Testo valevole per tutti i seguenti indirizzi: LI02, LI03, LI15, LI1S, LI22, LI23, LI31, LI32, LIA2, LIAO, LIB2, LIC2, LID2, LII2, LII3, LII4, LIIS, LIS2, EA02, EA Disciplina: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 quesiti del questionario. PROBLEMA 1

Si consideri 𝑓𝑎,𝑏(𝑥)^ =

𝑎𝑥^3 +𝑏 𝑥^2

, con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.

a) Determinare i valori dei parametri in modo che la retta 𝑡, di equazione 7 𝑥 + 𝑦 − 12 = 0 , sia

tangente al grafico di 𝑓𝑎,𝑏(𝑥) nel suo punto 𝑃 di ascissa 𝑥 = 1.

Si ponga, d’ora in avanti, 𝑎 = 1 e 𝑏 = 4.

b) Studiare la funzione 𝑓(𝑥) =

𝑥^3 + 4 𝑥^2

e tracciarne il grafico 𝛾. Scrivere l’equazione dell’ulteriore retta

tangente alla curva 𝛾 passante per 𝑃.

c) Al variare del parametro reale 𝑚, determinare il numero di intersezioni tra la retta di equazione

𝑦 − 5 = 𝑚(𝑥 − 1 ) e la curva 𝛾.

d) Sia 𝑆(𝑘), con 𝑘 >

3 2

, l’area della regione finita di piano compresa tra la curva 𝛾, il suo asintoto

obliquo, la retta 𝑡 e la retta di equazione 𝑥 = 𝑘. Calcolare il lim

𝑘→+∞

𝑆(𝑘), fornendo

un’interpretazione geometrica del risultato ottenuto. PROBLEMA 2 «All’inizio e alla fine, abbiamo il mistero. […] A questo mistero la matematica ci avvicina, pur senza penetrarlo». (E. De Giorgi)

Si consideri la famiglia di funzioni 𝑓𝑛(𝑥) = √𝑥^2

𝑛

− √𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 1 , con 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 > 1 e

a) Verificare che, qualunque sia il valore di 𝑛, la funzione 𝑓𝑛 non è derivabile nel punto di ascissa

𝑥 = 0. Determinare il valore di 𝑛 in corrispondenza del quale il grafico di 𝑓𝑛 presenta un punto

angoloso. Per opportuni valori dei parametri 𝑎, 𝑏, il grafico 𝛼, in figura, rappresenta la funzione

𝑓 2 (𝑥) = |𝑥| − √𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 1. Determinare i parametri 𝑎 e 𝑏, considerando che 𝑓 2 è definita in

[− 1 ; 1 ] e che il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Seconda prova scritta

Ministero dell’istruzione e del merito

A002 - ESAME DI STATO CONCLUSIVO DEL SECONDO CICLO DI ISTRUZIONE

Testo valevole per tutti i seguenti indirizzi: LI02, LI03, LI15, LI1S, LI22, LI23, LI31, LI32, LIA2, LIAO, LIB2, LIC2, LID2, LII2, LII3, LII4, LIIS, LIS2, EA02, EA Disciplina: MATEMATICA

Si ponga, d’ora in avanti, 𝑎 = − 1 , 𝑏 = 0.

b) Studiare la funzione 𝑔(𝑥)^ = |𝑥|^ + √ 1 − 𝑥^2 , verificando che non è derivabile negli estremi del

dominio e nel punto di ascissa 𝑥 = 0. Indicare con 𝛽 il suo grafico e tracciare la curva

c) La retta 𝑟, di equazione 𝑥 = 𝑘, con − 1 < 𝑘 < 1 , interseca 𝛾 nei punti 𝑃 e 𝑄. Dimostrare che la

misura del segmento 𝑃𝑄 è massima quando 𝑟 è asse di simmetria di 𝛾.

d) Verificare che la funzione 𝐻(𝑥)^ =

1 2

(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)^ + 𝑥√ 1 − 𝑥^2 ) è una primitiva della funzione

ℎ(𝑥)^ = √ 1 − 𝑥^2. Con il metodo che si ritiene più opportuno, calcolare l’area della regione finita

di piano delimitata da 𝛾.

«Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle: le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c’è posto perenne per la matematica brutta». (G. H. Hardy)