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Una introduzione alle proprietà fondamentali della cifratura, tra cui XOR, DES, Triple DES, Cipher Block Chaining e l'aritmetica modulare. Viene inoltre discusso l'insieme dei resti modulo 'n', le operazioni aritmetiche modulo, la congruenza e i teoremi di Fermat e Eulero. utile per chi sta studiando crittografia e cifratura.
Tipologia: Dispense
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Metodo base
Metodo alternativo
poiché per la seconda proprietà si ha che
Proprietà Commutativa Proprietà Associativa Elemento neutro Inverso da cui :
Cifratura CBC (schema)
Decifratura CBC (schema)
Focus: Regola della moltiplicazione in modulo
un multiplo del divisore puó essere diretamente semplificato
si dice che x ed y appartengono alla stessa classe di equivalenza o in maniera equivalente che appartengono alla stessa classe di resto modulo n
Viene detto radice prima di M un numero che modulo M genera tutti i numeri della aritmetica modulo M
Riflessiva
Simmetrica
Transitiva
Addizione
Moltiplicazione
Elevamento a potenza
Se "p" è primo e "a" è un intero positivo minore di p, allora:
Tutti i numeri primi, tranne il 2, sono dispari
Sia "p" un numero primo maggiore di 2. È quindi possibile scrivere:
sia "a" un qualsiasi intero nell'intervallo 1< a < p-1. Allora è valida una delle seguenti condizioni.
In base a quanto detto prima si arriva alla conclusione che se "n" è primo:
o il primo elemento nell'elenco dei resti
o qualche elemento dell'elenco è pari ad "n-1"
modulo 1 è 1
altrimenti n è composito (ovvero non è primo). Tuttavia se vale una delle due due condizioni, non è detto che n sia necessariamente primo, può esserlo
Si può dimostrare che dato un numero dispari "n" non o ed un intero "a" scelto casualmente con 1 < a < n-1, la probabilità che il TEST ritorni "incerto" (ovvero non riesca a determinare che "n" non è primo) è inferiore a 1/4. Quindi se si scelgono "t" valori differenti di "a", la probabilità che tutti passino il TEST è inferiore a (1/4 )^t. Come si vede nell esempio precedente, ripetendo il test per differenti valori di "a" la probabilità che il test non si accorga che "n" non sia primo, scende vertiginosamente.
In base a quanto detto prima si arriva alla conclusione che se "n" è primo:
o il primo elemento nell'elenco dei resti
o qualche elemento dell'elenco è pari ad "n-1"
modulo 1 è 1
altrimenti n è composito (ovvero non è primo). Tuttavia se vale una delle due due condizioni, non è detto che n sia necessariamente primo, può esserlo
Si può dimostrare che dato un numero dispari "n" non o ed un intero "a" scelto casualmente con 1 < a < n-1, la probabilità che il TEST ritorni "incerto" (ovvero non riesca a determinare che "n" non è primo) è inferiore a 1/4. Quindi se si scelgono "t" valori differenti di "a", la probabilità che tutti passino il TEST è inferiore a (1/4 )^t. Come si vede nell esempio precedente, ripetendo il test per differenti valori di "a" la probabilità che il test non si accorga che "n" non sia primo, scende vertiginosamente.
Con i normali numeri reali positivi, la funzione logaritmo è l'inverso della funzione esponente. Esiste una funzione analoga per l'aritmetica modulare. Si proverà a ricapitolare brevemente le proprietà dei normali logaritmi. Il logaritmo di un numero è la potenza cui deve essere elevata una determinata base positiva (tranne 1) per ottenere il numero. Ovvero, per la base "x" e per il valore "y":
Fra le proprietà dei logaritmi vi sono le seguenti:
identità di A identità di B
identificativo univoco per questatransazione detto "nonce"
Il messaggio è crittografato con la chiave Ky, e contiene gli elementi X1 ed X
chiave di cifraturamaster di A chiave mono-sessione Kso one time session key chiave di cifraturamaster di B
Per chiave di cifratura master di X si intende una chiave che il soggetto X condivide col KDC
è un nuovo nonce che sta a si simboleggiare l'inizio di una nuovatransazione che si svolgerà cifrando il tutto con la chiave Ks
f è una funzione che svolge una trasformazione su N2per esempio sommandole un'unità
messaggio di richiesta originaleinviato da A al passo precedente
identità di A identificativo univoco per questatransazione detto "nonce"
Il messaggio è crittografato con la chiave Ky, e contiene gli elementi X1 ed X
chiave di cifraturamaster di B condivisa chiave mono-sessione Kso one time session key con A
Per chiave di cifratura master di X si intende una chiave che il soggetto X condivide col KDC
è un nuovo nonce che sta a si simboleggiare l'inizio di una nuovatransazione che si svolgerà cifrando il tutto con la chiave Ks
f è una funzione che svolge una trasformazione su N2per esempio sommandole un'unità
f è una funzione che svolge una trasformazione su N1per esempio sommandole un'unità
