Scarica Serie, Derivate e Integrali e più Dispense in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity!
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Serie numeriche
L’esempio visto mostra che 1 2
Più precisamente la costruzione geometrica che ab- biamo fatto mostra che 1 2
2 n^
2 n^
Esempio 1 Abbiamo allora che
n→^ lim+∞
^1 2
2 n
= (^) n→lim+∞
1 − 1 2 n
(^) = 1.
Potremmo allora scrivere 1 2
Non sempre però sommare infiniti numeri (anche se diventano sempre più piccoli) ha senso.
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Consideriamo la somma infinita:
1 +
ed osserviamo che
1 +^12 +^13 +^14 ︸ ︷︷ ︸ > 2 14 = (^12)
+^15 +^16 +^17 +^18 ︸ ︷︷ ︸ > 4 18 = (^12)
+^19 + 10 1 + 11 1 + 12 1 + 13 1 + 14 1 + 15 1 + 161 ︸ ︷︷ ︸ > 8 161 = (^12)
1+^12 +^12 +^12 +···. Dato che pur di sommare abbastanza addendi la quantità 1 +
supera qualunque numero reale. Lo stesso deve fare la quantità 1 +
Diamo ora alcune definizioni. Consideriamo una generica successione di numeri reali an e associamo ad an una nuova successione sn nel seguente modo:
s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3 s 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ... sn = ∑n k=
ak.
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Esempio 5 Consideriamo an = (^) n(n^1 +1). Allora
s 1 =
s 2 =
.^2 ·^3
sn =
n (n + 1)
Poiché (^) n(n^1 +1) = (^) n^1 − (^) n+1^1 si ha
sn =
n
n + 1 = 1 −
n + 1
Definizione 6 Data una successione an siano sn le sue somme parziali, ossia sn = a 1 + a 2 + · · · + an. Se (^) n→lim+∞ sn = S (ossia esiste finito) si dice che la serie (^) +∑∞ n=1 an converge ed ha per somma S_. Si scrive anche_ +∑∞ n=1 an^ =^ S. Esempio 7 La serie di Mengoli +∑∞ n=
n (n + 1)
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
converge ed ha per somma 1_. Infatti_
n→^ lim+∞ sn^ =^ n→lim+∞
1 − 1 n + 1
(^) = 1
Definizione 8 Se
n→^ lim+∞ sn^ =^ ±∞ si dice che la serie +∑∞ n= an
diverge a ±∞.
Definizione 9 Se
n→^ lim+∞ sn non esiste si dice che la serie +∑∞ n= an
è irregolare.
Esempio 10 La serie +∑∞ n=1 log
^ n^ + 1 n
(^) = +∑∞ n=1 log
1 +^1 n
diverge a +∞. Infatti
n→^ lim+∞ sn^ =^ n→lim+∞ log (n^ + 1) = +∞
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Dimostrazione. Indichiamo con sn le somme par- ziali della serie. Allora
n→^ lim+∞ sn^ =^ S. Poiché sn = a︸ 1 + a 2 + (^) ︷︷· · · + an− (^1) ︸ =sn− 1
abbiamo an = sn − sn− 1 e quindi
n→^ lim+∞ an^ =^ n→lim+∞ (sn^ −^ sn−^1 ) =^ S^ −^ S^ = 0.
Abbiamo quindi dimostrato che +∑∞ n=1 an^ convergente^ =⇒^ n→lim+∞^ an^ = 0 ⇐ 6 =
Il viceversa non è invece vero. Ad esempio la serie +∑∞ n= log
^ n^ + 1 n
soddisfa la condizione
n→^ lim+∞ log
1 +^1 n
(^) = 0
però non converge.
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Esempio 15
+∑∞ n=
n + 2 n + 3 non converge, infatti
n→^ lim+∞
n + 2 n + 3
Esempio 16
+∑∞ n=
n^2 potrebbe convergere infatti
n→^ lim+∞
n^2
(Effettivamente questa serie converge e si ha
+∑∞ n=
n^2
π^2 6 .) Consideriamo ora la serie +∑∞ n= qn
detta serie geometrica di ragione q (∈ R). Le sue somme parziali sono
s 0 = q^0 = 1 s 1 = 1 + q s 2 = 1 + q + q^2 ... sn = 1 + q + q^2 + · · · + qn.
Allora
qsn = q + q^2 + q^3 + · · · + qn+
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
e quindi
n→^ lim+∞ sn^ =^ n→lim+∞
1 − qn+ 1 − q
e la serie diverge a +∞. Infine se q 6 − 1 il limite
n→^ lim+∞ qn+ non esiste e la serie è irregolare. Riassumendo
+∑∞ n= qn^ =
1 1 −q |q|^ <^1 diverge q > 1 irregolare q 6 − 1
Esercizio 17 Calcolare la somma della serie +∑∞ n=
^2 3
^ n.
In questo caso q = 23 < 1 e quindi la serie converge. La somma è data da
S =
Esercizio 18 Calcolare la somma della serie +∑∞ n=
^2 3
^ n.
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Si ha +∑∞ n=
^2 3
^ n = +∑∞ n=
^2 3
^ n − 1
= 2.
Esercizio 19 Calcolare la somma della serie +∑∞ n=
^2 3
^ n.
Esercizio 20 Poiché +∑∞ n=
^2 3
n
^2 3
50
^2 3
51
^2 3
52
^2 3
53
=
^2 3
^50
1 +^2 3
^2 3
^2 +
^2 3
^3 + · · ·
^2 3
^503.
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Criterio del confronto
Teorema 23 Siano 0 6 bn 6 an_. Se_
+∑∞ n= an conver- ge allora converge anche
+∑∞ n=1bn_. Viceversa se_^
+∑∞ n=1bn diverge allora anche
+∑∞ n=1an^ diverge.
Dimostrazione. Siano
sn = a 1 + a 2 + · · · + an,
tn = b 1 + b 2 + · · · + bn.
Poiché bn 6 an si ha tn 6 sn. Se
+∑∞ n=1an^ converge allora sn è limitata e quindi anche tn lo è. Per il precedente teorema allora
+∑∞ n=1bn^ converge. Viceversa supponiamo che
+∑∞ n= bn diverga, per quan- to appena dimostrato
+∑∞ n= an non può convergere e quin- di diverge.
Esempio 24 Consideriamo le serie
+∑∞ n= log
1 +^1 n
(^) e +∑∞ n=
n
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
poiché log (1 + x) è concava si ha log (1 + x) 6 x
0
Poiché ∑+ n=1∞ log
( 1 + (^) n^1
) diverge anche ∑+ n=1 ∞ n^1 di- verge. Si potrebbe dimostrare che posto
sn = 1 +
n allora sn = log (n) + γ + o (1). La costante γ = 0. 57721566490... è detta costan- te di Eulero–Mascheroni. Si sospetta che γ /∈ Q ma ad oggi nessuno lo ha dimostrato.
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Esempio 27 Consideriamo +∑∞ n=
n^2 poiché (^) n^12 ∼ (^) n(n^1 +1) questa serie ha lo stesso carattere della serie di Mengoli +∑∞ n=
n (n + 1) e quindi converge.
Esempio 28 Consideriamo +∑∞ n=
n n + 1
2 n^
Poiché n n + 1
2 n^
2 n e (^) +∞ ∑ n=
2 n converge (perché è una serie geometrica di ragione 1 2 ), anche la serie data converge.
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Serie armonica generalizzata Abbiamo visto che la serie armonica +∑∞ n=
n diverge e che +∑∞ n=
n^2 converge. Poiché 1 nα^
n se α 6 1 , per il criterio del confronto +∑∞ n=
nα diverge per α 6 1. Similmente 1 nα^
n^2 se α > 2 e quindi +∑∞ n=
nα converge per α > 2. Non sappiamo però cosa succede per 1 < α < 2. Teorema 29 La serie +∑∞ n=
nα^ (log n)β converge per α > 1 e per α = 1 e β > 1_. Per tutti gli altri valori di_ α e β diverge.
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
Esercizio 33 Calcolare la somma
+∑∞ n= log
( 1 − (^) n^12
)
R: − log 2_._
Esercizio 34 Calcolare la somma di +∑∞ n=
n (n + 2)
Poiché (^) n(n^1 +2) = (^12)
( 1 n −^
1 n+
) abbiamo
sn=
^1 1
(^) +^1 2
^1 2
(^) +^1 2
^1 3
(^) +
· · · +
^1 n − 1
n + 1
(^) +^1 2
^1 n
n + 2
Quindi s n =^12
( (^1) 1 −^
1 3 +
1 2 −^
1 4 +
1 3 −^
1 5 +^ · · ·^ +^
1 n − 1 −^
1 n + 1 +
1 n −^
1 n + 2
)
=^12
( (^1) 1 +
1 2 −^
1 n + 1 −^
1 n + 2
) . Pertanto
n→^ lim+∞ sn^ =
1 +^1 2
(^) =^3 4
Esercizio 35 Calcolare la somma delle serie +∑∞ n=1 (−1)
n 3 n+ 22 n^
Esercizio 36 Dimostrare che
0 , 99999 · · · = 1
Attenzione: questi appunti sono solo una traccia degli argomenti svolti a lezionee non devono sostituire il lavoro di confronto con un buon libro di testo.
È sufficiente osservare che
0 , 999999 · · · =
Teorema 37 (Criterio del rapporto) Sia an > 0 e supponiamo che esista
n→^ lim+∞
an+ an
= `.
Allora la serie (^) +∞ ∑ n= an
converge se < 1 _e diverge se_ > 1_._
Osservazione 38 Se ` = 1 il criterio del rapporto non dice nulla.
Esempio 39 Consideriamo la serie +∑∞ n=
n!
Applichiamo il criterio del rapporto:
n→^ lim+∞
1 (n+1)! 1 n!
= (^) n→lim+∞ n! (n + 1)! = (^) n→lim+∞ n! (n + 1) n!
= (^) n→lim+∞
(n + 1)
Poiché 0 < 1 la serie converge.
