒

Il ciclo Diesel assorbe il calore 𝑞

ଶଷ

attraverso l’isobara di combustione:

ଶଷ

௣

ଷ

ଶ

∗

ଷ

ଶ

Il lavoro specifico utile può essere determinato utilizzando la definizione del rendimento:

௨

ଶଷ

Da cui:

𝒖

𝟐𝟑

𝑄

̇

ଶ௣ௗ௖

𝑄

̇

ଵ௣ௗ௖

𝐿

̇

௣ௗ௖

𝑄

̇

ଵ௠

𝑄

̇

ଶ௠

𝐿

̇

௦௢௟௟

Esercizio 2

Una macchina termica con rendimento pari a 0,30 opera tra due sorgenti termiche rispettivamente alle

temperature di 20 °C e 1000 °C. La potenza termica che assorbe dalla sorgente calda è 10 kW.

Il 40% della potenza meccanica generata dalla macchina termica viene utilizzato per azionare una pompa di

calore con COP pari a 4, la restante parte viene usata per azionare un impianto di sollevamento. La pompa di

calore opera tra due sorgenti termiche alle temperature di 20 °C e 100 °C. Determinare: la potenza meccanica

utilizzata dall’impianto di sollevamento, la potenza termica fornita dalla pompa di calore alla sua sorgente

calda, la variazione di entropia per unità di tempo dell’universo termodinamico ∆𝑆

̇

௨

(considerare nullo il

contributo dell’impianto di sollevamento).

Soluzione

La potenza meccanica totale generata dalla macchina termica è

ottenibile utilizzando la definizione del rendimento della macchina

termica. Nota la potenza termica 𝑄

̇

ଵ௠

che la macchina assorbe dalla

sorgente a temperatura 𝑇 ଵ

= 1273 𝐾, la potenza meccanica totale

è:

𝐿

̇

௠

= 𝑄

̇

ଵ௠

∙ 𝜂 = 10 𝑘𝑊 ∙ 0,30 = 3 𝑘𝑊

Di conseguenza, la macchina termica cede alla sorgente a

temperatura 𝑇

ଶ

= 293 𝐾 la potenza termica 𝑄

̇

ଶ௠

:

𝑄

̇

ଶ௠

= 𝑄

̇

ଵ௠

− 𝐿

̇

௠

= 10 𝑘𝑊 − 3 𝑘𝑊 = 7 𝑘𝑊

La potenza meccanica fornita alla pompa di calore è il 40% di quella generata dalla macchina 𝐿

̇

௠

, ovvero:

𝐿

̇

௣ௗ௖

= 0,40 ∙ 𝐿

̇

௠

= 0,40 ∙ 3 𝑘𝑊 = 1,2 𝑘𝑊

La potenza meccanica fornita all’impianto di sollevamento è la restante aliquota, ovvero:

𝑳

̇

𝒔𝒐𝒍𝒍

= 𝑳

̇

𝒎

− 𝑳

̇

𝒑𝒅𝒄

= 𝟑 𝒌𝑾 − 𝟏, 𝟐 𝒌𝑾 = 𝟏, 𝟖 𝒌𝑾

La pompa di calore, che possiede COP = 4, fornisce alla sua sorgente calda (alla temperatura 𝑇

ଷ

=373 K) la

potenza termica 𝑄

̇

ଵ௣ௗ௖

, ottenibile usando la definizione del COP:

𝑸

̇

𝟏𝒑𝒅𝒄

= 𝑪𝑶𝑷 ∙ 𝑳

̇

𝒑𝒅𝒄

= 𝟒 ∙ 𝟏, 𝟐 𝒌𝑾 = 𝟒, 𝟖 𝒌𝑾

Infine, la pompa di calore assorbe dalla sorgente fredda 𝑇

ଶ

la potenza termica 𝑄

̇

ଶ௣ௗ௖

:

𝑄

̇

ଶ௣ௗ௖

= 𝑄

̇

ଵ௣ௗ௖

− 𝐿

̇

௣ௗ௖

= 4,8 𝑘𝑊 − 1,2 𝑘𝑊 = 3,6 𝑘𝑊

La variazione di entropia dell’universo per unità di tempo è data dai soli contributi delle sorgenti, in quanto

sia la macchina termica che la pompa di calore operano ciclicamente e la loro variazione di entropia è nulla:

∆𝑺

̇

𝒖

= −

𝑸

̇

𝟏𝒎

𝑻

𝟏

𝑸

̇

𝟐𝒎

𝑻

𝟐

𝑸

̇

𝟏𝒑𝒅𝒄

𝑻

𝟑

−

𝑸

̇

𝟐𝒑𝒅𝒄

𝑻

𝟐

= −

𝟏𝟎 𝒌𝑾

𝟏𝟐𝟕𝟑 𝑲

𝟕 𝒌𝑾

𝟐𝟗𝟑 𝑲

𝟒, 𝟖 𝒌𝑾

𝟑𝟕𝟑 𝑲

−

𝟑, 𝟔 𝒌𝑾

𝟐𝟗𝟑 𝑲

= 𝟏𝟔, 𝟔

𝑾

𝑲

Quesito 1

Di una miscela di aria umida sono note la temperatura di bulbo umido e l’umidità relativa. Il

candidato individui lo stato della miscela sul diagramma di Mollier dell’aria umida.

Soluzione

Quesito 2

Il candidato definisca l’efficienza e l’efficacia di un’aletta.

Soluzione

L’efficienza dell’aletta 𝜂 ௔௟௘௧௧௔

è il rapporto tra la potenza termica reale trasmessa dall’aletta e quella

ideale che l’aletta trasmetterebbe qualora si trovasse tutta alla temperatura della base:

௔௟௘௧௧௔

௔௟௘௧௧௔

௔௟௘௧௧௔.௠௔௫

௔௟௘௧௧௔

଴

ஶ

in cui P è il perimetro della sezione longitudinale dell’aletta, L è la lunghezza dell’aletta, 𝑇 ଴

è la

temperatura del bordo d’attacco e 𝑇 ஶ

è la temperatura del fluido.

L’efficacia dell’aletta 𝜀 ௔௟௘௧௧௔

è il rapporto tra la potenza termica reale trasmessa dall’aletta e quella

che scambierebbe la superficie nuda, sprovvista di alettatura:

௔௟௘௧௧௔

௔௟௘௧௧௔

௦௘௡௭௔ ௔௟௘௧௧௔

௔௟௘௧௧௔

଴

ஶ

in cui A è la superficie di base dell’aletta.

Quesito 3

Si scriva il teorema di Clausius per ciclo internamente irreversibile ed esternamente reversibile

con riferimento sia alla temperatura del sistema che a quella della sorgente.

Soluzione

Per un ciclo internamente irreversibile il teorema di Clausius è rappresentato dalla seguente

diseguaglianza:

La reversibilità esterna indica che, durante gli scambi di calore, le temperature del ciclo coincidono

sempre con le temperature delle sorgenti, per cui 𝑇 = 𝑇

௦௢௥௚

. Il teorema di Clausius, scritto con

riferimento alla temperatura della sorgente sarà, dunque:

௦௢௥௚

Quesito 4

Un cavo elettrico ha un raggio esterno minore di quello critico. Affinché il cavo non si surriscaldi, è

necessario isolare (SI/NO)?

Soluzione

Il raggio esterno del cavo è inferiore al raggio critico. La figura mostra che l’aggiunta di materiale

isolante farebbe diminuire la resistenza termica, facendo aumentare di conseguenza il flusso termico

disperso. Se si vuole evitare che il cavo si surriscaldi bisogna, quindi, isolarlo fino al valore critico.

La risposta è SI.