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Matematica
Esame
Giuseppe Vittucci Marzetti∗
Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale
Universit`a degli Studi di Milano-Bicocca
Corso di Laurea in Scienze dell’Organizzazione
Gennaio 2019
Istruzioni: L’esame dura 90 minuti. Scrivi in modo leggibile e conciso. Indica chiaramente all’inizio di ciascuna risposta la domanda/sezione a cui la risposta si riferisce. Ogni parte assegna da 0 (nessuna risposta o risposta completamente errata) ad un massimo di punti indicato a lato di ciascuna (risposta esatta e concisa) per un totale di max 30 punti. Puoi utilizzare solo i fogli protocollo consegnati durante lo svolgimento della prova. Al termine della prova devi riconsegnare tutti e solo i fogli ricevuti. Immediatamente dopo la consegna, su ciascun foglio protocollo scrivi in modo chiaro e leggibile a penna indelebile il tuo nome, cognome e numero di matricola. I fogli recanti una qualsiasi correzione o cancellazione nei dati identificativi dello studente non verranno valutati a meno di non richiederne l’immediata sostituzione.
- Esercizio. (a) (3 punti) Risolvi la seguente disequazione irrazionale:
100
x > 200 x
Soluzione La forma normale della disequazione `e: √ x > 2 x
La radice ha indice pari, per cui le soluzioni sono individuate dall’unione di due sistemi: { 2 x ≥ 0 x > (2x)^2
2 x < 0 x ≥ 0
{ x ≥ 0 4 x^2 − x < 0
x < 0 x ≥ 0 ∗Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Universit`a degli Studi di Milano-Bicocca, Via Bicocca degli Arcimboldi 8, Milano, MI 20126, Italy, E-mail: [email protected]
Il secondo sistema non ha soluzioni, per cui la disequazione e soddisfatta per quei valori di x non negativi (x ≥ 0) tali per cui: x(4x − 1) < 0 cioe x ∈ (0, 1 /4).
(b) (2 punti) Disegna su uno stesso piano cartesiano i grafici delle seguenti funzioni sull’in- tervallo chiuso e limitato x ∈ [0, 1] e individua nel grafico l’insieme delle soluzioni della disequazione risolta al punto precedente: y =200 x y =
x
Soluzione
- Esercizio/Problema. Immagina di gestire un’impresa che ha due reparti e di dover decidere come distribuire i lavoratori tra questi due reparti. Sai che il numero di unit
a che in ognuno di questi reparti si puo produrre ogni mese e una data funzione della frazione di persone che ci lavora. In particolare, sai che il numero di unita prodotte nel primo reparto `e dato da: g(x) = 100
x dove x ∈ [0, 1] e la frazione di lavoratori che opera nel primo reparto, mentre il numero di unita prodotte nel secondo reparto risulta pari a: h(x) = 200 (1 − x) dove (1 − x) e la frazione di lavoratori impiegata nel secondo reparto. Es. se 1/4 dei lavoratori lavora nel primo reparto vuol dire che i restanti 3/4 sono impiegati nel secondo reparto. In tal caso si avra x = 1/4 = 0, 25 e 1 − x = 3/4 = 0, 75. La produzione totale dell’impresa sara pertanto data dalla seguente funzione f : [0, 1] ⊆ R 7 → R f (x) = g(x) + h(x) dove x ∈ [0, 1]e la frazione di lavoratori impiegati nel primo reparto. (a) (2 punti) Determina il segno della funzione f nell’insieme di definizione [0, 1], il valore che la funzione f assume in corrispondenza degli estremi di tale insieme e l’intercetta con l’asse delle ordinate.
Soluzione Essendo la somma di funzioni globalmente concave, f `e globalmente concava.^2
(f) (2 punti) Individua gli eventuali punti di massimo e minimo assoluto di f (x) nell’insieme di definizione.
Soluzione Essendo f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [0, 1], per il teorema di Weierstrass assumera un valore massimo e uno minimo. I punti di massi- mo/minimo assoluto saranno i valori di x corrispondenti a tali valori. Dallo studio del segno della derivata prima sappiamo che la funzionee strettamente cre- scente per x ∈ [0, 1 /16) e strettamente decrescente per x > 1 /16. x = 1/16 `e pertanto un punto di massimo e:
max f (x) = f (1/16) = 100
Poich´e la funzione e strettamente crescente nell’intervallo x ∈ [0, 1 /16) ed avendosi f (0) = 200, mentree strettamente decrescente nell’intervallo x ∈ (1/ 16 , 1] ed essendo f (1) = 100 < 200, x = 1 `e un punto di minimo e:
min f (x) = f (1) = 100
(g) (2 punti) Disegna su uno stesso piano cartesiano i grafici delle funzioni g(x), h(x) e f (x) sull’intervallo x ∈ [0, 1]. Alla luce di quanto scoperto studiando la funzione f , che cosa puoi concludere riguardo il problema di determinare la miglior distribuzione dei lavoratori tra i due reparti?
Soluzione
(^2) In alternativa, si pu`o calcolare la derivata seconda e notare che f ′′(0) < 0 ∀ x > 0:
f ′′(x) = − √^25 x^3 .
La distribuzione migliore e quella in cui 1/16 dei lavoratorie assegnato al primo reparto, mentre i restanti 15/16 sono assegnati al secondo reparto. In corrispondenza di questa distribuzione l’impresa produce 212,5 unit`a al mese. Qualsiasi altra distribuzione genera una produzione strettamente minore.
- Esercizio. Considera un mazzo di carte da poker, in cui si hanno 13 carte – 2, 3,... , 10, J, Q, K, A (Asso) – per ognuno dei 4 semi (♠, ♣, ♥, ♦), per un totale di 52 carte. Calcola: (a) (2 punti) il numero di tutti i modi in cui `e possibile ordinare le carte.
Soluzione Il numero di ordinamenti possibili `e pari alle permutazioni di 52 oggetti:
P 52 = 52! ≈ 8 , 07 × 1067
(b) (2 punti) il numero degli ordinamenti in cui sono divise per seme (le carte di uno stesso seme sono adiacenti).
Soluzione Per ogni dato ordine dei semi, es. ♠, ♣, ♥, ♦, gli ordinamenti possibili delle carte divise per seme sono: (P 13 )^4 = (13!)^4 Essendo P 4 gli ordinamenti possibili dei semi, gli ordinamenti delle carte divise per seme sono in totale: P 4 (P 13 )^4 = 4! (13!)^4 ≈ 3 , 6 × 1040
(c) (2 punti) la probabilit`a che, partendo da un mazzo di carte scompigliato, mescolandole a caso si ritrovino divise per seme.
Soluzione La probabilita sara data dal rapporto tra casi favorevoli (calcolati al punto precedente) e casi possibili (calcolati al primo punto), per cui:
Pr =
P 4 (P 13 )^4
P 52
4! (13!)^4
≈ 4 , 5 × 10 −^28
meno di una possibilit`a su 45 quadriliardi (10^27 ).^3
- (2 punti) Problema. Il padre di Marco ora ha tre volte gli anni di Marco, ma tra dieci anni avr
a due volte gli anni che avra Marco. Quanti anni ha Marco ora? (^3) La probabilitae quindi “praticamente” nulla. Questo esempio puo aiutare a comprendere piu a fondo il secondo principio della termodinamica e il concetto di entropia. In linea teorica e possibile, partendo da un mazzo di carte “disordinato” (alta entropia) arrivare senza “lavoro utile” ad uno “ordinato” (bassa entropia); solo che la probabilita che questo accada e bassa. Molto piu probabile e il caso opposto: ottenere un mazzo “disordinato” da uno “ordinato”. In teoria tutti i processi fisici a livello atomico sono reversibili ede quindi in accordo con le leggi della fisica che lo zucchero sciolto nel caffe si ricomponga in una zolletta, o che noi ringiovaniamo invece di invecchiare. Il problemae che la probabilita di un accadimento del generee cos`ı bassa da poter essere trascurata.
