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Ricerca operativa per ICT 0081809MAT09 – Sergio Maria Patella, Prove d'esame di Ricerca Operativa

domande e risposte ricerca operativa ICT

Tipologia: Prove d'esame

2022/2023

Caricato il 16/04/2023

Andrea565656
Andrea565656 🇮🇹

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Scarica Ricerca operativa per ICT 0081809MAT09 – Sergio Maria Patella e più Prove d'esame in PDF di Ricerca Operativa solo su Docsity! INTRODUZIONE ALLA RICERCA OPERATIVA D:   La Ricerca Operativa è nata: R: Negli anni '40 per scopi bellici D:   Nell'ambito della Ricerca Operativa i problemi reali sono affrontati: R: Definendone una rappresentazione quantitativa D:  Aspetto fondamentale della Ricerca Operativa è: R: Identificare un modello matematico con cui studiare in modo sistematico il problema decisionale D:  All'interno del 'Metodo delle Cinque fasi' la fase in cui viene definito un modello matematico viene detta: R: Formulazione del problema D: Se l'insieme dei vincoli di un problema di ottimizzazione definisce un insieme vuoto, vuol dire che: R: Non esistono soluzioni ammissibili D: Scopo della ricerca operativa è: R: Determinare la decisione ottima di un problema in presenza di risorse limitate D: La definizione di un problema di progettazione di reti è: R: Definire i collegamenti e dimensionare le capacità di una rete stradale, di telecomunicazioni, di trasmissione dei dati, in modo di garantire il traffico tra le varie origini e destinazioni e minimizzare il costo complessivo D: La definizione di un problema di flusso ottimo è: R: Inviare merce di diversa natura da alcune sorgenti (origini) a un certo numero di destinazioni utilizzando una rete infrastrutturale in modo da soddisfare le richieste minimizzando i costi di trasporto. D: Un pastificio produce pasta di tipo standard e di tipo speciale utilizzando 3 diverse macchine le cui produzioni orarie dono le seguenti. macchina A: 170 kg/h pasta standard e 120 kg/h pasta speciale; macchina B: 200 kg/h pasta standard e 150 R: D: Un pastificio produce pasta di tipo standard e di tipo speciale utilizzando 3 diverse macchine le cui produzioni orarie dono le seguenti.macchina A: 170 kg/h pasta standard e 120 kg/h pasta speciale; macchina B: 200 kg/h pasta standard e 150 kg/h pasta speciale; macchina C: 175 kg/h pasta standard e 140 kg/h pasta speciale. Il mercato richiede almeno 1.95 tonnellate di pasta standard e 1.5 tonnellate di tipo speciale al giorno. I costi orari delle tre macchine sono: 90 €/h per la A, 120 €/h la B, 100 €/h per la C. Una possibile soluzione del problema è: R: La macchina 1 lavora 3h, la macchina 2 lavora 4h, la macchina 3 lavora 4h LA GEOMETRIA DELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE D: Con xT si intende un: R: vettore riga D: La matrice costituita dal seguente sistema di equazioni è 2x1 + 3x2 =0; -4x1 -6x2=3: R: una matrice singolare D: Dati i seguenti vettori, il loro prodotto scalare vale R: 11 D: Data la seguente matrice il determinante è R: -2 D: Il gradiente è: R: un campo vettoriale D: Dato un poliedro P e un punto generico x0, la retta perpendicolare al gradiente della funzione obiettivo in quel punto rappresenta: R: una direzione verso la quale non si hanno variazioni della F.O. D: Data la seguente funzione f e il punto x0, il modulo del gradiente di f in quel punto vale R: 5 R: un punto D: Il seguente di sistema di disequazioni definisce R: una superfice chiusa e limitata D:  Il seguente di sistema di disequazioni definisce R: un insieme vuoto D: Risolvere il seguente problema di Programmazione Lineare indicando il valore della funzione obiettivo all'ottimo R: 3 ESERCITAZIONE SUL METODO GRAFICO D: Siano date la variabili x1 e x2 non negative, allora la seguente regione ammissibile X tratteggiata in figura è definita dai vincoli R: D: Siano date la variabili x1 e x2 non negative, allora la seguente regione ammissibile X tratteggiata in figura è definita dai vincoli R: D: Sia dato un problema di PL da massimizzare i cui vincoli definiscono la regione ammissibile X. Nel punto ottimo risulterà che: R: D: Sia dato un problema di PL da minimizzare i cui vincoli definiscono la regione ammissibile X. Nel punto ottimo risulterà che: R: D: Dato un problema di PL, se il prodotto scalare tra la direzione d e il vettore cT è positivo, vuole dire che: R: nella direzione d la F.O. aumenta D: Dato un problema di PL, se il prodotto scalare tra la direzione d e il vettore cT è negativo, vuole dire che: R: nella direzione d la F.O. diminuisce D: Dato il seguente problema di PL, possiamo dire che R: All'ottimo la F.O. vale 1 D: Dato il seguente problema di PL, possiamo dire che R: All'ottimo la F.O. vale 0 D: Dato il seguente problema di PL, all'ottimo la F.O. vale  VERTICI E SOLUZIONI BASE D: Dato un insieme finito di semispazi chiusi e iperpiani, possiamo dire che: R: tale insieme individua sicuramente un insieme convesso D: Un vincolo del tipo αT x≥ β con x ∈ Rn: R: un insieme convesso D: Dati i seguenti vincoli, la loro intersezione individua x1 +2x2 +x3 -x4 ≥ 0; x1 +2x2 +x3 -x4 ≤ 0: R: un iperpiano D: Un poliedro convesso in Rn è: R: l'insieme dei punti che soddisfano un sistema finito di equazioni e disequazioni lineari in n variabili D: Dato un problema di PL, un vertice del poliedro definito dai suoi vincoli è: R: un punto che non si può ottenere come combinazione convessa stretta di altri due punti del poliedro D: La regione ammissibile del seguente problema di PL è R: un politopo D: La regione ammissibile del seguente problema di PL è R: un poliedro D: Dato un problema di PL in forma standard in cui si hanno 5 variabili e 3 vincoli, il numero di basi del sistema lineare è: R: 10 D: La soluzione ottima di un problema di PL i cui vincoli definiscono un politopo è: R: un vertice del politopo D: Dato il seguente problema di PL, un vertice del politopo definito dai suoi vincoli è R: [x1 x2] = [ 2 4] TEORIA DELL'ALGORITMO DEL SIMPLESSO D: Il vettore dei costi ridotti è dato dalla relazione: R: D: Una soluzione base ammissibile (non degenere) è ottima se: R: il vettore dei costi ridotti non ha componenti negative D: Il vettore dei costi cT rappresenta: R: il vettore dei coefficienti della funzione obiettivo D: La relazione cT B B-1b + (cT F - cT B B-1F) xF esprime: R: la funzione obiettivo rispetto al costo associato alla base B e al costo relativo alle variabili fuori base D: Dato il seguente problema di PL, una base ammissibile è quella costituita dalla colonne R: [A1, A3, A4] D: Sia dato il seguente problema di PL. Ponendo la variabile x1 fuori base, la relazione cTx = cT BB-1b +c-TxF è data da R: 2/3 - 1/3x1 D: Sia dato un problema di PL nella forma min{cTx:Ax=b, x ≥ 0} e sia xh una variabile fuori base con costi ridotti negativi. Sia inoltre A¯sub>h la colonna che corrisponde a xh nella matrice B-1F. Se a¯ih ≤ 0 ∀i = 1,2,...,m possiamo dire che: R: il problema è inferiormente illimitato D: Il test dei minimi rapporti serve a: R: trovare la variabile che esce di base D: Il valore di θ rappresenta: R: Il valore massimo che può assumere una variabile che entra in base D: La quantità  R: rappresenta la variazione della funzione obbiettivo a seguito del cambiamento di base METODO DEL SIMPLESSO D: Dato il seguente problema di PL una base ammissibile è R: [A2, A4] R: 0 D: Il metodo del simplesso: R: si arresta se il problema è illimitato ESERCITAZIONE SULL'ALGORITMO DEL SIMPLESSO D: Dato il seguente problema di PL, la formulazione in forma standard è R: D: Dato il seguente problema di PL, con riferimento alla formulazione in forma standard min{cT x: Ax=b, x≥ 0} la matrice A è data da R: D: Sia dato un problema di PL costituito da m vincoli e n incognite con n>m. Sia inoltre B una base della matrice A e F la rimanente parte della matrice. Allora il prodotto B -1F è: R: una matrice con m righe e n-m colonne D: Dato il seguente problema di PL, con riferimento alla formulazione in forma standard min {cT x: Ax=b, x≥ 0} sia data la base B=[A1,A3,A5] e la corrispondete matrice F=[A2,A4]. Allora Il prodotto B -1F è dato da R: D: Quando si organizzano i passaggi dell'algoritmo del simplesso in una tabella, tale tableau riporta: R: Il valore della F.O. cambiato di segno, il vettore dei costi ridotti, la soluzione corrente, la matrice B-1° D: Sia dato un problema di PL costituito da m vincoli e n incognite con n>m. Sia inoltre B una base della matrice A e F la rimanente parte della matrice. Allora il vettore dei costi ridotti  : R: un vettore che ha m componenti nulle e n-m componenti date dalla differenza tra i vettori  cT F - cT B B-1F D: Dato un problema di PL in forma standard min{cT x: Ax=b, x≥ 0} ad una certa iterazione del simplesso si ottiene il seguente tableau. Allora possiamo dire che R: La variabile x2 entra in base con valore 1/2 annullando la variabile x3 D: Dato un problema di PL in forma standard min{cT x: Ax=b, x≥ 0}, ad una certa iterazione del simplesso si ottiene il seguente tableau. Allora possiamo dire che R: Il problema è inferiormente illimitato D: Dato un problema di PL in forma standard min{cT x: Ax=b, x≥ 0}, ad una certa iterazione del simplesso si ottiene il seguente tableau. L'elemento pivot è pari a R: 2 R: ottima D: Dato il seguente problema di PL e la base B=[A1,A3,A4,A5], la componente x4 della soluzione base associata vale (utilizzare Excel) R: 5.75 D: Dato il seguente problema di PL e la base B=[A1,A3,A4,A5], il vettore dei costi ridotti è dato da (utilizzare Excel) R: D: Dato il seguente problema di PL, all'ottimo la variabile x1 vale (utilizzare Excel) R: 0 D: Dato il seguente problema di PL, all'ottimo la F.O. vale (utilizzare Excel) R: -26 D: Dato il seguente problema di PL, all'ottimo la variabile x2 vale (utilizzare Excel) R: 1 TEORIA DELLA DUALITA' D: Un upper bound della funzione obiettivo di un problema di minimizzazione è R: Un valore ottenuto con una qualsiasi soluzione ammissibile D: Un lower bound bound della funzione obiettivo di un problema di minimizzazione è: R: Un valore sicuramente inferiore o uguale della F.O. all'ottimo  D: Dati due vettori v1 e v2, una loro combinazione conica è: R:  D: Il duale del seguente problema di PL è R:  D: Il teorema della dualità debole afferma che: R: Dati due punti x e u ammissibili per la coppia primale-duale vale sempre la relazione uT b ≤ cT x  D: Dato il seguente un problema di PL. Il duale del suo duale è R:  D: Il teorema della dualità forte afferma che: R: Dati due punti x* e u* ottimi per la coppia primale-duale vale la relazione  D: Dato il seguente problema di PL, la soluzione [x1, x2, x3, x4] = [2,0,3,0] è R: ammissibile  D: Dato il seguente problema di PL, la soluzione [x1, x2, x3, x4] = [0,4,10,0] è R: ottima  D: Dato il seguente problema di PL, la soluzione [x1, x2, x3, x4] = [1,3,4,0] è R: non ammissibile  D: Dato il seguente problema di PL, la soluzione [x1, x2, x3, x4 ]=[12,5,7,0] è R: ottima  D: Dato il seguente problema di PL, la soluzione [x1, x2, x3, x4] =[5,0,0,3] è R: ammissibile  D: Sia dato il seguente problema di PL la cui soluzione ottima è del tipo [x1 ≠ 0,   x2 ≠ 0,   x3=0,   x4 ≠ 0]. All'ottimo duale la variabili u3 associata al terzo vincolo vale R: -1/2 ANALISI DI SENSITIVITA’  D: Dato il problema min {c T x: A x=b, x≥ 0} e il corrispondente duale max  {u T b: u T A ≤ c T }, il vettore generato ad ogni iterazione dell'algoritmo del simplesso c T B B-1: R: è una soluzione ammissibile per il duale solo all'ultima iterazione quando i costi ridotti sono non nulli  D: Dato il seguente problema di PL e la corrispondente soluzione ottima, l'ottimo duale è R: [u 1 u2 u3] = [-1 0 3/2]  D: Sia dato un problema di PL costituito da m vincoli e n incognite con n>m. Sia inoltre B una base della matrice A. Allora il prodotto cT B B-1 è: R: un vettore di m componenti  D: L'analisi di sensitività consiste nel: R: valutare la stabilità della soluzione ottima facendo variare i dati del problema  D: Sia B la base ottima di un problema di PL e sia Δb il vettore non nullo che rappresenta la variazione dei termini noti. Supponendo verificata la condizione B-1(b +Δb) ≥ 0, possiamo dire che: R: knapsack binario  D: Siano w e p rispettivamente il peso e il profitto associati ad una collezione di oggetti. Allora, il seguente problema di PLI è un R: knapsack intero non capacitato D: Una società vuole ridurre al minimo le spese attraverso una riorganizzazione aziendale che consiste nell' assegnamento ottimo delle mansioni ai dipendenti. La società non vuole licenziare nessun dipendente e vuole garantire che tutte le attività non rimangano scoperte. Sia xij la vriabile che associa il generico dipendente i alla generica mansione j, e sia cij il corrispettivo che l'azienda paga al dipendente i per la mansione j. Considerando che ogni attività può essere fatta anche da più addetti contemporaneamente ma che ogni addetto può essere assegnato ad una sola attività, Il problema che l'azienda deve risolvere è: R:  D: Una società vuole ridurre al minimo le spese attraverso una riorganizzazione aziendale che consiste nell' assegnamento ottimo delle mansioni ai dipendenti. Non è esclusa la possibilità che venga licenziato qualche dipendente, purché tutte le attività rimangano coperte. Sia xij la vriabile che associa il generico dipendente i alla generica mansione j, e sia cij il corrispettivo che l'azienda paga al dipendente i per la mansione j. Considerando che ogni attività deve essere fatta da un solo addetto e che egli può essere assegnato ad una sola attività, Il problema che l'azienda deve risolvere è: R:  D: Sia dato un insieme finito di oggetti E e una famiglia F costituita da sottoinsiemi A non vuoti di E. Sia inoltre 'I' la matrice di incidenza della famiglia F su E, di componenti aij. La formulazione seguente indica R: Un problema la cui soluzione ottima è il vettore nullo  D: La mappa in figura rappresenta la città di Roma suddivisa per muncipi. Ogni cittadino deve avere almeno un ospedale nella zona in cui risiede o in una zona adiacente. L'obiettivo è dunque quello di minimizzare la cardinalità degli ospedali. La funzione obiettivo del problema e il vincolo solo per il municipio 18 sono R: ESERCITAZIONE SUL SET COVERING apertura dell'azienda in ciascuna città. Per gli utenti che vivono nelle sei zone sono accettabili le localizzazioni che distano non più di 50 km. Con l'obiettivo di minimizzare i costi di avviamento dell'attività, all'ottimo la F.O. vale (utilizzare il risolutore di Excel) R: 215  D: La seguente tabella riporta i dati di distanza media (espressa in km) tra 6 zone in cui è suddiviso il territorio e 5 città (A,B,C,D,E) in cui si sta valutando l'apertura di un'azienda. La tabella riporta anche i costi di apertura dell'azienda in ciascuna città. Per gli utenti che vivono nelle sei zone sono accettabili le localizzazioni che distano non più di 50 km. Con l'obiettivo di minimizzare i costi di avviamento dell'attività, all'ottimo possiamo dire che (utilizzare il risolutore di Excel) R: Nella città D verrà aperta una sede aziendale  D: Risolvendo il seguente problema di PLI, all'ottimo la F.O. vale (utilizzare il risolutore di Excel) R: 9.5  D: Risolvendo il seguente problema di PLI, all'ottimo risulta che (utilizzare il risolutore di Excel) R: Le variabili x2 e x5 sono nulle  D: Risolvendo il seguente problema di PLI, all'ottimo la F.O. vale (utilizzare il risolutore di Excel) R: 12  D: Risolvendo il seguente problema di PLI, all'ottimo risulta che (utilizzare il risolutore di Excel) R: Le variabili x2 e x5 sono uguali a 1  D: Risolvendo il seguente problema di PLI, all'ottimo la F.O. vale (utilizzare il risolutore di Excel) R: 4  FORMULAZIONI NELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA  D: Siano i e j una coppia di lavori da fare su una macchina a capacità unitaria. Un vincolo disgiuntivo esprime la condizione: R: i precede j oppure j precede i  D: Dato una coppia di lavoro i, j il vincolo seguente indica tj ≥ ti + pi: R: i precede j e il lavoro i ha durata pi  D: Siano O e D una coppia origine-destinazione e siano k=1,2,…n i vagoni del convoglio. Sia inoltre xk il numero di passeggeri assegnato a ciascun vagone e sia B il totale dei passeggeri che vuole spostarsi da O a D. Deve essere sempre garantito che: R: D: Siano O e D una coppia origine-destinazione e siano k=1,2,… n i vagoni del convoglio. Sia inoltre xk il numero di passeggeri assegnato a ciascun vagone e sia B il totale dei passeggeri che vuole spostarsi da O a D, e Q la capacità massima del treno. Affinché il numero dei passeggeri sia equamente distribuito tra i vagoni (è ammessa approsimazione) deve risultare che: R: APPLICAZIONI DELLA PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA  D: Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, la variabile c= a ∨ b assume il valore vero (pari ad 1) se: R: Almeno una tra a e b è vera  D: Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, la variabile c= a ∧ b assume il valore vero (pari ad 1) se: R: Sia a che b sono vere D: Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, la variabile c=a ⊕ b assume il valore vero (pari ad 1) se: R: Esattamente una tra a e b è vera  D: Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, e sia data la variabile c= a ∨ b. Deve risultare che: R: c ≥ (a+b)/2  D: Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, e sia data la variabile c= a ∧ b. Deve risultare che: R: c ≤ (a+b)/2  D: Date due variabili proposizionali a e b a cui si associa il valore 1 se vere e 0 se false, e sia data la variabile c=a ⊕ b. Deve risultare che: R: c ≤ 2 - (a+b)  D: Sia x la quantità di un generico bene prodotta da una fabbrica e sia c(x) il costo di produzione. L'andamento della c(x) in presenza di costi fissi è del tipo: R:  D: Sia x la quantità di un generico bene prodotta da una fabbrica e sia c(x) il costo di produzione. Sia inoltre δ il costo unitario di produzione. La funzione c(x) in presenza di costi fissi (A) è del tipo: R: c(x)=A + δx  D: Sia xk i,j una variabile che indica il numero di ore settimali di lezione che il professore i fa alla classe j per la materia k; sia inoltre yi una variabile binaria che vale 1 se il professore è assunto e 0 altrimenti. La normativa prevede che ciascun professore non faccia più di un certo numero H di ore di lezione a settimana. Infine, si indichi con mk j il numero di ore che la classe j deve fare per la materia k. Allora il vincolo a tutela dei professori assunti è: R:  D: Sia xk i,j una variabile che indica il numero di ore settimali di lezione che il professore i fa alla classe j per la materia k; sia inoltre yi una variabile binaria che vale 1 se il professore è assunto e 0 altrimenti. La normativa prevede che ciascun professore non faccia più di un certo numero H di ore di lezione a settimana. Infine, si indichi con il numero mk j di ore che la classe j deve fare per la materia k. Allora il vincolo che garantisce che le classi facciano un numero sufficiente di ore delle materie è: R: BRANCH AND BOUND  D: Se rilassando i vincoli di interezza di un problema di PLI otteniamo un soluzione intera, allora possiamo dire che: R: abbiamo trovato l'ottimo del problema intero  D: Ad un generico nodo dell'albero di enumerazione otteniamo una soluzione rilassata che ha una sola variabile frazionaria (x1=8/3). I figli di quel nodo avaranno i vincoli aggiuntivi: R:  D: Dato un problema di PLI espresso in termini di massimizzazione supponiamo di aver chiuso il generico nodo i per interezza. Se otteniamo dal R: x4 D: Dato il seguente knapsack 0-1, il valore della F.O. all' ottimo è R: 25  D: Dato il seguente knapsack 0-1, la soluzione  R: fornisce un LB  D: Dato il seguente knapsack 0-1, la soluzione  R: non è ammissibile D: Dato il seguente knapsack 0-1, l' UB fornito dal problema rilassato al nodo radice è R: 32.6  D: Dato il seguente knapsack 0-1, all'ottimo intero la F.O. vale R: 31  D: Dato il seguente knapsack 0-1, all'ottimo rimane uno spazio disponibile pari a R: 2  D: Dato il seguente knapsack 0-1, l' UB fornito dal problema rilassato al nodo radice è R: 16  D: Dato il seguente knapsack 0-1, all'ottimo intero la F.O. vale R: 14  D: Dato il seguente knapsack 0-1, all'ottimo rimane uno spazio disponibile pari a R: 0 ESERCITAZIONE SUL KNAPSACK 0-1  D: Siano dati n oggetti con indice i di cui wi e pi rappresentano rispettivamente il peso e il profitto. Sia inoltre b la capienza dello zaino. Allora il problema dello 'zaino' è formulato come: R:  D: Sia dato il seguente problema di trasporto merci in cui bisogna decidere quali pacchi caricare su un furgone che ammette un peso massimo pari a 14 quintali. All'ottimo risulta che (utilizzare il Risolutore di Excel) R: Le variabili x4 e x9 sono entrambe nulle  D: Sia dato il seguente problema di trasporto merci in cui bisogna decidere quali pacchi caricare su un furgone che ammette un peso massimo pari a 24 quintali. La F.O. all'ottimo vale (utilizzare il Risolutore di Excel) R: 363  D: Sia dato il seguente problema di trasporto merci in cui bisogna decidere quali pacchi caricare su un furgone che ammette un peso massimo pari a 24 quintali. All'ottimo risulta che (utilizzare il Risolutore di Excel R: Le variabili x1 e x10 sono entrambe pari a 1  D: Siano dati i progetti A,B,C e D il cui capitale richiesto e il ritorno atteso sono mostrati nella seguente tabella. Con l'obiettivo di massimizzare il ritorno atteso e rispettando la disponibilità finanziaria di 150000 €, la F.O. all'ottimo vale R: 214  D: Siano dati i progetti A,B,C e D il cui capitale richiesto e il ritorno atteso sono mostrati nella seguente tabella. Con l'obiettivo di massimizzare il ritorno atteso e rispettando la disponibilità finanziaria di 150000 €, all'ottimo la disponibilità residua è pari a R: 6 PROGRAMMAZIONE DINAMICA  D: Con riferimento alla strategia bottom-up possiamo dire che: R: Il problema principale viene suddiviso in problemi più piccoli la cui soluzione viene memorizzata in una tabella  D: La quantità z(k,i) definita per risolvere il knapsack attraverso la programmazione dinamica indica: R: Il valore ottimo del sotto problema a capienza ridotta k considerando solo i predecessori dell' i- esimo oggetto  D: La quantità z*=z(B,n) definita per risolvere il knapsack di capienza B con n oggetti attraverso la programmazione dinamica indica: R: Il valore ottimo della F.O del problema principale (intero)  D: Utilizzando la programmazione dinamica per risolvere il knapsack 0-1, l'i- esimo oggetto viene selezionato se: R:  D: Dato il seguente knapsack 0-1, il valore ottimo della F.O. per la capienza ridotta k=10 R: 12  D: Dato il seguente knapsack 0-1, il valore ottimo della F.O. per la capienza ridotta k= R: 19  D: Dato il seguente knapsack capacitato, il valore ottimo della F.O. per la capienza ridotta k=2 è R: 4 D: Dato il seguente knapsack capacitato, il valore ottimo della F.O. per la capienza ridotta k=6 è R: 9  D: Dato il seguente knapsack capacitato, all'ottimo per la capienza ridotta k=6 la variabile x2 pari a R: 2 D: Dato il seguente knapsack capacitato, all'ottimo la F.O. vale R: 16 D: Il seguente problema è riconducibile a R:  D: Dati i seguenti oggetti con i rispettivi pesi w e profitti p, risolvere il problema del knapsack non capacitato assumendo una capienza B=9. All'ottimo la F.O vale R: 16  D: Dato il seguente problema 1|rj|Lmax , all'ottimo il job che termina con maggior anticipo viene terminato R: 6 giorni in anticipo  D: Dato il seguente problema 1|rj|Lmax , all'ottimo il job che termina con maggior ritardo è R: J1  D: Dato il seguente problema 1|rj|Lmax , all'ottimo il job che termina con maggior ritardo accumula R: 4 giorni di ritardo PIANI DI TAGLIO  D: Una disuguaglianza per un problema di PLI viene detta taglio se: R: non è verificata per il vertice ottimo frazionario e non genera una partizione dell'insieme ammissibile intero  D: Dato un knapsack 0-1 insieme di oggetti C è detto cover se: R: non è ammissibile una soluzione che selezioni tutti gli oggetti di C  D: Data la seguente disuguaglianza, un cover non minimale è dato da R: C = {2,3,4}  D: Data la seguente disuguaglianza, un cover minimale è dato da R: C = {1,2,3}  D: Il problema di separazione nella PL 0-1 espresso nella seguente forma consiste in R: risolvere un problema di minimizzazione per trovare cover violati da soluzione ottime frazionarie  D: Sia X*RL la soluzione ottima ottenuta rilassando un problema di PL 0-1 e sia l'insieme C un cover. Affinchè il cover sia violato da X*RL deve risultare che: R:  D: Sia dato il seguente problema di PL 0-1 e la relativa soluzione ottima del problema rilassato. L'insieme C = {3,4,5} è R: un cover violato da X*RL  D: Siano dati il seguente problema di PLI e il vettore uT=(1/2, 1/2). RApplicando la prima chiusura di Chvátal il valore di α del taglio x1 + x2 + x3 ≤ α vale R: 5  D: Le disuguaglianze di Chvátal generano vincoli: R: validi per X ma non necessariamente per P  D: I tagli di Gomory generano disuguaglianze: R: valide per X ma non per P  D: Sia x*RL la soluzione ottima di un problema di PLI rilassato. Sia inoltre x*h una sua componente frazionaria in base ad una certa riga t. Possiamo dire che, se si verifica: ∀ j ∈ F è intero  R: Possiamo generare un taglio dalla riga t se è frazionario   D: La seguente espressione vale R: 9  D: La seguente espressione, ove φ(r) rappresenta la parte frazionaria di r vale Risposta: 0  D: Siano date la base B ottima di del rilassamento continuo di un problema di PLI, la matrice F delle componenti fuori base, e la soluzione x* ottenuta dal rilassamento continuo. Applicando la procedura di Chvátal-Gomory il valore di α del seguente taglio vale R: 1  D: Siano date la base B ottima di del rilassamento continuo di un problema di PLI, la matrice F delle componenti fuori base, e la soluzione x* ottenuta dal rilassamento continuo. Applicando la procedura di Chvátal-Gomory il valore di α del seguente taglio vale R: -2 PROGRAMMAZIONE NON LINEARE  D: Un punto x* ∈ X è un punto di minimo globale stretto di f su X se: R:  D: La matrice seguente è R: definita negativa  D: Sia data la seguente matrice hessiana della funzione f calcolata nel punto x. Allora nel punto x la f è R: convessa  MINIMIZZAZIONE DI FUNZIONI NON LINEARI  D: Sia data la seguente funzione f e uno scalare γ. Al variare di γ la superficie di livello di f è data da R: una circonferenza D: La seguente funzione è rappresentata dal grafico R:  D: Data la seguente funzione f possiamo dire che R: f ammette un punto di massimo globale  D: Sia f una funzione con gradiente continuo in tutto Rn e sia x un punto in cui il gradiente è non nullo. Sia inoltre d ∈ Rn una direzione tale che ∇f(x)Td=0. Spostandoci nell'intorno di x lungo la direzione d otteniamo che: R: f non cambia il suo valore  D: Affinché x* sia un punto di minimo locale di una funzione f due volte continuamente differenziabile è sufficiente che: R:  D: Si consideri una funzione f due volte continuamente differenziabile e sia x* un punto in cui il gradiente di f è nullo e la matrice hessiana è definita negativa. Allora possiamo dire che x* è: R: un punto di massimo locale stretto  D: Si consideri una funzione f due volte differenziabile e sia X¯un punto in cui valgono le seguenti condizioni. possiamo allora escludere che R: X¯ è un punto di minimo locale  D: Data la seguente funzione, trovare il punto x* che soddisfa le condizioni del primo ordine. Tale punto è R: un punto di sella  D: Data la seguente funzione f, il punto x=[x1,x2]=[3/2-3/2] è R: un punto di sella  D: Data la seguente funzione f, possiamo dire che R: ha un minimo globale di coordinate  METODI DI DISCESA  D: Siano α e β i parametri di una regressione lineare semplice in cui si hanno n valori di ingresso ciascuno dei quali indicato con xi a cui corrispondono le risposte yi. Allora, rispetto ad α e β, la seguente funzione è R: una funzione convessa  D: Siano α e β i parametri di una regressione lineare semplice in cui si hanno n valori di ingresso ciascuno dei quali indicato con xi a cui corrispondono le risposte yi. Allora, i valori di α e β che minimizzano la somma dei quadrati degli scarti, sono ottenuti risolvendo il sistema: R:  D: Il valore di beta (pendenza) di una regressione lineare semplice con intercetta α non necessariamente nulla che minimizza la somma dei quadrati degli scarti è pari a: R:  D: Il valore di beta (pendenza) di una regressione lineare semplice con intercetta α nulla che minimizza la somma dei quadrati degli scarti è pari a: R:  D: Siano date le seguenti osservazioni in cui xi sono i valori della variabile in ingresso e yi sono i valori della variabile in uscita. Il valore di beta (pendenza) della retta di regressione a intercetta α non necessariamente nulla è R: 2.94  D: Siano date le seguenti osservazioni in cui xi sono i valori della variabile in ingresso e yi sono i valori della variabile in uscita. Il valore di α (intercetta) della retta di regressione è R: 20.8  D: Siano date le seguenti osservazioni in cui xi sono i valori della variabile in ingresso e yi sono i valori della variabile in uscita. L'equazione della retta di regressione che minimizza la somma dei quadrati degli scarti è R: y= 10.369 - 0.107x  D: Siano date le seguenti osservazioni in cui xij sono i valori della variabile in ingresso j e yi sono i valori della variabile in uscita. Il valore di α (intercetta) della regressione lineare multipla è (utilizzare Excel) R: 67.40  D: Il seguente vincolo rappresenta x2 - x1 2 + 5x1 - 6 > 0: R: L'insieme dei punti interni ad una parabola  D: Dato un problema di PNL in cui si ha un solo vincolo di disuguaglianza g(x) ≥ 0, la condizione necessaria per cui x* sia un punto di minimo di f è che: R: ∇f(x*) e ∇g(x*) abbiamo stessa direzione e verso  D: La condizione di complementarietà impone che: R: Il moltiplicatore λ possa essere strettamente positivo solo se il vincolo è attivo PROGRAMMAZIONE NON LINEARE VINCOLATA: PUNTI REGOLARI E NON REGOLARI  D: Dato un problema di PNL vincolata e un punto x, sono detti vincoli attivi: R: i vincoli definiti da equazioni e disequazioni soddisfatti all'uguaglianza  D: Sia dato un problema di PNL vincolata in cui si vuole massimizzare la funzione f e la cui regione ammissibile è definita da due disuguaglianze g1(x) ≥ 0 e g2(x) ≥ 0. Dato un generico punto ammissibile y in cui entrambi i vincoli sono attivi, la condizione affinché esista una direzione di salita ammissibile d muovendosi da y è: R: D: Dato il seguente problema di PNL vincolata, la lagrangiana è data da R:  D: Dato un problema di PNL vincolata la cui regione ammissibile è definita da un insieme I di disuguaglianze, un punto x è detto regolare se: R: se la matrice costituita dai gradienti dei vincoli attivi calcolati in x ha rango pieno  D: Dato il seguente problema di PNL vincolata e la soluzione ammissibile x=(x1, x2)=(4, 8), risulta che R: x è un punto regolare ed è il punto di minimo del problema  D: Dato il seguente problema di PNL vincolata e la soluzione ammissibile x=(x1, x2)=(1, 1), risulta che R: nel punto x nessun vincolo è attivo  D: Dato il seguente problema di PNL vincolata e la soluzione ammissibile x=(x1, x2)=(1, 0), risulta che R: x è un punto regolare ma non è il punto di minimo del problema  D: Dato il seguente problema di PNL vincolata e la soluzione ammissibile x=(x1, x2)=(5, 12) risulta che R: la soluzione x è ottima e le componenti del vettore λ sono  D: Sia dato un problema di PNL la cui regione ammissibile è costituita dai seguenti vincoli. Allora, circa il punto x=(x1, x2)=(0, -3) possiamo dire R: x è un punto non regolare  D: Dato il seguente problema di PNL risulta che R: Nel punto di minimo globale si ha λ1=0 e λ2=0  D: Sia dato un problema di PNL vincolata in cui occorre minimizzare una funzione obiettivo non convessa nella regione ammissibile X non convessa, e sia x ∈ X un punto regolare che soddisfa le KKT. Allora risulta che: R: x è candidato ad essere un punto di minimo locale del problema  D: Dato il seguente problema di PNL risulta che R: Esiste un punto di minimo globale e le KKT sono condizioni necessarie di ottimalità globale per i punti regolari  D: Data la seguente regione ammissibile di problema di PNL possiamo dire che R: Non esistono punti ammissibili in cui non è verificata la condizione di qualificazione dei vincoli attivi  D: Dato il seguente problema di PNL vincolata e i punti A,B e C, possiamo dire che R: Il punto A è un candidato di minimo locale e risulta che λ 1 = 0 e λ 2 = 0  D: Dato il seguente problema di PNL e i punti A,B e C, possiamo dire che R: Il punto C è un candidato di minimo locale UTILIZZO DEL RISOLUTORE PER PROBLEMI DI PNL  D: Sia dato il seguente problema di PNL non vincolata. All'ottimo la F.O. vale (utilizzare il Risolutore) R: -0.375  D: Sia dato il seguente problema di PNL non vincolata. All'ottimo la variabile x1 vale (utilizzare il Risolutore) R: -0.75  D: Sia dato il seguente problema di PNL non vincolata. All'ottimo la variabile x2 vale (utilizzare il Risolutore) R: -0.25  D: Sia dato il seguente problema di PNL non vincolata. All'ottimo la F.O. vale (utilizzare il Risolutore) R: -11.46  D: Sia dato il seguente problema di PNL non vincolata. All'ottimo la variabile x1 vale (utilizzare il Risolutore)  D: La funzione che descrive i costi di produzione di un generico bene, dove A rappresenta il costo fisso, è del tipo: R:  D: Linearizzando la funzione dei costi di produzione, l'equazione che ne descrive l'andamento è: R:  D: Secondo l'approccio EOQ la giacenza complessiva Q in magazzino in un orizzonte temporale T supponendo una domanda pari a d e un livello di riordino pari a q è data da: R: Tq/2  D: Secondo l'approccio EOQ il costo di stoccaggio in magazzino della giacenza complessiva in un orizzonte temporale T supponendo una domanda pari a d, un livello di riordino pari a q e un costo unitario di stoccaggio pari a cs è dato da: R: CS Tq/2 D: Secondo l'approccio EOQ la funzione che descrive i costi di complessivi di inventario CT(q) nell' orizzonte temporale T è del tipo: R: D:  Secondo l'approccio EOQ il lotto ottimo q* in un orizzonte temporale T supponendo una domanda pari a d, un costo unitario di stoccaggio pari a cs e dei costi fissi pari ad A è dato da: R:  D: Secondo il modello di Wagner Within (in assenza di backlog) la formulazione di un problema di programmazione della produzione nell'orizzonte temporale T in cui la giacenza iniziale e quella finale sono nulle è data da: R:  D: Secondo il modello di Wagner Within i vincoli di un problema di programmazione della produzione definiscono R: un politopo  D: Sia dato un problema di programmazione della produzione e un insieme finito di periodi di controllo t ∈ {1,2,…,T} . Allora possiamo dire che: R: la domanda in un periodo è soddisfatta dalla giacenza oppure dalla produzione in quello stesso periodo  D: Sia dato un problema di programmazione della produzione e un insieme finito di periodi di controllo t ∈ {1,2,…,T} . Allora per un periodo produttivo possiamo dire che R: può produrre per sé stesso e per i periodi successivi METODO DI WAGNER - WHITIN  D: Secondo il metodo di Wagner-Whitin per la risoluzione di un problema di programmazione della produzione, la seguente espressione fornisce R: Il valore ottimo nell'orizzonte temporale {1, …,k}  D: Dato un problema di programmazione della produzione in cui si hanno 3 periodi produttivi, l' espressione per il calcolo della soluzione ottima è: R:  D: Dato il seguente problema di programmazione della produzione (assumere s0= s3=0), all'ottimo la F.O. vale MODELLO DI ZANGWILL  D: Nella programmazione della produzione si parla di backlogging quando: R: la domanda attuale viene soddisfatta con una produzione futura  D: Dato un orizzonte temporale T suddiviso in un insieme finito di periodi di controllo {1,2, …,T} in presenza di backlogging il costo complessivo di inventario in T è dato da: R:  D: In presenza di backlogging la condizione di equilibrio ad un generico periodo t={2, …,T-1} è: R: xt + s+ t-1 - s+ t - s- t-1 + s- t = dt  D: Secondo il modello di Zangwill in un generico periodo t={2,…,T-1} all'ottimo risulta che: R: la domanda nel periodo t è soddisfatta o dalla produzione in quello stesso periodo o dalla giacenza in magazzino oppure dalla produzione in un periodo successivo a t D: Dato il seguente problema di programmazione della produzione con backlogging, all'ottimo la F.O. vale R: 24  D: Dato il seguente problema di programmazione della produzione con backlogging, la soluzione ottima è del tipo R: s+ 1 = 0,  s- 1 = 0  D: Dato il seguente problema di programmazione della produzione, all'ottimo la F.O. vale R: 57  D: Dato il seguente problema di programmazione della produzione, all'ottimo la F.O. vale R: s- 1 > 0   x2 > 0   s+ 2 = 0  D: Dato il seguente problema di programmazione della produzione, all'ottimo la F.O. vale R: 62  D: Dato il seguente problema di programmazione della produzione, all'ottimo la F.O. vale