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Ci sono solamente 10 tipi di persone nel mondo: chi comprende il sistema binario e chi no.
Anonimo
I sistemi di numerazione
e
la numerazione binaria
1 Sistema additivo e sistema posizionale
Contare per oggetti ed eseguire confronti è stato utile finché le quantità erano piccole. Per definire quantità elevate è stato poi necessario trovare un sistema diverso e valido in ogni situazione. L’uomo si è dotato, nel tempo, di simboli e di regole particolari per rappresentare i numeri naturali, costruendo dei veri e propri sistemi di numerazione. Per sistema di numerazione è un insieme di simboli di rappresentazione dei numeri e di regole per contare ed eseguire operazioni.
SISTEMI ADDITIVI
I sistemi arcaici erano solitamente di tipo additivo. Nei sistemi additivi il numero rappresentato si otteneva sommando il valore costante dei simboli. Erano di questo tipo il sistema di numerazione egiziano, quello greco e quello romano. I sistemi additivi presentavano lo svantaggio di richiedere sempre nuovi simboli, a mano a mano che i numeri diventano più grandi. Comportavano, inoltre, difficoltà nel calcolo.
SISTEMI POSIZIONALI
Per rispondere a nuove necessità e per avere sistemi più efficaci, furono introdotti sistemi di tipo posizionale , che attribuiscono ai simboli, utilizzati per comporre un
numero, un “peso” diverso in base alla loro posizione ( cifre uguali in posizioni diverse
hanno peso diverso ).
Un sistema di numerazione posizionale è definito dalla base utilizzata per la rappresentazione. La base e`il numero di cifre utilizzato in un sistema posizionale. Un sistema posizionale in base b ha b simboli per rappresentare i diversi valori tra 0 e b-1.
Ad. es il sistema in base 10 utilizza i numeri da 0 a 9. Nel numero 333 la cifra 3 si ripete tre volte in posizioni diverse, quindi con pesi diversi. Partendo da destra abbiamo il 3 che rappresenta tre unità poi il 3 che rappresenta tre decine (30) e in fine il 3 che rappresenta tre centinaia (300).
L'invenzione del sistema posizionale ebbe un'importanza enorme nel cammino della civiltà affermandosi nel tempo su tutti gli altri. Il sistema posizionale, infatti, permette di rappresentare tutti i numeri, grandi e piccoli, mediante l’uso di pochi simboli e il rispetto di semplici regole. Le basi più usate fin dall’antichità furono la base 5 e la base 10, collegate con l’abitudine di contare con le mani, oppure la base 20, introdotta dai Maya. I Sumeri, grandi cultori dell’astronomia, avevano adottato la base 60, che ancora oggi è utilizzata nelle misure degli angoli e del tempo.
I sistemi di numerazione posizionali più utilizzati: decimale (base 10) dieci cifre, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 binario (base 2) due cifre, 0 1 ogni cifra è detta bit ( B inary dig IT) ottale (base 8) otto cifre, 0 1 2 3 4 5 6 7 esadecimale (base 16) sedici cifre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Vediamo un esempio che ci fa comprendere meglio che il sistema romano è un sistema additivo. Nei numeri LXIII (63), MDCCL (1750) e CLVI (156) nonostante la lettera L occupi posizioni diverse vale sempre 50.
Il sistema di numerazione romano non ha avuto grande continuità nei secoli, perché presentava alcuni limiti di applicazione:
- difficoltà a scrivere numeri grandi;
- nei calcoli i simboli non si possono incolonnare;
- non c’è modo di rappresentare lo zero, le quantità negative, i numeri decimali e le frazioni.
Il sistema decimale
Il sistema di numerazione da noi usato è quello decimale ed è di tipo posizionale. I simboli del nostro sistema di numerazione sono detti cifre.
Il sistema è detto decimale perché ha dieci simboli. L’adozione, quasi universale, della base dieci è stata indubbiamente imposta dall’anatomia delle mani, perché sulle dieci dita l’uomo ha imparato a contare.
Le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 sono utilizzate per scrivere i numeri nel sistema di numerazione decimale. Usando questi simboli è possibile comporre qualsiasi numero. Una cifra isolata nel sistema decimale rappresenta le unità. Una cifra scritta alla sua sinistra rappresenta le decine e così via. Una cifra, infatti, assume un valore dieci volte superiore avanzandola di un posto verso sinistra. Lo zero assume un ruolo rilevante nei sistemi posizionali, perché occupa le posizioni prive di unità di un certo ordine.
Vediamo un esempio: 8641 = 8 migliaia + 6 centinaia + 4 decine + 1 unità cioè 8*1000 + 6 * 100 + 4 * 10 + 1
Utilizzando le potenze di 10 posso riscriverlo in questo modo:
8 10 3 + 6 * 10² + 4 10 + 1* 10^0
Ripassiamo le potenze...
Il numero 434 lo possiamo scrivere in questo modo:
La cifra all'estrema destra del numero ha il valore minore (cifra meno significativa), quella all'estrema sinistra ha il valore maggiore (cifra più significativa).
Esercizi
- Scrivi in forma polinomiale seguenti numeri:
3045=
9481=
12817,001=
1997,76 =
- Scrivi in forma normale i seguenti numeri polinomiali:
5.10 4 + 4.10 3 + 2.10² + 3.10 1 + 6=
2.10 6 + 3.10 5 + 6.10² + 8.10 1 =
9.10² +1 =
4.10 5 + 2.10 4 + 3.10 3 + 1=
- Spiega la differenza tra sistemi di numerazione additivi e sistemi di numerazione posizionali. 4)Quante cifre occorrono nel sistema di numerazione a base 7?
- Spiega perché la scrittura 5732 non puo' rappresentare un numero in base 6.
- Perché la base in cui e` scritto 133201 deve essere maggiore o uguale a 4?
- Quante e quali sono le cifre del sistema di numerazione esadecimale?
- Che cosa s’intende per forma polinomiale di un numero scritto in base b?
3 Il sistema binario
La numerazione binaria, che adotta la base due e utilizza solo le cifre “0” e “1” è, oltre a quella decimale, di impiego piuttosto frequente. E' un sistema di numerazione posizionale. La potenza del calcolo dei computer deriva proprio dall’utilizzo del codice binario, infatti questo sistema trova corrispondenza con i componenti elettronici che funzionano in on/off, cioè con le condizioni di acceso/spento oppure di si/no.
Il peso di una cifra è uguale alla base del sistema di numerazione, 2 in questo
esempio, elevata alla potenza uguale alla posizione della cifra nel numero, posizione
che si incrementa da destra a sinistra a partire da 0.
La tabella dei pesi delle cifre binarie:
Regole di conversione di base
base b → base decimale
Per determinare la rappresentazione, in base 10, di un numero di cui conosciamo la rappresentazione in base b, lo si può scrivere in forma polinomiale ed eseguire i calcoli in base 10.
Esempio da base 2 a base 10: (101) 2 = 1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 1 × 2^0 = 4 + 0 + 1 = (5) (^10) (10100) 2 = 1 × 2^4 + 1 × 2^2 = 16 + 4 = (20) (^10) Esempio da 8 a base 10: (12) 8 = 1 × 8^1 + 2 × 8^0 = 8 + 2 = (10) 10 (205) 8 = 2 × 8^2 + 5 × 8^0 = 128 + 5 = (133) (^10) Esempio da base 16 a base 10: (2F) 16 = 2 × 16^1 + 15 × 16^0 = 32 + 15 = (47) (^10) (31A) 16 = 3×16^2 +1×16^1 +10×16^0 = 768+16+10 = (794) (^10)
Esercizio Convertire il numero 10100011(2) in decimale Convertire il numero 123(8) in decimale
Convertire il numero 56016(10) in esadecimale
Esercizio: convertire i seguenti numeri (59) 10 = (?) 2 (149) 10 = (?) 2 (1387)10 = (?) 2 (77) 10 = (?) 8 (132) 10 = (?) 8 (1211) 10 = (?) 8 (34) 10 = (?) 16 (112) 10 = (?) 16 (3459) 10 = (?) 16
Da binario a esadecimale/ottale
Da Binario a Ottale e viceversa… 23 =
Dato che una cifra del sistema ottale è rappresentabile esattamente con
tre cifre del sistema binario, la conversione può essere ottenuta
raggruppando le cifre binarie a 3 a 3 partendo da destra e ciascun gruppo
si converte in una cifra ottale (da 0 a 7). L’operazione contraria è
ugualmente semplice, ogni cifra ottale viene convertita in esattamente
tre cifre binarie.
Esempio: (000 100 111 001) 2 = (0471) 8
La tabella di conversione:
BASE 2 8 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7
Da Binario a Esadecimale e viceversa… 24 =
Si raggruppano le cifre in gruppi di 4 partendo da destra e ciascun gruppo
si converte in una cifra esadecimale (da 0 a F). L’operazione contraria è
ugualmente semplice, ogni cifra esadecimale viene convertita in
esattamente 4 cifre binarie.
La tabella di conversione:
BASE 2 16 2 16 2 16 0000 0 0111 7 1110 E 0001 1 1000 8 1111 F 0010 2 1001 9 0011 3 1010 A 0100 4 1011 B 0101 5 1100 C 0110 6 1101 D
Esempio: (0001 0011 1001) 2 = (139) 16
Esempio:
Esercizi
Convertire 10100011(2) in esadecimale e ottale
Convertire 10100011(2) in ottale
Convertire F2A4(16) in binario
Convertire 372(8) in binario
Convertire 1100110011(2) in esadecimale
Convertire 1100110011(2) in ottale
Convertire 1E4F(16) in binario
Convertire 564(8) in binario
NOTA BENE:
Nel sistema numerico binario
un numero pari termina sempre con un bit 0,
un numero dispari termina sempre con un bit 1.
Aritmetica Binaria
Le regole che caratterizzano l’aritmetica binaria sono analoghe alle regole ben conosciute che valgono nel sistema decimale, con il necessario adattamento derivante dall’uso limitato ai due simboli 0 e 1. Vediamo di seguito le tabelle con le regole per l'addizione, la moltiplicazione e la sottrazione binaria, con alcuni esempi esplicativi su ciascuna operazione, inclusa la divisione tra numeri binari.
SOMMA
Viene eseguita incolonnando i numeri e sommando tra loro i bit incolonnati, partendo dai meno significativi, in ordine di peso crescente.
Esempio: somma fra i numeri binari 101 e 111
Esempio: somma fra i numeri binari 10111 e 11110
Esempio: somma fra i numeri binari 1101 e 111
SOTTRAZIONE
Viene eseguita incolonnando i numeri e sottraendo tra loro i bit incolonnati, partendo dai meno significativi, in ordine di peso crescente.
Il “prestito” di 1 da una posizione a quella immediatamente più piccola corrisponde ad un prestito di 10 in quella posizione. Inoltre si consiglia di ricordare sempre che 10 – 1 = 1.
Esempio: sottrazione fra i numeri binari 1101 e 1011
Esempio: sottrazione fra i numeri binari 10101 e 1011
Esempio: sottrazione fra i numeri binari 11000 e 111
MOLTIPLICAZIONE
Si moltiplica il moltiplicando per ogni cifra del moltiplicatore traslando a sinistra ogni risultato di tanti posti quanto è il numero d’ordine della cifra; poi si sommano i numeri ottenuti secondo la regola precedentemente data della somma, tenendo conto dei vari riporti. Il primo numero viene moltiplicato di volta in volta per le cifre del secondo numero: se la cifra è 0 allora si otterranno tutti 0, altrimenti si otterrà il numero stesso.
DIVISIONE
La divisione nel sistema binario risulta più semplice perché per stabilire quante volte il divisore sia contenuto in un gruppo di cifre del dividendo non è necessario procedere per tentativi in quanto il risultato può essere soltanto 0 oppure 1.
Esempio: la divisione fra i numeri binari 11011 e 11
Dunque 11011 : 11 = 1001 con resto 0 ovvero 1001 × 11 = 11011. Fate le verifica!
Esempio: la divisione fra i numeri binari 1101011 e 1011.
Dunque 1101011 : 1011 = 1001 con resto 1000, ovvero 1011 × 1001 + 1000 = 1101011. Fate le verifica!
Esercizi
Eseguire le seguenti somme nel sistema binario: 101011 + 10111 = 11111 + 101111 = 1100111 + 10111 = 10101111 + 1111111 =
Eseguire le seguenti sottrazioni nel sistema binario: 11101 - 101 = 110110 - 101101 = 1100111 - 101111 = 100000 - 10101 =
Eseguire le seguenti moltiplicazioni nel sistema binario: 1010 × 101 = 110101 × 1011 = 111011 × 10111 = 111111 × 11111 =
Eseguire le seguenti divisioni nel sistema binario: 11001 : 101 = con Resto = 11111 : 110 = con Resto = 1011011 : 1101 = con Resto = 1111011 : 10011 = con Resto =
