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Quantum Walks
Luca Nigro
September 8, 2021
Introduzione
In questa sezione si studierà come utilizzare i quantum walks per effettuare una ricerca, o quantum search.
Per fare ciò si utilizzerà la teoria dei grafi. In particolare non tratteremo un cammino quantistico discreto
nel tempo dove ad ogni passo del cammino mi trovo in uno stato di sovrapposizione, come nel caso dalla
tavola di Galton, ma ad ogni step il walker si trova in una sovrapposizione quantistica e il sistema varia in
modo continuo nel tempo.
Considero il mio spazio di ricerca
search space Ω = {0, 1,... , N − 1}
Il grafo è composto da vertici e da connessioni. Quando i vertici sono tutti connessi fra loro il grafo è detto
completo. Possono esserci diverse probabilità di passare da un vertice all’altro, ovvero dei diversi jumping
rates.
Per caratterizzare un grafo si utilizza una matrice detta Laplaciana L tale per cui
L = A − D
dove A è la matrice di adiacenza, i.e. la matrice delle connessioni, e D è la matrice diagonale dei vertici. Se
considero un grafo come quello in figura si ha
L = A − D =
Grafo quantistico
Passando al caso quantistico la dinamica del quantum walk può essere associata ad una Hamiltoniana
H ̂
q w = − γA^ (ħ =^ 1)
dove γ è il jumping rate e la matrice D introduce un termine costante che possiamo trascurare.
Ad ogni vertice è associato uno stato | 0 〉 , | 1 〉 ,... e applicando l’evoluzione unitaria
e
− i H ̂ q w t | 0 〉 =
ψt
si ottiene un’altro stato quantistico che dipende ovviamente da t. Un quantum walk può differire di molto
dal corrispettivo classico grazie ai fenomeni di sovrapposizione e interferenza. per esempio l’analogo quan-
tistico della tavola di Galton non presenta più la celeberrima distribuzione normale, ma una distribuzione
piccata agli estremi.
Quantum search
Per effettuare una ricerca serve un oracolo. La soluzione è codificata in un vertice ma non sappiamo dove
si trova. Quindi quello che si fa è aggiungere un termine all’Hamiltonianna (per semplicità un termine
proiettivo)
H ̂
sol = −^
w ∈B
| w 〉〈 w |
dove B è l’insieme delle M soluzioni. Questo non significa sapere dove si trova la soluzione ma permette di
abbassare l’energia ogni laddove la soluzione è verificata. Quindi l’Hamiltoniana totale la possiamo scrivere
come
H ̂
t ot =
H ̂
q w +
H ̂
sol = − γA^ −^
w ∈B
| w 〉〈 w |
e andando a studiare l’evoluzione
i
∂t
ψt
Ht ot
ψt
vogliamo che
∣ ψ t
sia più vicino possibile al vettore delle soluzioni
∣ β
n
1 p M
w ∈B | w 〉.
Consideriamo come stato iniziale una sovrapposizione bilanciata
ψ
n
ψ 0
N /
2 N ∑−^1
x = 0
| x 〉 n
Avendo a che fare con una classificazione binaria (soluzione o non soluzione) conviene portarci nello spazio
bidimensionale già visto per l’algoritmo di Grover, dove i vettori di base sono
| α 〉 n =
p N − M
w ∈A
| w 〉
β
n
p M
w ∈B
| w 〉
Ovviamente A ∪ B = Ω e A ∩ B = ;.
Si può facilmente verificare che su questa base l’Hamiltoniana diventa ovviamente 2 × 2 e del tipo
H =
β
H
β
β
H | α 〉
〈 α | H
β
〈 α | H | α 〉
γ ( M − 1) + 1 γ
p M ( N − M )
γ
p M ( N − M ) γ ( N − M − 1)
Ponendo γ = 1/
p M e risolvendo l’equazione agli autovalori per l’Hamiltoniana troviamo i seguenti autostati
ψ ±
N±
[∣
ψ
n
β
n
]
tali per cui
̂ H
ψ ±
= E ±
ψ ±
con
E ± =
1 − N
N
M
N
A partire dagli autostati si può riottenere lo stato originale
∣ ψ
n
p 2
[√
N+
∣ ψ
N−
∣ ψ −
]
L’evoluzione temporale di questo stato porta al seguente risultato:
∣ ψ t
= e
− i H t ̂
∣ ψ
n
p 2
[√
N+ e
− i E + t
∣ ψ
N− e
− i E − t
∣ ψ −
]
= cos
∆ E
t
∣ ψ
n
− i sin
∆ E
t
∣ β
n
con ∆ E = E + − E − = 2
p M / N.
Dunque la soluzione si ottiene dopo un tempo pari a
∆ E
t =
π
⇔ t =
π
M
N
