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Integrali doppi
1- Calcolo dello Jacobiano
Data una funzione, costruisco una matrice che ha per righe i gradienti
delle componenti della funzione. Essa è detta matrice Jacobiana.
Lo Jacobiano è il determinante della matrice Jacobiana e serve per il
cambiamento di coordinate nel calcolo degli integrali multipli.
Esempio 1.1
Voglio calcolare lo Jacobiano della funzione parametrizzata in
coordinate polari:
{x = ρcosθ
y = ρsinθ
1-Trovo i gradienti delle componenti:
grad x(ρ,θ)= (cosθ,-ρsinθ)
grad y(ρ,θ)= (sinθ,ρcosθ)
2-Compongo la matrice Jacobiana:
(cos(𝜃) (− 𝜌)sin(𝜃)
sin(𝜃)𝜌cos(𝜃))
3-Ne calcolo il determinante:
|J|=ρcos²(θ)+ρsin²(θ)=ρ
Lo Jacobiano delle coordinate polari è: ρ
Lo Jacobiano delle coordinate sferiche è: ρ²sinθ
Lo Jacobiano delle coordinate cilindriche è uguale a quello delle
coordinate polari: ρ
