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I. FONDAMENTI DI TRASMISSIONE DATI
L’ informazione è legata all’incremento della conoscenza: trasferire informazione significa aumentare il livello
di conoscenza di chi è dall’altra parte. Le telecomunicazioni hanno come scopo il trasferimento di
informazione tra diversi punti dello spazio.
Alla base delle telecomunicazioni sta la rappresentazione dell’informazione come segnali. Un segnale è una
funzione reale o complessa nella variabile tempo. L’informazione viene trasportata da un segnale nella
“forma” del segnale, cioè, come il segnale si evolve nel tempo, trasporta l’informazione. Un segnale costante
nel tempo non porta informazione, perché non cambia.
Le sorgenti di informazione sono di due tipi: analogica e
numerica. L’informazione analogica è un’informazione
continua nel tempo e nell’ampiezza. Quindi una sorgente
analogica genera segnali continui nel tempo e infiniti
possibili nell’ampiezza, compresi tra un massimo e un
minimo (es: audio, video, …). Una sorgente numerica invece
è una sorgente che produce segnali discreti nel tempo e
discreti nell’ampiezza (es: testo, dati, …).
Questi segnali non vengono trasmessi in forma naturale di solito; quando vengono trasmessi devono essere
trasformati in delle grandezze elettriche che sono anch’esse dei segnali. Un segnale elettrico è una tensione
o una corrente funzioni del tempo che spesso sono generate da trasduttori, ossia dispositivi che convertono
una qualsiasi grandezza scalare in un segnale elettrico, ad esempio trasduttori di pressione sonora (audio),
intensità luminosa (immagini e video), temperatura, velocità, ecc.
I segnali possono essere:
- elaborati (filtrare componenti spurie generate dai trasduttori, eliminare rumore, estrarre le
«componenti» più rilevanti per le successive elaborazioni);
- trasmessi (l’informazione contenuta nel segnale deve essere trasmessa a distanza, per essere usata in un
posto diverso da quello dove e stata generata);
- memorizzati (l’informazione contenuta nel segnale deve essere conservata per rimanere fruibile anche
a distanza di tempo).
I moderni sistemi di telecomunicazione sono particolarmente adatti a trasmettere informazioni di tipo
numerico. La trasmissione effettiva però sarà analogica: il sistema, che è numerico, converte la grandezza
analogica in numerica, la manipola, la trasferisce a prescindere della sua natura e poi la riconverte a
destinazione nella forma analogica originale. Questo ha il vantaggio di poter usare un’unica rete per trasferire
tanti contenuti diversi e che la trasmissione prescinde dal contenuto. I moderni sistemi di telecomunicazione
utilizzano dei segnali elettrici, radio e ottici per trasportare l’informazione.
1.1 Il segnale analogico
Per determinare cosa occorra per trasmettere un’informazione analogica, dobbiamo prima di tutto capire
come essa si possa trasmettere. L’informazione emessa da una sorgente analogica è trasportata da un mezzo
fisico tramite un segnale analogico (es: la voce; il segnale acustico è un’onda di pressione, il mezzo trasmissivo
è un gas, un liquido od un solido). Un segnale continuo nel tempo (segnale analogico) è una funzione reale o
complessa 𝑓
( 𝑡
) della variabile reale 𝑡 (il tempo). Un segnale analogico che trasporta dell’informazione non è
un segnale deterministico , ossia non può essere descritto completamente da una funzione 𝑓(𝑡). Esso è un
processo stocastico , in cui il valore assunto dalla funzione 𝑓(𝑡) in ogni istante 𝑡 dipende anche da una
distribuzione di probabilità (parametri casuali).
Alla base dello studio dei segnali analogici stanno gli strumenti matematici che ci permettono di analizzare
quelle che sono le proprietà del segnale; in particolare siamo interessati a definire delle caratteristiche del
segnale per poter poi fare una corrispondenza fra le caratteristiche di questo segnale e le caratteristiche del
canale che dovrà trasportare il segnale. La caratteristica principale che ci interessa è l’occupazione di banda
del segnale. Questo perché esiste una relazione stretta fra tempo e frequenza. I nostri segnali caratterizzati
dal tempo occupano dello spazio non tanto nel tempo quanto in frequenza. Quanto spazio occupa il segnale
in frequenza è proprio la caratteristica primaria a cui siamo più interessati perché il nostro canale trasmissivo
sarà caratterizzato da spazio in frequenza. Per determinare cosa ci serve per trasmettere un’informazione
analogica dobbiamo sapere quanto “spazio” occupa sul mezzo trasmissivo e fare in modo che sorgente ed
utilizzatore siano in grado di trasmettere e ricevere il segnale in quello “spazio”. Si deve ricorrere alla Teoria
dei Segnali e dei Sistemi Lineari.
La teoria dei segnali ci permette di conoscere le caratteristiche del segnale (funzione del tempo) nel dominio
della frequenza e, tra le altre cose, ci permette di capire quanti Hertz [Hz] (lo “spazio” sul mezzo trasmissivo)
siano necessari per trasmetterlo in maniera efficace. Gli strumenti matematici sono la trasformata di Fourier
(𝐹) e la teoria dei processi stocastici.
Lo sviluppo di serie di Fourier è l’estensione al caso delle funzioni periodiche dello sviluppo in serie di Taylor,
cioè la rappresentazione di una funzione periodica come una combinazione lineare in questo caso di funzioni
periodiche di base che sono sinusoidi.
𝑓(𝑥) = ∑ 𝐹
𝑛
ⅇ
ⅈ𝑛𝑥
∞
𝑛=−∞
𝐹
𝑛
=
1
2 𝜋
∫ 𝑓(𝑥)ⅇ
−ⅈ𝑛𝑥
ⅆ𝑥
𝜋
−𝜋
ⅇ
ⅈ𝑛𝑥
= 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) + ⅈ 𝑠ⅈ𝑛(𝑛𝑥)
𝑓(𝑥) =
𝑎 0
2
𝑛
𝑐𝑜𝑠 (
2 𝜋
𝑇
𝑛𝑥) + 𝑏
𝑛
𝑠ⅈ𝑛 (
2 𝜋
𝑇
𝑛𝑥)]
∞
𝑛= 1
𝑎
0
=
2
𝑇
∫ 𝑓
( 𝑥
) ⅆ𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
𝑎
𝑛
=
2
𝑇
∫ 𝑓
( 𝑥
) 𝑐𝑜𝑠 (
2 𝜋
𝑇
𝑛𝑥) ⅆ𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
𝑏
𝑛
=
2
𝑇
∫ 𝑓
( 𝑥
) 𝑠ⅈ𝑛 (
2 𝜋
𝑇
𝑛𝑥) ⅆ𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
Lo sviluppo in serie di Fourier ci dice che un segnale periodico di periodo 𝑇 (e frequenza 𝑓 =
1
𝑇
) può essere
rappresentato come una combinazione lineare di sinusoidi (complesse) di frequenza 𝑓 𝑛
=
𝑛
𝑇
. Ciascun
coefficiente 𝑎 𝑛
e 𝑏
𝑛
ci dice, per ciascuna componente a frequenza 𝑓
𝑛
, quanto essa è forte nel segnale 𝑥(𝑡).
In generale questa formula mi dice che la mia funzione è una combinazione lineare di esponenziali complessi
ognuno con il suo coefficiente, essendo il coefficiente calcolato con l’integrale 𝐹 𝑛
: si moltiplica la funzione per
un esponenziale complesso e si fa l’integrale tra −𝜋 e 𝜋. Questo corrisponde, se io vado nel piano reale, ad
una combinazione lineare che vede un termine costante
𝑎 0
2
più una combinazione lineare di coseni e seni
ognuno con frequenza multipla di
1
𝑇
essendo 𝑇 il periodo del mio segnale periodico. Quindi io vado ad
approssimare il mio segnale periodico andando a calcolare i coefficienti della mia serie di Taylor e più
coefficienti calcolo più il mio segnale periodico somiglierà al segnale originale. Il risultato è che il mio segnale
periodico è sufficientemente caratterizzato dalla sequenza di coefficienti: conoscendo i coefficienti conosco
come si comporta la funzione. Idealmente questi coefficienti diventeranno sempre più piccoli all’aumentare
della frequenza. Più termini metto più il segnale somiglia a quello originale.
Esempio : onda quadra periodica 𝑓(𝑡) ≈ 2. 5 +
10
𝜋
(𝑠ⅈ𝑛
𝜋𝑡
4
1
3
𝑠ⅈ𝑛
3 𝜋𝑡
4
1
5
𝑠ⅈ𝑛
5 𝜋𝑡
4
1
7
𝑠ⅈ𝑛
7 𝜋𝑡
4
1
9
𝑠ⅈ𝑛
9 𝜋𝑡
4
1
11
𝑠ⅈ𝑛
11 𝜋𝑡
4
1
13
𝑠ⅈ𝑛
13 𝜋𝑡
4
)
In generale, io posso sviluppare qualsiasi funzione periodica con una serie di Fourier e sapere quello che è il
peso delle varie frequenze, tenendo conto che, però, una funzione periodica è una funzione totalmente
ideale e non è rappresentativa di un segnale reale. I segnali normali non sono delle funzioni periodiche, ma
sono delle funzioni generiche del tempo. Per questo, dal punto di vista matematico, si arriva attraverso un
La 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 è una funzione rettangolare che ha valore 1 sotto un limite e valore 0 fuori. Lo spettro della
funzione rossa a sinistra è la funzione rossa a destra. Moltiplicando la funzione per una funzione a
frequenza più elevata (funzione verde a sinistra), l'effetto è quello di avere uno spettro che è fatto da
due copie dello spettro rosso centrate intorno a + 10 e − 10 (funzione verde a destra). Quando moltiplico
un segnale per una sinusoide, l'effetto in frequenza è che io prendo il comportamento in frequenza del
segnale e lo sposto in frequenza (ne creo una copia in una frequenza diversa). Questa operazione è quella
che si chiama modulazione. Se io moltiplico un segnale nel tempo lo modulo e la modulazione ha l’effetto
di prendere e creare una copia del suo spettro in un punto in frequenza che corrisponde alla frequenza
di modulazione. Quindi l'effetto di creare una copia spostata è quello che poi io farò quando avrò bisogno
di trasmettere un segnale in una frequenza opportuna: quello che farò sarà modulare il segnale, cioè lo
moltiplico per una sinusoide per farmi una copia nella frequenza che mi interessa.
1
|𝐾|
𝑓
𝐾
Se estendo nel tempo la mia funzione, quindi moltiplico il tempo per un fattore 𝐾, l'effetto è che lo
spettro è compresso in frequenza o cambia di un fattore
1
𝐾
, quindi la trasformata di Fourier del segnale
𝑥(𝐾𝑡) è uguale a 1 su modulo di 𝐾 per la trasformata di Fourier di
𝑓
𝐾
. Praticamente, se io prendo il mio
segnale e lo moltiplico, in questo caso, per un fattore 𝐾 < 1 , quindi lo espando, l'effetto è che lo
moltiplico per un fattore
1
𝐾
in frequenza, lo comprimo. Viceversa, se lo comprimo nel tempo lo espando
in frequenza. Più una funzione dura poco nel tempo, più si allarga in frequenza e più la faccio durare poco
nel tempo, più sono costretto a farla durare tanto in frequenza. Quindi espandere l'asse dei tempi
corrisponde a comprimere l’asse delle frequenze e viceversa. Qualitativamente questo significa che i
segnali che durano poco nel tempo sono molto larghi in frequenza , occupano molto spazio in frequenza;
segnali che cambiano poco nel tempo, quindi che sono molto larghi nel tempo perché sono poco variabili,
hanno una rappresentazione in frequenza molto compatta. Più il segnale dura poco nel tempo più
frequenze occupa, più larga e la sua banda, più è largo in frequenza. Se il segnale nel tempo ha supporto
finito, cioè se il segnale nel tempo inizia in un istante e finisce in un altro istante quel segnale ha un
supporto in frequenza infinito: non posso avere un segnale che ha una durata nel tempo finita e
un'occupazione in frequenza finito. Viceversa, se io volessi immaginare un segnale che ha un'occupazione
rigorosamente limitata in frequenza, sarebbe un segnale che nel tempo dura all'infinito, e non sarebbe
realizzabile. Questo mi dice che qualsiasi segnale reale ha uno spettro infinito fondamentalmente perché
un segnale reale inizia nel tempo e finisce nel tempo e quindi non potrà mai avere un'occupazione di
frequenza rigorosamente limitata.
Un sistema lineare è in generale un
elemento che trasforma un segnale in un
altro segnale; cioè, una scatola in cui un
segnale entra ed esce. Il nostro sistema 𝑇 è
caratterizzato da avere in ingresso il segnale
𝑥(𝑡) e produrre in uscita il segnale 𝑦(𝑡).
Questo sistema può essere generico e
quindi questa funzione può essere di
qualsiasi tipo.
Noi siamo interessati alle funzioni lineari. I sistemi possono essere classificati in diversi modi:
- sistemi lineari e sistemi non lineari
- sistemi con memoria e senza memoria (nel sistema senza memoria l'uscita dipende solo dall'ingresso in
quell'istante, in un sistema con memoria l’uscita dipende anche dall'ingresso precedente)
- sistemi tempo varianti e tempo invarianti
- sistemi causali e non causali (un sistema causale è un sistema in cui l'uscita segue necessariamente
l'ingresso)
- sistemi reali e non reali
- sistemi stabili e non stabili (un sistema stabile è un sistema dove a ingressi limitati corrispondono uscite
limitate, un sistema non stabile è un sistema in cui a ingressi limitati possono corrispondere uscite non
limitate)
Con un sistema lineare vale la sovrapposizione degli effetti: il sistema applicato alla combinazione lineare
𝑎 1
𝑥
1
più 𝑎
2
𝑥
2
è 𝑎
1
per il sistema applicato a 𝑥
1
più 𝑎
2
per il sistema applicato a 𝑥
2
1
1
2
2
1
1
2
2
Per un sistema tempo invariante vale questa relazione:
𝑥(𝑡 − 𝜃) corrisponde a dire che la funzione è ritardata nel tempo di una quantità 𝜃, quindi spostata in avanti
nell’asse del tempo. L'effetto dell’invarianza temporale è che l'uscita è spostata ugualmente nell'asse del
tempo; quindi, dato l'ingresso ritardato ottengo la stessa uscita che avrei avuto sull’ingresso originale
ritardata opportunamente nel tempo.
I segnali lineari tempo invarianti possono essere completamente caratterizzati dalla risposta di impulso , cioè
la risposta del sistema ad una speciale distribuzione matematica che si chiama delta di Dirac 𝜹
( 𝒕
)
. La delta di
Dirac è una strana funzione matematica che è definita come avere valore zero ovunque tranne che
nell'istante zero e avere area 1. Quindi può essere immaginata come un impulso che vale sempre zero tranne
che nell’origine dove ha ampiezza infinita e l'area complessiva di questa funzione è 1.
La risposta all'impulso è quindi la 𝑦
( 𝑡
) quando 𝑥
( 𝑡
) è uguale alla delta di Dirac. Questa risposta all'impulso
che viene rappresentata come ℎ(𝑡) è in grado di caratterizzare completamente dal punto di vista matematico
il comportamento del mio sistema.
+∞
−∞
In particolare, quello che deriva dalla risposta di impulso e dall'ausilio di sistemi lineari e tempo invarianti è
che, se io conosco ℎ
( 𝑡
) , l'uscita di qualsiasi ingresso 𝑦
( 𝑡
) è uguale a 𝑥
( 𝑡
) convoluto per ℎ
( 𝑡
)
. Questa
operazione di convoluzione è il risultato dell’applicazione dell'ingresso di 𝑥(𝑡) nel mio sistema. Se
l’operazione di convoluzione viene fatta in frequenza, allora la trasformata di Fourier del prodotto di
convoluzione tra 𝑥 e 𝑦 è uguale al prodotto della trasformata di Fourier di 𝑥 per la trasformata di Fourier di
𝑦. Quindi l'operazione di convoluzione nel tempo, che è un'operazione complicata, diventa un prodotto fra
due funzioni in frequenza.
La trasformata di Fourier della risposta di impulso si chiama funzione di trasferimento e viene rappresentata
con h maiuscolo ed è la caratterizzazione completa del mio sistema in frequenza. Qualsiasi uscita la ottengo
moltiplicando lo spettro di ingresso per la funzione di trasferimento.
Quindi, io ho il mio sistema caratterizzato dalla sua risposta di impulso ℎ
( 𝑡
) e dato 𝑓
( 𝑡
) ottengo in uscita 𝑔
( 𝑡
) .
Se vado in frequenza, Il sistema è caratterizzato da 𝐻(𝑓) (la sua funzione di trasferimento) e lo spettro
dell'uscita è uguale allo spettro dell'ingresso per la funzione di trasferimento.
Quindi la banda dell'uscita è data dall'effetto del prodotto della funzione di trasferimento per lo spettro del
segnale di ingresso. Ovvero, se la banda del segnale in ingresso è più piccola rispetto alla banda della funzione
di trasferimento, il prodotto delle due, cioè l'uscita, avrà una banda che è data dal prodotto delle due; di fatto
dipenderà principalmente dalla banda del segnale di ingresso perché è quella più stretta e che va a zero
prima. Se invece il segnale che entra ha una banda più ampia del sistema, quando faccio il prodotto il termine
dominante è la banda di 𝐻(𝑓) e quindi io sto avendo un effetto sull'ingresso e la banda dell'uscita è indotta
dalla banda del sistema. Quindi se la banda dell'ingresso è più stretta della banda del filtro, allora la banda in
uscita è uguale a quella dell'ingresso. Se invece il segnale d'ingresso ha una banda più larga di quella del filtro,
l'uscita non è più equivalente all'ingresso.
Se il mio canale ha un'ampiezza variabile, ma soprattutto ha una banda più stretta del mio segnale di ingresso,
quello che riesce a uscire non è più il segnale di ingresso, ma è un qualcosa che ha perso dei pezzi.
Di fatto, la banda può essere definita in diverse maniere; non è semplicemente il supporto della trasformata,
perché il supporto della trasformata il più delle volte è infinito, ma è l'insieme di frequenze per cui il valore
della funzione è significativamente diverso da zero.
Tutte le funzioni che noi andiamo a disegnare sono tipicamente delle funzioni pari perché i sistemi reali hanno
una trasformata di Fourier con modulo pari (
| 𝐻(𝑓)
|
2
=
| 𝐻(−𝑓)
|
2
). Cioè quando li disegno, la parte a destra e
a sinistra dell'asse di x = 0 è uguale. Disegniamo delle frequenze negative ma solo perché esistono dal punto
di vista matematico, la funzione comunque è pari e non è mai diversa nelle due metà. Il che significa che noi
di solito misuriamo la banda considerando solo la parte positiva delle frequenze e non l'intera larghezza del
supporto. In questo caso si parla di banda unilatera , nell'altro caso di banda bilatera.
banda unilatera banda bilatera
Un'altra definizione di banda che vado a dare è la banda in relazione all'ampiezza del modulo e, a seconda
poi delle necessità, spesso nel contesto delle telecomunicazioni si considera la banda a 3dB.
La banda a 3dB è un'unità di misura logaritmica e rappresenta un logaritmo in base 10 del rapporto di
potenze. 3 dB corrisponde a un rapporto di potenze pari a 2, ovvero corrisponde a una diminuzione
dell'ampiezza del 50%. Quindi, la banda a 3 dB è quel punto in cui l'ampiezza del modulo quadro della funzione
di trasferimento è il 50% inferiore al massimo.
|𝐻(𝑓)|
2
|
𝑑𝐵
= 10 log
10
(|𝐻(𝑓)|
2
)
𝑓 = 𝐵
3 𝑑𝐵
La funzione è quasi sempre alta e poi crolla e il 50% può essere già un livello sufficiente di limite per andare
a definire quando siamo interessati a identificare la banda. Spesso la funzione è più rettangolare, più simile
a un rettangolo, e quindi il crollo è molto veloce, molto verticale e il momento in cui scala sotto il 50% è già
un indice di un punto critico di ampiezza. Questa è una banda che viene spesso utilizzata nel contesto dei
filtri. Un filtro è un sistema che ha una funzione trasferimento che ha un comportamento filtrante, ovvero
che ha un comportamento costante nell'intervallo ed è quasi nulla in altri intervalli. Quindi, in base alla
risposta in frequenza noi parliamo di filtri passa basso, passa alto, passa banda o elimina banda:
- passa basso : è un sistema che ha la funzione di trasferimento che ha un valore quasi costante all'interno
della banda di definizione e ha un valore praticamente nullo al di fuori della banda di definizione. L'effetto
di un filtro passa basso è quello di far passare immutate le frequenze al di sotto della banda e quindi far
passare solo le basse frequenze, quelle all'interno dell'intervallo definito. Il filtro ha banda finita centrata
intorno all'origine. Un filtro passa basso lo uso per eliminare i disturbi in alta frequenza.
- passa alto : è un sistema che fa passare solo le frequenze al di sopra di un intervallo predefinito e ha una
funzione di trasferimento che presenta un fosso nell’intervallo di frequenze basse, poi è costante al di
sopra di questo intervallo. Quindi è un filtro che taglia le frequenze basse e fa passare solo le frequenze
alte. Un filtro passa alto lo uso per eliminare i disturbi in bassa frequenza.
- passa banda : è un filtro che ha valori non nulli lontani dallo zero e fa passare le frequenze fa passare
immutate le frequenze fra un minimo e un massimo maggiore di 0. Quindi, non include l'origine e fa
passare solo delle frequenze in un intervallo predefinito.
- elimina banda : è l'equivalente di un filtro passa banda complementare, cioè un filtro che fa passare tutto
tranne certi intervalli di frequenze. Lo scopo del filtro è quello di far passare quello che voglio o di
eliminare quello che voglio.
Idealmente un filtro passa basso dovrebbe avere uno spettro costante in un intervallo e nullo al di fuori:
questo è un filtro ideale che non è realizzabile perché avrebbe uno spettro a supporto finito e gli
risponderebbe una funzione di trasferimento a supporto infinito non causale. Quello che si fa effettivamente
come filtro passa basso è un qualcosa che è una funzione continua che è sufficientemente costante
nell'intervallo che mi interessa e poi va giù il più velocemente possibile al di fuori dell'intervallo che mi
interessa.
Filtro ideale passa basso Filtro reale passa basso
I filtri di per sé non sono sistemi complicati, infatti filtri passa-basso e passa-alto possono essere costituiti da
semplicissimi circuiti elettrici passivi. Filtri più complessi o più selettivi richiedono l’uso di induttanze, o di
elementi attivi (amplificatori operazionali).
Nei sistemi lineari si parla di distorsione lineare come quel fenomeno che cambia la forma d'onda di ingresso,
cioè l'uscita è diversa nella sua forma dall'ingresso. Qualsiasi fattore moltiplicativo e qualsiasi ritardo non
modificano la forma d'onda e quindi sono considerati non distorcenti. Dato un sistema lineare la sua
distorsione può essere compensata con un sistema che va ad annullarne l'effetto, ovvero, dato un canale che
ha una sua funzione di trasferimento generica, se io conosco come è fatto questo canale posso progettare
un sistema che va ad annullare l'effetto di distorsione del canale a tanti eventuali effetti di ritardo o
amplificazione che sono non distorcenti. Questo secondo elemento si chiama equalizzazione. Un
equalizzatore è un apparato che viene costruito adattandolo alle caratteristiche del canale per far sì che il
che gli interessa, entrando intorno alla frequenza 𝑓 1
, 𝑓
2
, 𝑓
3
a seconda di quello di cui ha bisogno. Di fatto la
multiplazione mi permette di trasmettere contemporaneamente flussi diversi in frequenze diverse perché
ognuno occupa intervalli di frequenza diversa.
Finora abbiamo visto i segnali come funzioni deterministiche del tempo; il problema è che le funzioni
deterministiche non trasportano informazione. I segnali reali non sono deterministici, ma sono dei processi
stocastici , ovvero funzioni del tempo e di una o più variabili casuali.
I processi stocastici a cui siamo interessati sono uno specifico sottoinsieme definiti stazionari ed ergodici. Un
processo stazionario vuol dire che le caratteristiche statistiche non variano nel tempo, cioè se lo guardo ora
e lo guardo tra qualche secondo la media statistica delle sue caratteristiche è ancora la stessa (non importa
il momento del tempo in cui guardo il sistema, Il sistema è grossomodo lo stesso). Al processo stazionario di
solito opposto l'idea di un sistema transitorio. Un processo ergodico vuol dire che la singola realizzazione è
statisticamente rappresentativa di tutte le altre: se io studio una realizzazione del processo, ovvero una
versione della funzione in cui ho cristallizzato le componenti casuali, le sue caratteristiche sono uguali a
qualsiasi altra versione in cui ho cristallizzato diversamente le componenti casuali.
Se valgono queste condizioni, esiste una funzione che si chiama funzione di autocorrelazione del processo
che è molto simile alla convulsione del processo con se stesso; la trasformazione dei Fourier di questa
funzione di correlazione è lo spettro del segnale. Allora, la densità spettrale di potenza del segnale ha delle
caratteristiche di frequenza compatibili con i discorsi fatti precedentemente.
Quindi, la densità spettrale di potenza di un segnale è la distribuzione della potenza del segnale in funzione
della frequenza, viene chiamata comunemente spettro del segnale e si misura in Watt/Hertz [W/Hz]. La
potenza del segnale è ottenuta facendo l’integrale dello spettro. Laddove per un segnale deterministico
faccio la trasformata di Fourier e poi guardo il modulo quadro, per un segnale stocastico faccio la funzione di
correlazione, ne faccio la trasformata di Fourier e guardo la densità spettrale di potenza. La forma è ancora
equivalente e le frequenze che occupo sono indicative di quello che è l'occupazione in frequenza del segnale,
perché sono le frequenze in cui si concentra la potenza del segnale. La banda del processo è proprio quella
in cui è definita in relazione alla densità spettrale di potenza ed è quindi quella in cui si trova quasi tutto il
segnale.
Il rumore è un disturbo presente in qualsiasi sistema fisico. Dal punto di vista matematico, il rumore è una
componente additiva che ha una densità spettrale di potenza su tutte le frequenze in maniera variabile.
Quando uno studia un sistema tipicamente deve sempre considerare il fatto che oltre all'ingresso X esiste un
ulteriore ingresso che è il rumore, che passa all'interno del sistema e quindi produce un disturbo sull'uscita.
Il rumore classico matematico più semplice che viene usato è il rumore bianco, cioè un segnale che ha una
densità spettrale di potenza costante su tutte le frequenze.
𝑆
𝑋
(𝑓) =
𝑁
0
2
Il modello ideale di rumore è il rumore gaussiano bianco con una densità spettrale di potenza costante su
tutte le frequenze; l'ampiezza vale
𝑁 0
2
e dipende solo dalla temperatura. 𝑁
0
vale 𝑘𝑇, dove 𝑇 è la temperatura
in Kelvin e 𝑘 è la costante di Boltzmann ( 1. 38064852 ∙ 10
− 23
m
2
kg s
− 2
K
− 1
).
Di fatto il rumore bianco è inevitabile perché i nostri componenti elettronici sono al di sopra dello zero Kelvin;
quindi, il solo fatto che esistano, produce rumore termico che possiamo assimilare ad un rumore bianco, cioè
costante su tutte le frequenze. Poi ci sono i rumori colorati, il rumore bruno o il rumore rosa, che sono dei
rumori che invece valgono solo per intervalli limitati di frequenza, ma idealmente il rumore gaussiano bianco
è quello classico più semplice che si può consigliare nelle trasmissioni ed è la componente base di rumore
che va considerata in qualsiasi trasmissione che mi impedisce di avere una trasmissione perfetta perché
qualsiasi sistema presenterà un disturbo legato al rumore.
1.2 Il segnale numerico
I sistemi di trasmissione diretta dei segnali analogici sono stati prima affiancati e poi sostituiti con tecniche
di tipo numerico, ovvero non si trasmette più il segnale analogico in sé ma si trasmette e si manipola la sua
forma numerica. Bisogna capire come funziona la conversione da analogico a numerico. Si parte dal segnale
analogico che deve essere convertito in segnale numerico, ovvero in una sequenza di bit 0 e 1 o una sequenza
di simboli discreti. L’informazione numerica può essere memorizzata in forma statica, come i CD e i DVD, o
in forma dinamica, come un hard disk. Può essere elaborata attraverso il DSP (digital signal processing,
processo di elaborazione dei segnali numerici), che di fatto significa fare quelle operazioni di filtraggio viste
in analogico fatte, però, nel dominio numerico, quindi la trasformazione del segnale numerico in
qualcos’altro per eliminare i disturbi, per estrarre l’informazione, per manipolare le informazioni. Infine, può
essere trasmessa (la trasmissione sarà una trasmissione su un canale analogico). L’informazione numerica,
quando deve essere fruita, deve essere convertita nella forma naturale analogica se era analogica in origine.
Le fasi per la conversione da analogico a numerico sono due: il campionamento e la quantizzazione. Si parte
dal segnale analogico che viene campionato, ovvero trasformato da un segnale che è continuo nel tempo e
nell’ampiezza ad un segnale che è discreto nel tempo e continuo dell’ampiezza. Quindi, si va a fissare il valore
del segnale in una serie di istanti di tempo discreti. La condizione dietro tutto ciò è che queste operazioni
siano poi reversibili, cioè si possa ottenere a ritroso il segnale originale a partire dal risultato di queste
operazioni. Il risultato, comunque, è che si ottiene una sequenza di campioni, che sono però ancora valori
continui in ampiezza, sono solo discretizzati nella dimensione tempo. L’operazione di quantizzazione è Il
passo successivo, cioè l’operazione che trasforma i campioni continui in ampiezza in una serie di campioni
discreti in ampiezza, associando ad ogni campione un valore rappresentativo in un insieme predefinito;
ovvero, idealmente dividiamo la dinamica del segnale in ingresso, cioè i valori che possono essere ottenuti
dal segnale in ingresso, in una serie di sotto intervalli e andiamo ad associare ogni campione all’intervallo in
cui ricade. In pratica vado a discretizzare le ampiezze, ottenendo quella che è una sequenza di valori discreti
nel tempo ma anche discreti nelle ampiezze.
Idealmente , il concetto del campionamento è quello di considerare solo i valori del segnale analogico in una
serie di istanti di tempo discreti multipli di un tempo base 𝑇 𝑐
, che è il tempo di campionamento. Alla base
del campionamento sta l’idea di guardare il segnale ad intervalli regolari (𝑇 𝑐
, 2 𝑇
𝑐
, 3 𝑇
𝑐
,…) con una cadenza
regolare che è data dal tempo di campionamento. L’elemento importante non è tanto il tempo di
campionamento, ma il suo inverso, cioè la frequenza di campionamento 𝑓 𝑐
=
1
𝑇 𝑐
.
Il segnale campionato è rappresentabile come quello che viene definito un treno di delta , cioè una sequenza
di delta di Dirac centrate intorno ai multipli di 𝑇 𝑐
con ogni delta moltiplicata per un’ampiezza che è data dal
valore del campione in quel punto. Quindi ho una formula che dice che il segnale è la sommatoria di 𝑥[𝑛],
essendo 𝑥[𝑛] la sequenza dei campioni, per le delta centrate intorno all’istante 𝑛𝑇 𝑐
.
𝑥
𝑐
( 𝑡
) = ∑ 𝑥
+∞
𝑛=−∞
[ 𝑛
] 𝛿
( 𝑡 − 𝑛𝑇
𝑐
)
In pratica, ho trasformato il mio segnale, che è un segnale continuo, in una serie di impulsi molto vicini. Il
campionatore mi produce una sequenza di campioni discreti, che combinata con le delta rappresenterebbe
poi il segnale campionato, e la sequenza viene poi trasmessa. Il ricevitore prende questa sequenza, applica
Non si può evitare questo effetto, ma, eventualmente, si può ridurre, ad esempio, usando una frequenza di
campionamento sufficientemente alta da tenere le copie separate cosicché le code si sovrappongono di
meno. Un’altra modalità è quella di elaborare il segnale a monte eliminando già le code dal segnale da
campionare, ovvero un filtro anti-aliasing.
Si fa passare il segnale in un filtro anti-aliasing, tra un filtro passa basso, che elimina eventuali code dal
segnale originale, poi il segnale viene campionato e successivamente viene ricostruito senza le code. L’effetto
della ricostruzione senza le code tipicamente è meno problematico dell’effetto della riproduzione con le code
sovrapposte; quindi, è preferibile applicare il filtro anti-aliasing al segnale prima di trasmetterlo.
Senza filtro anti-aliasing Con filtro anti-aliasing
Il campionatore ideale (treno di delta) non esiste , quello che si può fare è usare tanti impulsi molto brevi. Il
campionatore reale funziona in questo modo: il segnale originale passa per un filtro anti-aliasing, viene
campionato, si ottiene la sequenza di campioni 𝑥′[𝑛] che viene memorizzata, trasmessa e poi può essere
ricostruita, se non l’ho manipolata, dal filtro ricostruttore che produce un segnale che è sufficientemente
simile al segnale originale.
Mentre il campionamento ha la garanzia che quello che ricostruisco è simile al segnale originale, la
quantizzazione ha la garanzia che è impossibile riottenere il segnale originale. Questo perché la
quantizzazione prevede che, tramite un opportuno algoritmo, si associa un numero intero in un insieme
limitato a ciascun livello continuo campionato, approssimandolo opportunamente; quindi, il risultato è che
un insieme continuo di valori in ingresso viene mappato su un insieme finito di valori in uscita. In generale, il
risultato è che io divido le ampiezze in intervalli e associo a ogni intervallo un valore rappresentativo che, di
solito, è il valor medio dell’intervallo stesso o uno degli estremi. (per esempio: se ho un intervallo che
rappresenta tutti i numeri da 0,1 a 0,2 e lo trasmetto come il numero 001, questa combinazione poi quale
valore mi rappresenta nell’intervallo fra 0,1 e 0, 2? A seconda di quello che io posso decidere, rappresenterà
sempre 0 , 1 oppure 0,2 oppure 0,15). Quindi, io associo ad ogni intervallo un valore rappresentativo che sarà
poi quello ricostruito a prescindere dal valore originale. La quantizzazione è un processo irreversibile perché
perdo informazione. Questo è quello che si chiama errore di quantizzazione , cioè il fatto che io ho una
differenza del segnale ricostruito, dovuta al fatto che il segnale che io riproduco ha un’ampiezza diversa da
quella originale a causa della rappresentazione del segnale quantizzato. L’errore di quantizzazione diventa
tanto più piccolo quanto più intervalli inserisco, quindi, in un certo senso, posso aumentare il numero di livelli
di quantizzazione per migliorare la qualità del segnale. Il numero di livelli è associato al numero di bit che poi
uso per trasmettere: se ho, ad esempio, quattro livelli userò due bit. Se, però, voglio migliorare la precisione,
dovrò aumentare il numero di livelli e, di conseguenza, dovrò aumentare anche il numero di bit trasmessi, il
che vuol dire anche aumentare il bitrate necessario per trasmettere la stessa informazione, perché più bit io
associo ad un campione, più bit devo trasmettere nel tempo di quel campione. (se ho un campione ogni
secondo e questo ha 1 bit, ho 1 bit al secondo; se ho un campione ogni secondo e questo ha 8 bit, ho 8 bit al
secondo; se ho un campione ogni 125 microsecondi e questo ha 8 bit, ho 64 kilobit al secondo). Più bit metto,
più bit al secondo ho bisogno per rappresentare e poi per trasmettere l’informazione.
Il campionamento e la quantizzazione mi portano ad avere quello che è il segnale numerico, cioè una
sequenza di valori numerici che rappresentano il mio segnale. Il segnale numerico viene manipolato un po’
come il segnale analogico, con tutta una serie di regole matematiche, di trasformazioni che portano dal
dominio del tempo discreto al dominio della frequenza discreta, e che permettono di fare delle operazioni
equivalenti a quello che noi faremo su un segnale analogico, cioè tramite degli algoritmi noi manipoliamo le
sequenze numeriche, per che rappresenta il segnale, per modificarlo, per migliorarne la qualità, per estrarre
le informazioni.
Esempi di applicazioni dell’ elaborazione numerica dei segnali:
- elaborazione dei segnali vocali
▪ immagazzinamento dei segnali (CD, DVD, MP3)
▪ trasmissione dei segnali (telefonia mobile)
▪ miglioramento di certe qualità di un segnale (ad esempio, l’intelligibilità della voce umana)
▪ sintesi di segnali che simulano quelli generati da un parlatore umano
▪ riconoscimento di frasi dette da un parlatore
▪ identificazione del parlatore
- elaborazione dei segnali video
▪ immagazzinamento dei segnali (DVD, JPEG, MPEG)
▪ trasmissione dei segnali (TV digitale terrestre, TV satellitare)
▪ mappe meteorologiche
▪ creazione di immagini mediche (TAC)
- elaborazione di segnali sismici
- elaborazione di segnali radar
In generale, i segnali a tempo discreto sono definiti rispetto a una variabile indipendente che assume solo
valori interi, genericamente indicati con la lettera 𝑛. Tali segnali sono quindi rappresentati da una sequenza
di numeri indicizzati dalla variabile temporale discreta 𝑛 → 𝑥(𝑛), 𝑥[𝑛], 𝑥 𝑛
. 𝑥(𝑛) è detto “numerico” (o
“digitale”) se assume solo ampiezze discrete.
1. 3 La trasmissione numerica
Per trasmettere i segnali numerici il segnale di solito non viene trasmesso così com’è nella sua forma
numerica, ma viene manipolato per poterlo adeguare alle esigenze di trasmissione e, soprattutto, per evitare
di sprecare risorse. Ci sono quindi una serie di operazioni che vengono effettuate per trasmetterlo. Viene
eseguita prima quella chiamata codifica di sorgente , ovvero prendo l’informazione numerica e la trasformo
in un’altra informazione numerica equivalente, possibilmente con lo stesso contenuto di informazione, ma
che occupa meno spazio. Lo scopo è quello di ridurre la ridondanza dell’informazione e, quindi, evitare di
trasmettere cose inutili. Il problema, però, è che un segnale numerico non ridondante è estremamente
vulnerabile ai problemi di trasmissione quindi ho bisogno di trasmettere un segnale ridondante; faccio, allora,
la codifica di canale , ovvero aggiungo informazione all’informazione trasmessa per aumentarne la
ridondanza e preservare l’informazione da eventuali errori di comunicazione. Tipicamente, la ridondanza
aggiunta è molto inferiore in quantità a quella tolta con la codifica di sorgente, quindi comunque si avrà un
guadagno, e, inoltre, la ridondanza aggiunta sarà funzionale alla mia capacità di rilevare e correggere i
disturbi. Questo può essere fatto in due modalità: i codici a blocco, cioè io ho un blocchi di bit elaborati
separatamente (sono usati ad esempio sui CD e i DVD) o i codici convoluzionali, cioè la codifica viene fatta su
sul flusso di bit. Una volta effettuata la codifica di canale, bisognerà trasformare questi segnali numerici in
grandezze analogiche da trasmettere sul canale fisico, che rimane un canale analogico. A questo punto si
rappresentato da 8 bit. Quindi, lo scopo della compressione, della codifica di sorgente, è quello di identificare
le ridondanze.
Esempio : abbiamo un alfabeto con tre simboli 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e una sequenza di 1000 caratteri generata dalla
sorgente. Il numero di occorrenze di 𝐴 è 500 , di 𝐵 è 250 e di 𝐶 è 250 , quindi: 𝑃(𝐴) = 0. 5 , 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐶) = 0. 25.
L’entropia della sorgente è:
𝐻 = 𝑃(𝐴) 𝑙𝑜𝑔
2
1
𝑃(𝐴)
2
1
𝑃(𝐵)
2
1
𝑃(𝐶)
= 0. 5 ∙ 𝑙𝑜𝑔
2
2 + 0. 25 ∙ 𝑙𝑜𝑔
2
4 + 0. 25 ∙ 𝑙𝑜𝑔
2
4 = 0. 5 + 0. 5 + 0. 5 = 1. 5
Quindi la sorgente può essere codificata con almeno 1.5 bit/simbolo. Usando codifiche diverse, si ha:
- codifica Huffman: A → “0”, B → “10”, C → “11”. In media, ho 1 ∙ 0.5 + 2 ∙ 0.25 + 2 ∙ 0.25 = 1.5 bit/simbolo
- codifica ASCII: A → “01000001”, B → “01000010”, C → “01000011”. In media, ho 8 bit/simbolo
- altra codifica: A → “00”, B → “01”, C → “10”. In media, ho 2 bit/simbolo
Quindi, la sequenza iniziale di 1000 simboli corrisponde a:
- 1 file di 8000 bit = 1000 bytes per codifica ASCII
- 1 file di 1500 bit = 188 bytes per codifica ottima (rapporto di compressione: 5.3)
- 1 file di 2000 bit = 250 bytes per altra codifica (rapporto di compressione: 4.0)
1. 4 La trasmissione sul mezzo fisico
L’ultimo punto della catena trasmissiva è la trasmissione sul mezzo fisico dei bit, che dovranno essere
associati a un segnale. Il ricevitore dovrà, poi, identificare dal segnale ricevuto qual è il gruppo di bit. A
seconda del mezzo trasmissivo e delle frequenze a disposizione ci sono due modalità: le codifiche di linea ,
che sono le modalità di trasmissione sui mezzi elettrici e ottici e che operano in banda base (frequenze basse),
e le modulazioni in frequenza , che sono le modalità di trasmissione sui mezzi elettrici, ottici e radio e che
operano in banda passante. Il segnale numerico è un segnale discreto nel tempo, il che significa che c’è una
cadenza temporale in cui io vado a gestire i simboli. Questa cadenza temporale deve essere comune al
trasmettitore e al ricevitore, cioè le entità coinvolte nella comunicazione devono operare alla stessa cadenza
temporale: devono essere sincronizzate. Questo problema della sincronizzazione va risolto sia a livello di bit ,
ovvero devo essere in grado di distinguere un bit l’uno dall’altro con la cadenza corretta, sia a livello di trama ,
cioè devo essere in grado di distinguere, eventualmente, la sequenza di bit (siccome i bit possono essere
prodotti a gruppetti, devo decidere quando inizia un gruppetto).
La cadenza temporale costante viene di solito prodotta tramite un circuito oscillatore, un quarzo, che vibra a
frequenza costante. Il problema è che questi circuiti sono imperfetti, nel senso che la frequenza può variare
rispetto alla frequenza nominale e può derivare nel tempo rispetto alla frequenza nominale. Quindi la
frequenza a cui opero non è quella nominale ma è una frequenza legata alla circuitistica e due apparati che
dicono di lavorare alla stessa frequenza in realtà potrebbero lavorare a frequenze che sono sensibilmente
diverse. Un altro problema è che, anche operando esattamente alla stessa frequenza, il trasmettitore e il
ricevitore devono trovarsi sulla stessa fase perché due sistemi che operano alla stessa frequenza potrebbero
benissimo essere sfasati e quindi operare in maniera non coerente l’uno con l’altro. Devo, quindi, avere un
accordo sia di frequenza sia di fase per sovrapporre correttamente le due sinusoidi e avere i massimi del
ricevitore corrispondenti con i massimi del trasmettitore. Per fare ciò, ho bisogno di avere un riferimento di
clock, che il trasmettitore può o trasmettere esplicitamente e separatamente, servendosi però di un canale
dedicato, o può includerlo nel segnale trasmesso. Bisogna tenere conto che tutto questo non avviene nel
mondo ideale ma avviene in un sistema dove c’è distorsione e c’è rumore, che non rendono facile riconoscere
quello che è stato ricevuto. Questi circuiti identificano le transizioni di stato del segnale, quindi avrò bisogno
di abbastanza transizioni di stato per riuscire a mantenere la sincronizzazione.
I bit trasmessi sono parte di informazioni a struttura di livello più alto (byte o trame) e, quindi, in una
sequenza di bit devo sapere quando cominciare a leggere i gruppi di bit. Il sincronismo di trama prevede che
ci siano delle sequenze particolari di bit che permettono al ricevitore di accorgersi che da lì in poi deve
cominciare a leggere in un certo modo. Quindi, delle sequenze di bit sono usate come delimitatori per
permettere al ricevitore, una volta che vede il delimitatore, di sapere che da lì in poi si leggeranno i bit a
gruppetti predefiniti.
Le codifiche di linea sono le tecniche per la rappresentazione di informazioni numeriche (digitali) mediante
segnali numerici su mezzi elettrici e ottici (mezzi adatti a segnali impulsivi, cioè in banda base). I diversi tipi
di codifica sono classificati in base ai livelli di tensione del segnale: unipolari, polari e bipolari.
La codifica unipolare è di fatto la codifica più semplice che uno può immaginare per una sequenza di bit. Essa
trasmette gli 0 e gli 1 dando la tensione 0 agli 0 e una tensione positiva agli 1. Il ricevitore andrà a guardare
il valore in un istante di tempo opportuno e, se vede un valore zero, allora riconoscerà il bit 0, se vede un
valore alto, allora riconoscerà il bit 1.
Questo tipo di codifica ha dei problemi. Essa è a valor medio non nullo, il che significa che ha una componente
continua. Questo vuol dire che c’è una trasmissione continua di energia sulla linea. Le componenti continue
non piacciono ai circuiti elettronici, perché le frequenze molto basse sono le stesse che sono coinvolte in un
certo senso nei circuiti di alimentazione che potrebbero essere disturbati. Quindi, i circuiti elettronici vanno
a filtrare le frequenze al di sotto dei 50 Hz per evitare i disturbi che potrebbero derivare dall’alimentazione,
ovvero vanno a filtrare la componente continua; quindi, si preferisce non trasmettere la componente
continua. L’altro problema è che, se io trasmetto lunghe sequenze di 0 o lunghe sequenze di 1, mantengo il
livello del segnale costante per lungo tempo e questo potrebbe impedire ai circuiti di sincronizzazione di
mantenere il sincronismo, perché i circuiti devono vedere delle transizioni del segnale: se il segnale rimane
sempre allo stesso livello si rischia di perdere la sincronizzazione. Nella trasmissione ottica lunghe sequenze
di 1 implicherebbero che la luce rimane accesa costante per lungo tempo e potrebbero portare al
sovraccarico dei mezzi di trasmissione. Quindi preferisco che non ci sia la luce costante ma che ci siano degli
impulsi.
Esempio :
Per la codifica polare , si assumono i valori di polarità inversa +1 e - 1, quindi un valore positivo e un valore
negativo. In questo modo, la media è nulla, quindi elimino il problema della continua. Ci sono tre varianti di
codifiche polari:
- NRZ (Non-Return-to-Zero): non c’è transizione su tensione nulla nel passaggio tra due bit consecutivi
- RZ (Return-to-Zero): transizione su tensione nulla tra due bit consecutivi
- Bifase (Manchester): ogni bit è rappresentato da due livelli di tensione di polarità inversa
La differenza tra NRZ e RZ sta nel fatto se il livello alto, positivo o negativo, viene mantenuto per tutta la
durata del periodo di simbolo o solo per una parte del periodo di simbolo. Se uso una codifica NRZ sono
ancora sensibile al problema delle codifiche unipolari, ovvero se lunghe sequenze di 1 o di 0 mantengono lo
stesso livello, rischiano di farmi perdere il sincronismo o mi danno problemi di sincronizzazione. Il vantaggio
di una codifica RZ è che, tornando a zero durante il tempo di simbolo, ho sempre delle transizioni, quindi, ho
sempre la capacità di identificare la frequenza e la fase a cui sto lavorando e sono in grado di mantenere
naturalmente e automaticamente la sincronizzazione. C’è un problema: le transizioni sono immediatamente
legate alla banda del segnale che sto usando, più transizioni ho, più elevata è la banda a cui opero. Un segnale
RZ di fatto richiede una larghezza di banda doppia rispetto ad un segnale NRZ. Le bifase, invece, sono delle
codifiche in cui uno specifico bit è rappresentato dal passaggio da una transizione a un’altra. Il vantaggio di
una codifica di tipo bifase è il fatto che ho automaticamente la capacità di avere la sincronizzazione implicita
nella sequenza di bit. Lo svantaggio è legato all’aumento della banda, perché effettivamente si opera a una
frequenza doppia rispetto alla frequenza di simbolo.
Esempio :
0 0 0
NRZ RZ Bifase
Queste modulazioni valgono non solo per simboli binari, ma anche per gruppi di simboli.
LA QAM ( Quadrature Amplitude Modulation ) è una modulazione di ampiezza e fase molto usata (quasi tutte
le trasmissioni numeriche che vengono fatte oggi giorno prevedono un QAM). In sostanza, modulo il segnale
sia in ampiezza che in fase. Questo corrisponde grosso modo ad avere due segnali, uno in fase e uno in
quadratura, ovvero, la somma di un coseno e di un seno (combino una componente coseno e una
componente seno). Il coseno lo moltiplico per un coefficiente, che è un simbolo, e il seno lo moltiplico per un
altro coefficiente, che è un altro simbolo. Quindi, la sequenza di bit viene divisa in simboli di 2 bit, 𝑎 𝑘
e 𝑏
𝑘
, e
questi sono usati per modulare i segnali in quadratura (𝑎 𝑘
𝑐𝑜𝑠 ( 2 𝜋𝑓
𝑐
𝑡) + 𝑏
𝑘
𝑠ⅈ𝑛 ( 2 𝜋𝑓
𝑐
Una modalità di rappresentazione del QAM è tramite quella che viene chiamata la
costellazione di segnali (o la costellazione di simboli). La costellazione è una distribuzione
in un piano fase quadratura, che è assimilabile al piano complesso, in cui vado a mettere
i punti che rappresentano i segnali. Ho due informazioni: l’ampiezza del segnale, che è
identificata dalla distanza del punto dall’origine, e la fase. Nella mia combinazione gli 𝑎 𝑘
e 𝑏 𝑘
possono non essere semplicemente 0 e 1 , ma possono rappresentare più
combinazioni di bit e, di conseguenza, anche più fasi. Quindi, io posso mettere più punti operando a ampiezze
diverse e a fasi diverse. In pratica, la logica di questo tipo di codifica è quella di associare i vari segnali ai punti
di questo piano e questa associazione deriva dall’aver combinato opportunamente delle ampiezze con delle
fasi. Ogni gruppetto di bit viene trasmesso in un tempo di simbolo, quindi, più bit associo alla combinazione
di segnali, più velocemente posso trasmettere i dati perché in un tempo ho costruito un segnale più
complicato in cui ho impaccato più bit. Aumentare il livello della costellazione significa aumentare il bitrate
di trasmissione. Questo non lo posso fare all’infinito perché l’ampiezza non può aumentare all’infinito.
Aumentando il numero di bit per simbolo e il numero di livelli, posso ottenere modulazioni più efficienti
(maggiore bitrate). Non posso aumentare il numero di livelli a piacimento. Infatti, l’ampiezza è proporzionale
all’energia impiegata per la trasmissione (non posso aumentarla indiscriminatamente) e, a parità di energia
media, i punti della costellazione si avvicinano (è più difficile identificare il punto esatto ricevuto in presenza
di disturbi). All’aumentare della complessità del mio del mio sistema, se non aumento l’energia o non
diminuisco il rumore, aumenta la probabilità di errore. L’associazione tra simboli e bit è importante per
ridurre l’effetto di errori nella ricezione.
Se il canale fosse ideale, potrei aumentare a dismisura il numero di livelli e di bit per simbolo, aumentando
la capacità di trasmissione. Il canale reale è affetto da rumore e da altri disturbi (il ricevitore non è in grado
di distinguere perfettamente tra livelli adiacenti il che può portare errori). Il Teorema di Shannon-Hartley
dice che, a prescindere dalla codifica numerica adottata, la massima capacità trasmissiva teorica è uguale alla
banda del canale per il logaritmo in base 2 di uno più il rapporto segnale-rumore (SNR: Signal-to-Noise Ratio).
𝐶
𝑚𝑎𝑥
= 𝐵 log
2
( 1 + 𝑆𝑁𝑅)
Questa formula dice che per un canale che è soggetto a rumore, cioè qualsiasi canale, la banda che io riesco
a tenere come bitrate non può superare un multiplo prefissato della banda in Hertz del canale trasmissivo.
C’è una proporzione diretta fra la banda di frequenza del canale e la capacità trasmissiva in bit al secondo del
canale.
Esempio : Canale telefonico, 4000 Hz, SNR = 40 dB
𝐶
𝑚𝑎𝑥
= 4000 ∙ log
2
( 1 + 10000 ) = 53150 bit/s
Esempio : Linea ADSL, 1 MHz, SNR= 40 dB
𝐶
𝑚𝑎𝑥
= 1000000 ∙ log
2
( 1 + 10000
) = 13 bit/s
II. AUDIO E VIDEO
Suoni e immagini sono le principali sorgenti analogiche di informazione che vogliamo trasmettere in forma
numerica.
2.1 Informazione audio
La voce è la forma di base primaria di scambio di informazioni. Però, l'informazione vocale ha la limitazione
che arriva al massimo ad una distanza legata all’attenuazione della voce e alla velocità di propagazione del
segnale e, quindi, per poterla trasferire a distanze superiori bisogna convertirla in una forma elettrica e
trasportarla in forma elettrica. Il primo passo di questa conversione e, in generale, di qualsiasi conversione
analogico numerica, è l'utilizzo di dispositivi che trasformano una grandezza fisica in una grandezza elettrica
chiamati trasduttori. L'audio è la propagazione di onde di pressione che si traduce nella compressione e nella
vibrazione dell'apparato uditivo umano che, a sua volta, viene trasformato in impulsi elettrici del cervello che
vengono associati al suono e interpretati. Nel vuoto il suono non si propaga, ha bisogno di un mezzo
trasmissivo per essere propagato. Il microfono funziona intorno all'idea che esiste un componente
elettronico che cambia un suo parametro elettrico, la resistenza o la capacità, in base alla pressione che lo
colpisce. Questi cambiamenti di resistenza vanno a indurre un cambiamento di corrente nel circuito, che
viene gestito, spostato, modificato, trasferito, ed è la rappresentazione analogica del segnale vocale. La
conversione avviene facendo muovere una membrana per mezzo di un solenoide attraversato dalla corrente
modulata dall’informazione audio precedentemente convertita in forma elettrica. Il segnale elettrico
all’uscita dal microfono contiene la stessa informazione del segnale acustico originario. Dobbiamo farne
l’analisi spettrale per comprendere quali siano le sue caratteristiche e per poter determinare un’opportuna
modalità di trasmissione. La banda del segnale vocale , così come la DSP (densità spettrale di frequenza),
dipendono da chi parla. Nella banda 300 Hz - 3400 Hz si concentra la maggior parte dell’informazione (e della
potenza del segnale). Il telefono analogico trasmette per mezzo di un doppino in rame un segnale elettrico
avente la predetta banda. L’informazione al di fuori della banda telefonica caratterizza meglio il parlatore ed
è indispensabile per la corretta percezione del canto. I dischi vinilici ed i nastri magnetici permettono di
memorizzare in forma analogica e riprodurre un segnale di banda compresa fra 20 Hz e 14 kHz (Alta fedeltà,
High Fidelity, Hi-Fi). Gli strumenti musicali emettono suoni a frequenze superiori a 14 kHz. I sistemi CD-audio
permettono di riprodurre fedelmente segnali fra pochi Hz e 20 kHz, ben oltre la capacità di percezione
dell’orecchio umano. Quindi abbiamo di fatto tre categorie di suoni: la voce, il suono musicale e in generale
qualsiasi fenomeno sonoro. Per trasformare queste informazioni analogiche in un'informazione numerica
devo numerizzare il segnale sonoro.
La numerizzazioe del segnale vocale è la procedura con cui si codifica e si decodifica il segnale. Questa
procedura può essere fatta in maniera agnostica, cioè può essere definita a prescindere dal fatto che siamo
di fronte alla voce umana e alle caratteristiche della voce umana, oppure può essere fatta basandosi sulla
conoscenza delle caratteristiche specifiche della voce e, quindi, può essere ritagliata per l'apparato di
fonazione uditivo.
Il PCM ( Pulse Code Modulation ) è una procedura di conversione analogico numerica. Nella telefonia
numerica la voce è analogica dal nostro telefono fino alla centrale, e poi in centrale viene convertita in
numerico con il processo del PCM, cioè viene campionata e viene quantizzata. Poi viene trasportata in forma
numerica e presso la centrale del ricevitore viene convertita dalla forma numerica alla forma analogica che
viene poi trasmessa sulla parte terminale del collegamento verso il ricevitore. Quindi il PCM è l’insieme dei
processi di campionamento e quantizzazione in relazione al segnale vocale. La quantizzazione può essere
lineare o non lineare, ovvero può essere fatta con intervalli uguali o può essere costruita con intervalli di
ampiezza variabile (PCM companding ). La voce ha una banda fra 3 00 Hz e 3.400 Hz, per questo motivo il PCM
vocale prevede un campionamento a 8 kHz: l'ipotesi di partenza è che la banda del segnale vocale sia inferiore
a 4 kHz e, quindi, il campionamento avvenga una frequenza che è il doppio di 4 kHz, cioè 8 kHz. Per quel che
riguarda il suono, e quindi i CD musicali, la scelta che è stata fatta è quella di ipotizzare una frequenza di
campionamento di 44 kHz. I CD usano una quantizzazione lineare, 16 bit per campione per canale, e questo
