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DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA
hi
= FREQUENZEASSOWE , H^
=
= ehi , k = numero di modalità del carattere
fi= FREQUENZE (^) RELANUE , i= 2 fi =^1
Ni= (^) FREQUENZE ASSOWT CUMUIATE (^) , Ur
= i = 1 hi
= n Wi= AMPIEZZA DEUA CIASSE = bi-Ri-
ni Fi= FREQUENZE (^) RELATUE CMULAT , FR= 1 Ri^
= DENSITA DELIA^ CLASSE
= Wi
RAPPORTI
· Di composizione (diparte altutto)^
: Mahmat
n Gemmine · DI COESISTENZA^ /relazione tra die^ modalità) : n maschi ri nate in un anno
·DI DERIVAZIONE /Genomeni di (^) flusso in cambiamento) : quoziente
di popolazione
: ad (^) inizio anno nataltà
VALORI (^) DI SINTESI
calcolabile per
- ere · MODA :^ la modalità a si corrisponde
la frequenza (assoluta^
o (^) relativa massima · ogni
carall
· MEDIANA :^ Il^ valore de^ occupa
il valore (^) centrale nella successione (^) ordinata dei valori ,^ ae iuerra attri
quantitativi
· senédispari
: Att ,
se ne pari : (^) e
&
·per
classi intervallari
: trow la^ classe mediane , Xen Xi-et ni
(Xi-Xie
· PERCENTE , QUARTUE e TRZilE (^) : valori che coincidono con un certo frazionamento
, (^) generatzighed
e
solo per caratteri
MEDIE
- quantital - MEDIEPOTENZIAT-P I= I
vi (^) DI ORDINE P n x · MEDIAARITMEMA
: N
= 1 =^1 n^
· per distribuzioni di frequenza :
=
= ~^
X (^) : fi
~ K k
p
= 1
per
distribuzioni per
classi :
= i = 2
Xi
- hi = = = 2 Xifi^ ,^ con^ Ni^ walore^ centrale^ delle^ dasse n
1
· MEDIA (^) ARMONIC: -1M(x) = _
=
in state
utilizzato (^) per · fenomeni
di tempe
sp =^ = 1
conserva l'identitai^ del prodotto utilizzato (^) per Genomeni^ di · MEDIA (^) GEOMERICA
: oM(X)
= (X)h
: Zin
·perfenomeni^ in progressione
I natura moltiplicativa
n - 1 minimo
: 0
J= 1
CONCENRAZIONE DI GINI
·
Pe deter^ i R
=
(P
pj
n
pj
MASSIMO
: 3 =^1 I
= (^1) -
Us=^ la^ cumulata (^) fino a 5 dell'ammontare
del carattere^ posseduti date (^) IUnita
· pg =
diciamo che^ B^ e^ indipendente da^ A se tutte^ le^ distribuzioni^ condizionate^ di corrispondenti
alle
CONNESSIONE
S modalita (^) di A sono simili fra loro (^) , ossia hanno frequenze
relative uguali
uA
· INDICE CHI QUADRATO
: 22
= i = 2
Cha-nial"
s
D ,
Di ,
= (^4) Ri . 0 . No , h
ne
i
1n
· INDICE DI^ CONANGENZA^ QUADRATCO^
: U = & E
0 , U-1)(V-1)-
· INDICE DITCHUPROV
: T
=
-> 10 , 2 :
INDIPENDENZA IN MEDIA
quando almeno un carattere è quantitativo
· I e indipendente in media da A se la media dix^ non varia al^ variare di A
U
· MEDIE PARZIALO CONDIZIONATE
: Es
= i =
:- hi,
a
= i= 2
Ri. Dich
· v
= i = 2
bi-Dir
no , 1 noch^ no , v
a Xi . Di (^) , 0
·MEDIA (^) GENERALE : X
= i = 1 n
·INDICE G
=
Be dove^ DEU .TOT=
i =
"
(xi-E) . ni (^) ,
,
DEU (^). RA= h=^ =" -e) oh ,
DEV . ENRO = i = e"a=
(Xi-ka) . Di ,
↓ ↓
st
0 , 11
se na a zero c'è^ se^ na^ azero^ c'è
indipendenza
massima dipendendenza
CODEVIANZA
: misura se die (^) Genomeni hanno relazione diretto o inversa
(0d(x, b)^
=
==
2 s
= 3 =
FORMULA DEFINITORIA FORMULA CALCOLATORIA
REGRESSIONE LINEARE due caratteri
quantitativi
· yj = bo+b1X5+ (^) es ->^ PUNT OSSERVAT
L
sta
·
y*^
= bo+b2xs < (^) PUNTORIC
A variabile^ esplicativa
variabile rispo
· indipendente o dipendente
CODEUCX , y)
COVAR(X , y) · bo
= 5
· b
= DEV(x) VAR(X)
·
=
es
= 0
m^ -
yj
2 I
n
(^45) -y-
2
scomposizione
della devianza (^) :
Y-yc = I
= 1
y
Ys- y I = 1 DEV
. REG = bI . DEVE ↓ ↓ N
DEV TOT DEU REG DEVDISP
indice
di
determinazione lineare (^) : R^
=
DEVREG
= 1-
DEV. DISP
indipendenza massima (^) dipendenza
· indipendenza in^ distribuzione implica indipendenza^
in media , Indipendenza
in media
implica indipendenza
lineare, il contrario (^) non è vero !
INDICE DI^ CORRELAZIONE V^ :
CODEV (X^ , y) COVAR(X^ , y)
verevaris"
= R =
V br =
=
DEVEDEr(y) be^ r (^) -ti 1 ,
1
v = - 101 se^ tutt^ , (^) punt sono^ sulle^ retta^ e^ R^
= 1
r
= br
= R =
DEV. REG
v
= 0 Se R
= 0 DEVY
2 PROF. CINZIA VIROLI
- Propriet`a della media aritmetica
(1) Identit`a di somma:
P
n
j=
x j = nx¯
(2) Nullit`a della somma degli scarti dalla media aritmetica:
P
n
j=
(x j ¯x) = 0
(3) Minimo della somma degli scarti al quadrato: P n
j=
(x j x¯)
2 = min
(4) Associativit`a (per dati raggruppati):
¯x =
G X
g=
¯x g n g
n
x¯ 1 n 1 +... + ¯x G n G
n
(5) Equivarianza della media aritmetica rispetto a trasformazioni lineari (translazioni a e cambia-
menti di scala b):
x
⇤
j
= a + bx j ) x¯
⇤ = a + bx¯
- Misure di variabilit`a
Caratteri qualitativi (o categorici)
- Eterogeneit`a di Gini E 1
P
k
i=
f
2
i
(valore minimo 0, valore massimo 1 1 /k)
P
k
i=
f i log f i (valore minimo 0, valore massimo log k)
Caratteri quantitativi
- Range xmax xmin
- Range (o di↵erenza) interquartile: Q 3 Q 1
- Somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica o devianza
Dev(X) =
n X
j=
(x j x¯)
2
n X
j=
x
2
j
n¯x
2
V ar(X) = s
2
x
Dev(X)
n
- Deviazione standard o scarto quadratico medio
SD(X) = s x
p
V ar(X)
- Devianza per una distribuzione di frequenza
Dev(X) =
k X
i=
(xi x¯)
2 ni =
k X
i=
xi
2 ni nx¯
2
- Varianza per una distribuzione di frequenza
V ar(X) = s
2
x
n
k X
i=
(x i x¯)
2 n i
n
k X
i=
x i
2 n i x¯
2
k X
i=
(x i x¯)
2 f i
k X
i=
x
2
i
f i ¯x
2
- Deviazione standard o scarto quadratico medio per una distribuzione di frequenza
SD(X) = s x
v
u
u
t
n
k X
i=
(x i x¯)
2 n i
v
u
u
t
n
k X
i=
x i
2 n i ¯x
2
v
u
u
t
k X
i=
(x i ¯x)
2 f i
v
u
u
t
k X
i=
x i
2 f i x¯
2
CV =
s x
x ¯
STATISTICA I FORMULARIO 3
- Indice di concentrazione di Gini
Un carattere quantitativo e trasferibile X e detto equidistribuito se tutte le n unita statistiche
possiedono lo stesso ammontare del carattere della variabile X, che `e x j = ¯x per ogni j. Un
carattere X non equidistribuito `e detto concentrato. La situazione di massima concentrazione
si ha quando una singola unit`a statistica possiede l’ammontare totale del carattere e le altre
unit`a non possiedono nulla, ovvero x (1) = x (2) = · · · = x (n 1) = 0 e x (n)
P
n
j
x j , dove x (j)
indica il valore di X per la j sima unit`a statistica nulla successione ordinata crescente delle n
osservazioni.
Se x (1)
- x (2)
- · · · + x (j) e l’ammontare del carattere X posseduto dalle prime j unita pi`u
povere, q j = (x (1)
- x (2)
- · · · + x (j) )/nx¯ `e la corrispondente proporzione dell’ammontare totale.
Indicando con p j = j/n la frequenza relativa cumulata delle prime j unit`a statistiche, l’indice di
concentrazione di Gini `e definito come
R =
P
n 1
j=
(p j q j
P
n 1
j=
p j
Poiche il denominatoree il valore massimo che teoricamente il numeratore pu`o raggiungere (nella
situazione di massima concentrazione) R pu`o essere considerato come un rapporto di parte al
tutto e pertanto varia nell’intervallo [0 1]: `e 0 nel caso di equidistribuzione e 1 nel caso di
massima concentrazione.
- Scomposizione della devianza
- Per dati suddivisi in gruppi, la deviazione totale dalla media di un carattere quantitativo X si
scompone nella devianza entro e devianza tra:
Dev(X) = Dev(X) Entro
- Dev(X) T ra o equivalentemente in inglese T SS = W SS + BSS
Dev(X) Entro
= W SS =
G X
g=
ng X
j=
(x jg x¯ g
2
G X
g=
s
2
g
n g
Dev(X)T ra = BSS =
G X
g=
(¯xg x¯)
2 ng
dove n g e s
2
g
sono la numerosit`a e la varianza del gruppo g-simo.
- Misure di associazione fra due caratteri
Data una distribuzione bivariata
b 1... bh... bv
a 1 n 11
... n 1 h ... n 1 v n 10
a i n i 1
... n ih ... n iv n i 0
a u n u 1
... n uh ... n uv n u 0
n 01
... n 0 h ... n 0 v n
possiamo misurare l’associazione fra i due caratteri come distanza da una data struttura di indipendenza.
Indipendenza in distribuzione
Due caratteri A e B (quantitativi oppure qualitativi) sono detti (mutualmente) indipendenti in di-
stribuzione se le loro distribuzioni condizionate sono simili fra loro e simili alla marginale:
n ih
n 0 h
n i 0
n
STATISTICA I FORMULARIO 5
- Coe ciente angolare ed intercetta della retta di regressione:
b 1
Codev(X, Y )
Dev(X)
s xy
s
2
x
b 0 = y¯ b 1 x¯
Codev(X, Y ) =
n X
j=
(x j x¯)(y j y¯) =
n X
j=
x j y j nx¯y¯
Covar(X, Y ) = s xy
P
n
j=
(x j x¯)(y j y¯)
n
P
n
j=
x j y j
n
x¯¯y
Inoltre, nel contesto della indipendenza lineare, le quantit`a seguenti giocano un ruolo importante:
- Coe ciente di correlazione lineare
r =
Codev(X, Y )
p
Dev(X)Dev(Y )
s xy
sxsy
p
b 1 yx b 1 xy = b 1
s x
sy
- Scomposizione della devianza totale di Y in devianza di regressione e devianza residua o di di-
spersione
Dev.Reg =
n X
j=
(y
⇤
j
y¯)
2 = b
2
1
Dev(X)
Dev.Disp =
n X
j=
(y j y
⇤
j
2
n X
j=
e
2
j
Dev(Y ) = Dev.Reg + Dev.Disp
- Indice di determinazione lineare
R
2
Dev.Reg
Dev(Y )
Dev.Disp
Dev(Y )
= r
2
