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Una trattazione sui sistemi lineari a coefficienti incogniti e sulle matrici. Vengono introdotte le definizioni di sistema triangolare, combinazione lineare e spazio vettoriale. Vengono inoltre fornite le proprietà delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare e del prodotto tra matrici. Viene dimostrato il lemma fondamentale sui sistemi lineari e la proposizione sull'invertibilità del prodotto tra matrici invertibili. Il documento può essere utile come appunti o dispense per un corso di algebra lineare.
Tipologia: Appunti
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a (^) scoefficienti X-s (^) incognite ays Xa+^ A 12 X2+ (^913) X3+...=6 s Gym Xn^ Aaz Xs^ +^ Q^22 X2+^ A^ b^223 X3+-.a^2 mXm=^ A h amsTa
Qmqtz+ (^) Qm 3 X 3 t. x AmnXm= bm m a (^) numero (^) eq lineari^ ( di zo (^) gradd) mo (^) incogmite quale equazione
mn dis m J= (^) 1,-..
quel (^) coeff. (^) quale incognita sta^ moltiplicando bi-si=s,...mn (^) = termini^ noti
be
921 ①^22 • u a^ 2M^62 a- (^) :
b.
( ama ama^.^.^.^ 9mn bn A matrice ymxm / donne (^) ( numero di incognite) righe ( numero di eq ) dif indice di^ colonna 1 indice di miga b :^ vettore^ di^ Rm^ = R×m.;¥- ( matrice mia)
Mm , n^ ☒ : = { matrici^ mxn (^) con elementi^ reali} DEFINIZIONE M- m (^) matrici (^) quadrate A c-^ Mm , n^ (^ R)
/ ◦" an
a c-^ Mmm si^ dice^ triangolare ( (^) superiore) se tutti gli elementi^ al^ di^ sotto^ della^ diagonale principale sono^0 EI M » a = 11 ᵗʰ that
☒ (^) al I 0 0 3 LO 0 1 non (^) triangolare E:|
un sistema^ con^ m^ ca.^ ed^ M^ dimagrante ( mxm^ , quadrato) si (^) dice triangolare se^ la^ matrice dei (^) coefficienti è triangolare
PROP. ( risoluzione (^) di sistemi (^) triangolari ) Un sistema (^) triangolare ammette una e (^) una sola
( (^) se e solo se sappiamo risolvere^ sistemi^ triangolari STRATEGIA Dato un^ sistema^5 MXM (^) Vogliamo trovare^ un sistema (^) si t. (^) c f) S' (^) è triangolare (ii) s'^ e^ S^ hanno^ le^ stesse^ soluzioni
equivalenti se hanno
equazioni di (^) ✗ 1 + (^) da Xr -1.. (^). + (^) dm Xn = d {^71 Xs^ +^ Pak -1 (^).. (^). + pm XM^ = P L' eq. "
( da^ ✗a^ +^.^.^.^ -1dm^ Xn^
G) { (^4191) -1... -1dm (^) 9m =D *^0 ☒ KIRK^ -1^.^.^.^ -1^ Bm Bm^ - B) + ʰÈ÷È ) -^ ◦ Sostituiamo (^) ( Bs ,.^.^. In) in (^) (1) :
{ (^4191) -1... -1dm In =D paese (^) +.^.^.^.^ +^ pm 9m^ =p cioè (^) ( Bs ,.^.^. , Bn) è^ soluzione^ di^ (1).
eq. 11 ) &.^ (2)^ → { 9.11 ) heq.^ (1)^ +^ K^ eq.^ (2) K= (^1) , h^ = - 1121 Il (^) procedimento di E. G (^). ha lo scopo di eliminare delle incognite in^ alcune (^) ea. del sistema. Mediante l' (^) E. G. da (^) un sistema (^) quadrato nxn si arriva a (^) un sistema^ triangolare (^) equivalente. È (^) equivalente grazie al^ lemma^ fondamentale.
MATRICI
A- (^) ( a (^) ;-) , B. (^) ( bio) mxn C- (^) Atb (= ( Cie) cij-aij-bi.se ≥ A- { (^1 2 3) B. =/ (^2) -1 0 ◦ (^) -51}^ 0 0 4 ] c- (^) Atb = { 3 1 3 0 -5^5 ] Prodotto PER^ UNO^ SCALARE 1- E^ Mmm A-^ ( dis) B. =^ da B- (^) ( (^) bit) bij-dais.ES 1- = { 12 3 -102 ]^ ,
da =/ 5 10 15 -5 0 10 ]
Prodotto (^) TRA MATRICI A (^) → (^) mxk B (^) → kxn
prima matrice^ è (^) uguale al (^) numero (^) di rughe della^ seconda^ matrice C = A • B e (^) Mm , n Cij = È (^) aie. bej f- 1 Esprima ruga per tutte
le (^) colonne , ecc^.^.^. (^1 3 0 ) a = μ f) ,
=L o^11 ] 0 3 A. B^ = ( ° (^3 1 ) | → (^3) × 4 (^2 6) O 8 16 0 3 3 ]
A (^) mxm ; I n^ ✗^1
/ 911 912.^.^.^ 91m 921 022.^.^ -^ Arm^ ;
n ) ÈM1 (^) ama (^).. - amm )
=/ ° (^) " " " °" "" (^) " "^ "^ "" " (^) "
PROPRIETÀ a- (^) ( Btc) -^ AB^ tac (B.^ +^ c)^ A =^ BA^ +^ BC (A.^ B)^
( B-^ C)
% , ;] ÷ (^) nxn MATRICE (^) IDENTITÀ ↓ elemento (^) neutro (^) rispetto a c-^ Mmm al prodotto A. I =^ A =^ I.^ A DEFINIZIONE
una matrice , detta matrice^ inversa (^) e indicata con A- 1 , t. c :
1 = I=^ A-^
se a (^) e- (^) invertibile (^) , allora A- 1 è unica
supponiamo che^ A^ abbia^ due^ matrici^ inverse^ À^ ' , B (^). Dunque : A.A
:| !!^
..^ -^ I ;) |:| AH (^) = 1s
: ( %^ ) : : AX ? In ← I :|
"
DEFINIZIONE un insieme V^ si^ dice^ spazio vettoriale^ se in^ ✓ sono (^) definite due operazioni :
PG)^ = (^) 1-1×-1× 2 914=2-1×-1/ Snodo 2 plx)^ +^ qlx)^ =^2 ×+3^ grado^1 se (^) mettessi = non sarebbe (^) uno spazio vettoriale
DEFINIZIONE
spazio vettoriale (^) W ≤ (^) V si dice sottospazio
i) ti (^) ha (^) , 2 E^ W (^) Ha -112 e W^ ; ii) de (^) IR (^) , al c- W (^) due e^ W OSSERVAZIONE WI (^) , _W2 E Wy Ds (^) , ke^ E^ V^ w-s.tk C-^ V In ESEMPIO W^ ≤ VE vì (^) → ( P →°
un (^) sottospazio vettoriale^ contiene (^) sempre Q^ e^ V Perché (^) tra c- W (^) -1W =^ - E W D= I-1^ (-^ K) e W
