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Qual è la formula per il tempo t in funzione di M , C , i ricavabile dalla formula per il montante in capitalizzazione a interesse semplice?
T= m− c /ci
In quanto tempo raddoppia un capitale pari a 120, impiegato in capitalizzazione semplice, se il tasso annuo d ’ interesse applicato è del 5%? Scrivi l'equazione che conduce alla soluzione.
T = M− C /Ci = 240 − 120 /120*0,05 = 120/6 = 20 anni
Qual è la formula per il tempo t in funzione di M, C, i ricavabile dalla formula per il montante in capitalizzazione a interesse composto?
T= ln (m/c) /ln (1+i)
Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione composta, produce un montante M=1700 euro. Determinare il tasso annuo d ’ interesse composto i****.
M= C(1+i)t 1700 = 1600 (1+i) 17/16 = (1+i) √quarta di 17/16 = √quarta di (1+i) √quarta di 17/16 =1+i
i = √quarta di 17/16 – 1 se √quarta di 17 è 2,03 e 16 = 24 − − − − − − − − − − − − − − − √quarta di 24 = 2
i = 2,03/2 – 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = 1,015 – 1 = 0,015 − − − − − − − − − − − − − − i = 1,5%
Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione semplice, produce un montante M=1700 euro. Determinare il tasso semestrale d ’ interesse semplice i****.
M= C(1+it) 1700 = 1600 (1+i4) 1700/1600 = 1+i 1700/1600 – 1 = i4 − − − − − − − − − − − − 1700 – 1700 /1600 = i4 − − − − − − − − − − − − − − − − 100/1600 = i
1/16 = i4 − − − − − − − − − − − − − − − − − 1/16 * 1/4 = i − − − − − − − − − − − − − − − − − 1/64 = i − − − − − − − − − − − − − 0,015 (annuo)
I2 = 0,015/2 = 0,0078 − − − − − − − − − − − − 0,78%
Un capitale C=1600 euro, impiegato per 4 anni in capitalizzazione semplice, produce un montante M=1800 euro. Determinare il tasso quadrimestrale d ’ interesse semplice i****. M= C(1+it) 1800 = 1600 (1+i4) 1800/1600 = 1+i 1800/1600 – 1 = i4 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 1800 – 1600 /1600 = i4 − − − − − − − − − − − − − − − − 300/1600 = i
1/8 = i4 − − − − − − − − − − − − − − − − − 1/8 * 1/4 = i − − − − − − − − − − − − − − − − − 1/32 = i − − − − − − − − − − − − − 0,031 (annuo)
I3 = 0,031/3 = 0,010 − − − − − − − − − − − − 1%
Calcolare per quanto tempo si deve impiegare la somma C=1000 euro al tasso annuo di interesse composto i=0,02 per produrre il montante M=2000 euro 𝑀 =𝐶(1 +𝑖)𝑡 2000 = 1000 (1 + 0,02)𝑡 2 = 1,02𝑡 ln 2 =𝑡 ln 1, 𝑡 =ln2 /ln1,02 = 35 (anni)
In quanto tempo raddoppia un capitale pari a 120, impiegato in capitalizzazione composta, se il tasso annuo d ’ interesse applicato è del 5%? Scrivi e risolvi l'equazione che conduce alla soluzione. 2C=C(1+i)t 2120=120(1+0.05)t t=ln2/ln1. t=14 anni 2 mesi e 14 giorni circa
Quando diremo che due tassi periodali sono equivalenti? Se applicati allo stesso capitale danno lo stesso montante per lo stesso arco temporale
Come si calcola il corso di un titolo a rendimento certo? (Esamina i due casi: con cedola e senza cedola). SENZA CEDOLE: A=S /(1+i)t CON CEDOLE: A= R1/(1+i)t1 + R2/(1+i)t2 + …….. Rn + s /(1+i)tn
Quali leggi di attualizzazione conosci? attualizzazione dello sconto semplice: A = S * 1/1+it attualizzazione dello sconto composto: A = S* 1/(1+i)t attualizzazione dello sconto commerciale: A = S (1 – dt)
Quali leggi di capitalizzazione conosci? capitalizzazione a interesse semplice: f(t) = 1+it capitalizzazione a interesse composto: f(t) = (1 +𝑖)t capitalizzazione a interesse anticipato: f(t) = 1 /1− dt
Calcola il montante a 3 anni e 6 mesi di 100 euro impiegati in capitalizzazione composta al tasso semestrale del 0,6%. Attenzione: indica la formula (o le formule) utilizzate e tutti i passaggi. M = C (1+i)t i = (1 + i2)2 – 1 = 100 (1+i)3,5 = (1 + 0,006)2 – 1 = 100 (1+ 0,012036)3,5 = 0, 012036 M = 104,
Il rendimento annuo al lordo delle imposte, in cc, per un BOT di valore nominale 5000 euro e scadenza a 12 mesi è del 2%. Nell ’ ipotesi che il tasso d ’ interesse di mercato aumenti subito dopo l ’ acquisto del titolo del 0,25% e poi rimanga invariato fino alla scadenza, stabilire il prezzo di vendita del BOT dopo 5 mesi. Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici. S = 5000 i = 0,02 + aumento dello 0,25 % = 0,0025 tot i = 0, MESI 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11__ 12 0 ____________ P = S/(1 + i)t = 5000 /(1 + 0,0225)7/12 = 5000/1,0131 = 4935,
Voglio costituire un capitale pari a 100000 euro mediante il versamento annuale, per 15 anni, di una rata posticipata, di importo R, con decorrenza t=0, assumendo un tasso di mercato piatto per tutta l'operazione pari al 4% annuo. Qual è l'importo della rata R? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.
R * = 100000 R = 100000/ = 100000 /(1+i)n – 1/i = = 100000 /(1+0,4)15 – 1/0,04 = 100000/20,02 = 4995
Qual è il montante in t=8 di una rendita, con decorrenza t=0, che prevede 8 rate annue anticipate ciascuna di importo 70 nell ’ ipotesi di un tasso d ’ interesse piatto del 4%? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici. FLUSSO Scad (anni) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i = 4% Importi 70 70 70 70 70 70 70 70 70
M = R * * (1 + i) = 70 * (1 + 0,04)8 − 1 /0,04 * (1 + 0,04) = 70 * 9,214 * 1,04 = 670,
Qual è il valore attuale in t=0 di una rendita, con decorrenza t=0, che prevede 8 rate annue anticipate ciascuna di importo 70 nell ’ ipotesi di un tasso d ’ interesse piatto del 4%? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici.
A = R * * (1 + i) = 70 * 1 – (1+i)− n /i * (1 + i) = 70 * 1 – (1 + 0,04)− 8 /0,04 * (1 + 0,04) = 70 * 6,73 * 1,04 = 490,
Una rendita posticipata prevede 3 rate rispettivamente di 10, 20, 30 a scadenza annuale con decorrenza t=0. Qual è il montante della rendita in t=7, assumendo per tutto l'arco dell'operazione un tasso annuo i=0,05? Attenzione: indica la formula utilizzata e gli eventuali passaggi algebrici. FLUSSO anni 0 1 2 3 4 5 6 7 Importi 10 20 30 Mt=7 = 10 * (1+i)t + 20 * (1+i)t + 30 * (1+i) = 10 * (1+0,05)6 + 20 * (1+0,05)5 + 30 * (1+0,05)4 = = 13,40 + 25,53 + 36,47 = 75,
Considera la rendita posticipata a rata costante individuata dal seguente flusso di cassa
Calcola l'importo disponibile a un anno e sei mesi dall'inizio dell'operazione al tasso mensile del 0,1% in cc. M in t = 18 mesi
M = R * = 20 * (1 + 0,001)12 – 1 /0,001 = 241,
Considera la seguente operazione finanziaria che inizia in t=
(a) Si tratta di una rendita? (b) Se sì, elenca tutte le caratteristiche di questa rendita. A. si B. rendita posticipata rate negative NON costanti periodo 2 anni con decorrenza in T = 0
Compilare il flusso di cassa per: (1) una rendita anticipata con 4 pagamenti di 30 euro, decorrenza oggi e periodo di un mese; (2) una rendita posticipata con 4 entrate di 30 euro, decorrenza oggi e periodo di un mese.
Considera la seguente rendita posticipata
(1) Calcola il montante della rendita in t=3 al tasso del 3% in cs (2) Calcola il montante della rendita in t=3 al tasso del 3% in cc
- M = 30 * (1 + 0,03 *2) + 50 (1 + 0,03 *1) + 70 = 31,80 + 51,50 + 70 = 153,
- M = 30 * (1 + 0,03)2 + 50* (1 + 0,03)1 + 70 = 31,827 + 51,50 + 70 = 153,
Considera il seguente piano di ammortamento e assumi che il tasso d'interesse sia i
Qual è la formula per il debito estinto E3****? E3 = E2 + K
Considera il seguente piano di ammortamento e assumi che il tasso d'interesse sia i****.
Qual è la formula per la rata R2****? R2 = K2 + I2 = K2 + i D
Considera il seguente piano di ammortamento
Qual è la condizione di chiusura elementare? S = K1 + K2 + K
Considera il seguente piano d'ammortamento
Qual è la condizione di chiusura iniziale in cc assumendo un tasso d'interesse i****? D0 = R1 /1 + i + R2 /(1 + i)2 + R3 /(1 + i)
Considera il seguente piano d'ammortamento
Qual è la condizione di chiusura finale in cc assumendo un tasso d'interesse i****? D0 (1 + i)3 = R1 (1 + i)2 + R2 (1 + i) + R
Un mutuo di 10.000 euro viene ammortizzato con 30 rate mensili costanti al tasso mensile d'interesse
del 0,1%. Qual è il debito residuo dopo il pagamento della 20 − esima rata?
Spiega in cosa consiste il rischio di tasso relativamente al flusso di cassa di un titolo a reddito fisso (ricorda che il rischio di tasso ha due componenti: rischio di reimpiego e rischio di prezzo). I titoli a reddito fisso da un lato garantiscono all’investitore un rendimento costante, ma non lo preservano dalle possibili variazioni del tasso di mercato nel corso dell’investimento, ossai del rischiio di tasso. Tale rischio ha due componenti: − rischio di reimpiego dovuto alla possibile diminuzione del tasso di mercato e in questo caso le cedole incassate non potranno essere reinvestite al tasso previsto − rischio di prezzo dovuto al possibile aumento del tasso di mercato il che comporta una diminuzione del prezzo del titolo, ossia gli importi del flusso ancora da incassare avranno un valore inferiore a quello previsto
Qual è il significato finanziario della duration? E’ il tempo ottimo di smobilizzo, cioè l’epoca t tale che, disinvestendo in t un flusso di incassi, piccole variazioni del tasso di mercato non cambieranno il valore del flusso (immunizzazione finanziaria)
Qual è la formula per calcolare il valore del seguente flusso di cassa al tasso annuo i=0,03 a 3 anni e 4 mesi da oggi? (Attenzione, si chiede la formula, non il risultato).
Qual è il significato finanziario del TIR (tasso interno di rendimento) per un investimento di tipo PICO? Se il tasso di valutazione di un investimento è inferiore al tir allora l’investimento è conveniente altrimenti non lo è. Il tasso implicito di un investimento è quel tasso di interesse al di sopra del quale non conviene farsi finanziare
Considera il seguente investimento di tipo PICO e calcola il suo REA per i=6%****. Il TIR (tasso interno di rendimento) dell'investimento è maggiore o minore del 6%****?
Che cosa è il tasso interno di rendimento (TIR)? Negli investimenti di tipo PICO per i quali 𝐺𝐺(0) > 0, il tasso interno di rendimento (TIR) esiste ed è unico ed è quel tasso 𝑖> 0 tale che 𝐺(𝑖)= 0, cioè tale che il REA calcolato a quel tasso sia nullo
Che cosa è il break point relativo a due investimenti? Il break point relativo a due investimenti 𝐼1 e 𝐼2 è quel tasso d'interesse 𝑖 tale che 𝐺𝐼1(𝑖)=𝐺𝐼2(𝑖). E’ l'ascissa del punto in cui si intersecano i grafici dei due REA
Considera i due seguenti investimenti I1 e I Quale dei due investimenti si dovrebbe scegliere mediante il criterio del REA se il tasso di valutazione è del 1,3%? Giustificare la risposta.
Come si fa a trovare il break point relativo a due investimenti? Si uguagliano i rea dei 2 investimenti ottenendo una equazione che è di primo grado o secondo grado e si può risolvere algebricamente altrimenti si possono utilizzare altri metodi come ad esempio il Risolutore di Excel
Perché, dati due investimenti, è importante conoscerne il break point? Perché il break point è il tasso di svolta a partire dal quale cambia la scelta in termini di convenienza di un investimento rispetto all'altro
Considera i due seguenti investimenti I1 e I 2 Quale dei due investimenti si dovrebbe scegliere mediante il criterio del REA se il tasso di valutazione è del 1,2%? Giustificare la risposta.
Si consideri il seguente progetto d'investimento Utilizzando il criterio del REA, dire se conviene farsi finanziare l'esborso iniziale al tasso annuo del 13%. E al tasso del 17%?
Si consideri il seguente progetto d'investimento Utilizzando il criterio del REA, dire se conviene farsi finanziare l'esborso iniziale al tasso annuo dell'8%.
Sia X la variabile aleatoria che ha la seguente distribuzione di probabilità X X=-1 X=0 X=1 X= prob. 0,3 0,2 0,4 0, Qual è la probabilità che sia X>0? 0, Qual è la probabilità che sia X2=1? 0, Qual è la probabilità che sia X=3? 0 Qual è la probabilità che sia X<3? 1
Una variabile aleatoria X può assumere i valori x1, x2, x3 con probabilità rispettivamente p1, p2, p3. Qual è il valore atteso di X? X X1 X2 X Prob P1 P2 P X=”X1P1”+”X2P2”+”X3*P3”
