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3 Sistemi lineari
3.1 Generalit`a
Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite
a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2 nxn = b 2
a m 1
x 1
x 2
+... + a mn
x n
= b m
ovvero, in forma matriciale,
Ax = b con A ∈ R
m×n , x ∈ R
n e b ∈ R
m .
Si vuole determinare, se esiste, la soluzione (eventualmente le soluzioni) del
sistema lineare, vale a dire
x
∗ = [x
∗
1
,... , x
∗
n
]
T ∈ R
n tale che Ax
∗ = b.
Per poter dare delle condizioni sull’esistenza e sul numero di soluzioni x
∗ `e
necessario introdurre la seguente nozione di rango di una matrice.
Definizione 3.1 rango di una matrice
Sia A ∈ R
m×n
. Si dice che la matrice A ha rango r se
- A contiene una sottomatrice quadrata di dimensione r con determinante
non nullo;
- ogni sottomatrice quadrata di A di dimensione maggiore a r ha determi-
nante nullo.
Esempio 3.
Sia
A =
[
]
La matrice A `e tale che rango(A) = 1, in quanto la seconda riga uguaglia la
prima riga moltiplicata per 2.
Sia
B =
[
]
La matrice B e tale che rango(B) = 2. Infatti, ad esempio,e
det
[
]
L’esistenza e il numero di soluzioni di un sistema lineare sono regolate dal
seguente Teorema.
Teorema 3.1 di Rouch´e-Capelli
Sia Ax = b con A ∈ R
m×n , x ∈ R
n , b ∈ R
m
. Il sistema lineare ammette
soluzione se e solo se rango(A) =rango([A|b]), ove la matrice
[A|b] =
a 11
... a 1 n
b 1
a m 1
... a mn
b m
e la matrice ottenuta orlando la matrice A con il termine noto b. Di piu, se il
sistema lineare ammette soluzione allora si hanno due possibilit`a:
- se rango(A) = n, ovvero pari al numero di incognite,il sistema lineare
ammette un’unica soluzione (nel caso di matrici quadrate rango(A) = n
se e solo se det(A) 6 = 0);
- se rango(A) = k < n, il sistema ammette un’infinit
a di soluzioni e piu
precisamente il sistema ammette ∞
n−k soluzioni.
Il significato del Teorema di Rouch´e-Capelli `e il seguente: la relazione b = Ax
si pu`o interpretare come
b =
a 11
a m 1
x 1 +
a 12
a m 2
x 2 +^...^ +
a 1 n
a mn
xn,
ossia b `e combinazione lineare dei vettori a j?
= [a 1 j
,... , a mj
]
T
, j = 1,... , n
dati dalle colonne della matrice A, con coefficienti della combinazione lineare
dati da x 1
,... , x n
. Se fosse rango([A|b]) >rango(A), allora vorrebbe dire che i
vettori a 1?
,... , a n?
, b sono linearmente indipendenti, il che contraddirrebbe la
scrittura precedente.
Esempio 3.2 Sia Ax = b con
A =
, b =
Poich´e rango(A) = 3 (e ovviamente rango([A|b]) non pu`o essere maggiore
di 3 ), il sistema ammette soluzione, e pi`u precisamente ne ammette una
ed una sola. Infatti, risolvendo per sostituzione, si ha
x 1
− x 3
2 x 1
x 1 = 1
ossia
x 2
− x 3
2 x 2
x 1 = 1
ossia
x 2
= x 3
x 3
x 1 = 1
Quindi si ha una ed una sola soluzione data da x
∗
1
= x
∗
2
= x
∗
3
A =
, b =
Esempi importanti di sistemi lineari omogenei verranno considerati nella suc-
cessiva sezione 4.
3.2 Applicazioni lineari da V = R
m
a U = R
n
Il problema della risoluzione di un sistema lineare Ax = b con A ∈ R
m×n , x ∈
R
n , b ∈ R
m ha un’interpretazione interessante quando inquadrato nella teoria
delle applicazioni lineari fra spazi vettoriali. Per un’applicazione di rilievo di
questa interpretazione si veda la sezione 4.
Definizione 3.3 Applicazione lineare fra spazi vettoriali
Un’applicazione F : V → U , ove V = R
m e U = R
n , si dice lineare se
, x 2
∈ V si ha F (x 1
) = F (x 1
) + F (x 2
- per ogni α ∈ K = R e per ogni x ∈ V si ha F (αx) = αF (x).
Esempio 3.3 Sia V = U = R
2 e si consideri l’applicazione che associa ad un
vettore del piano la sua proiezione sull’asse delle ascisse, ossia
F
([
v 1
v 2
])
[
v 1
]
per ogni v = [v 1
, v 2
]
T .
Tale applicazione `e chiaramente un’applicazione lineare in quanto vale che
- per ogni v, w ∈ V si ha F (v + w = F (v) + F (w)) = [v 1
, 0]
T ,
- per ogni α ∈ K = R e per ogni v ∈ V si ha F (αv) = αF (v) = [αv 1
, 0]
T .
Ora consideriamo la base canonica di V = R
m , ossia gli m vettori e 1
[1 0... 0]
T , e 2
= [0 1 0... 0]
T ,.. ., e m
= [0... 0 1]
T
. Grazie alla propriet`a
di linearit`a dell’applicazione F , per sapere come opera tale applicazione su un
vettore generico
x = x 1 e 1
+... + xme m
∈ R
m
`e sufficiente sapere come opera F su ciascuno dei vettori della base canonica di
V = R
m in quanto
y = F (x) = F (x 1 e 1
+... + xme m
= x 1 F (e 1
) + x 2 F (e 2
) +... + xmF (e m
Ora, poniamo, per ogni k = 1,... , m
F (e k
a 1 k
a 2 k
ank
ove il primo indice denota la componente del vettore F (e k
); mentre il secondo
indice e fissato uguale a k ad indicare che si sta rappresentando il vettore F (e k
Quindi, costruiamo una matrice di n righe e m colonne accostando gli m vettori
colonna F (e k
), k = 1,... , m, nell’ordine, ottenendo cos`ı
A =
a 11
a 12
... a 1 m
a 21 a 22... a 2 m
an 1 an 2... anm
∈ R
n×m .
Ora, l’espressione della i−sima componente del vettore y ∈ R
n `e data da
y i
= F (x)i = x 1 F (e 1
)i + x 2 F (e 2
)i +... + xmF (e m
)i
= x 1
a i 1
a i 2
+... + x m
a im
m ∑
j=
a ij
x j
e corrisponde a quella ottenuta considerando
y i
= (Ax)i
con y vettore risultato del prodotto della matrice A per il vettore colonna x.
Pertanto, si pu`o concludere che le matrici sono un modo compatto per rappre-
sentare l’azione di un’applicazione lineare F su un qualsivoglia vettore.
Inoltre, il problema della risoluzione di un sistema lineare Ax = b con A ∈
R
m×n , x ∈ R
n , b ∈ R
m risulta equivalente a quello di determinare i vettori x
∗ ,
se esistono, che vengono trasformati dall’applicazione lineare F assegnata nel
termine noto b assegnato. Ritorneremo sul significato di questa interpretazione
nella sezione 4.
Esempio 3.
- Si consideri l’applicazione lineare F : R
3 → R
3 definita tramite le re-
lazioni
F ([1 − 1 1]
T ) = [0 1 + k k − 1]
T
F ([1 1 1]
T ) = [0 1 + k 1 + k]
T
F ([0 0 1]
T ) = [1 0 k]
T
L’applicazione lineare `e univocamente determinata in quanto i vettori v 1
[1 − 1 1]
T , v 2
= [1 1 1]
T e v 3
= [0 0 1]
T formano una base di R
3
. Infatti
sono in numero di 3 e sono linearmente indipendenti essendo
det
Si vuole determinare la matrice associata a F rispetto alla base canonica
di R
3
. Per fare questo, occorre determinare le immagini degli elementi
della base canonica di R
3 tramite l’applicazione lineare F e scriverne le
coordinate sempre rispetto a tale base.
Ora, per definizione di applicazione lineare, vale che se il generico vettore
v ∈ R
3 ha coordinate [a b c]
T rispetto alla base v 1
, v 2
, v 3
, ovvero v =
av 1
, allora F (v) = aF (v 1
) + bF v 2
) + cF v 3
le coordinate rispetto alla base canonica di R
2 .
Ora, vale che se il generico vettore v ∈ R
4 ha coordinate [a b c d]
T
rispetto alla base v 1
, v 2
, v 3
, v 4
, ovvero v = av 1
, allo-
ra F (v) = aF (v 1
) + bF (v 2
) + cF (v 3
) + dF (v 4
Quindi, poich´e vale che il primo vettore della base canonica si pu`o scrivere
come
e 1
v 1
v 2
si ha che
F (e 1
F (v 1
F (v 2
) + 0F (v 3
) + 0F (v 4
[
]
[
]
[
]
Ora, poich´e vale che il secondo vettore della base canonica si pu`o scrivere
come
e 2
v 1
v 2
si ha che
F (e 2
F (v 1
F (v 2
) + 1F (v 3
) + 1F (v 4
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Ripetendo il procedimento anche per i restanti due vettori si ottiene che la
matrice A rappresentativa dell’applicazione lineare `e
A =
[
]
3.3 Un metodo di risoluzione per i sistemi lineari
Anzich´e considerare il classico metodo di Cramer (che fa uso della teoria del
determinante e che `e computazionalmente molto costoso (numero di operazioni
dell’ordine di n! con n dimensione del sistema lineare)), si considera un metodo
di risoluzione alternativo che si basa sostanzialmente sulla nozione di sistemi
lineari equivalenti.
Definizione 3.4 Sistemi lineari equivalenti
Si considerino due sistemi lineari
Ax = b con A ∈ R
m×n , x ∈ R
n , b ∈ R
m ;
Cy = d con C ∈ R
m×n , y ∈ R
n , d ∈ R
m .
I due sistemi lineari si dicono equivalenti se ogni soluzione del primo sistema `e
soluzione del secondo sistema e viceversa.
Consideriamo ora due esempi di sistemi lineari equivalenti che sono alla base
del metodo di risoluzione che si vuole qui di seguito introdurre.
Proposizione 3.2 Si consideri il sistema lineare
I)
R 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 nxn − b 1 = 0
R
i− 1
= a i− 11
x 1
x 2
+... + a i− 1 n
x n
− b i− 1
R
i
= a i 1
x 1
x 2
+... + a in
x n
− b i
R
i+
= a i+
x 1
x 2
+... + a i+1n
x n
− b i+
Rj− 1 = aj− 11 x 1 + aj− 12 x 2 +... + aj− 1 nxn − bj− 1 = 0
Rj = aj 1 x 1 + aj 2 x 2 +... + ajnxn − bj = 0
Rj+1 = aj+11x 1 + aj+12x 2 +... + aj+1nxn − bj+1 = 0
R
m
= a m 1
x 1
x 2
+... + a mn
x n
− b m
e il sistema lineare
II)
R 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1 nxn − b 1 = 0
R
i− 1
= a i− 11
x 1
x 2
+... + a i− 1 n
x n
− b i− 1
R
j
= a j 1
x 1
x 2
+... + a jn
x n
− b j
Ri+1 = ai+11x 1 + ai+12x 2 +... + ai+1nxn − bi+1 = 0
Rj− 1 = aj− 11 x 1 + aj− 12 x 2 +... + aj− 1 nxn − bj− 1 = 0
R
i
= a i 1
x 1
x 2
+... + a in
x n
− b i
R
j+
= a j+
x 1
x 2
+... + a j+1n
x n
− b j+
Rm = am 1 x 1 + am 2 x 2 +... + amnxn − bm = 0
che differisce dal sistema lineare I) per il solo fatto che la j−sima equazione
Rj = 0 `e stata scambiata con l’equazione i−sima Ri = 0. Il sistema lineare I)
e il sistema lineare II) sono equivalenti.
Dimostrazione: l’affermazione `e ovvia in quanto le soluzioni di un sistema
lineare non dipendono dall’ordine delle equazioni. •
Proposizione 3.3 Si consideri il sistema lineare
I)
R
1
= a 11
x 1
x 2
+... + a 1 n
x n
− b 1
R
2
= a 21
x 1
x 2
+... + a 2 n
x n
− b 2
Rj− 1 = aj− 11 x 1 + aj− 12 x 2 +... + aj− 1 nxn − bj− 1 = 0
Rj = aj 1 x 1 + aj 2 x 2 +... + ajnxn − bj = 0
Rj+1 = aj+11x 1 + aj+12x 2 +... + aj+1nxn − bj+1 = 0
R
m
= a m 1
x 1
x 2
+... + a mn
x n
− b m
poich´e x
∗
1
,... , x
∗
n
sono una soluzione del sistema II). Inoltre, poich´e per ipotesi
`e αj 6 = 0, deve essere pure Rj ≡ 0 ossia x
∗
1
,... , x
∗
n
soddisfano anche la j−sima
equazione del sistema I).
Riassumendo, si `e verificato che scambiare fra loro equazioni o sostituire ad
un’equazione una combinazione lineare delle equazioni del sistema, con il solo
vincolo αj 6 = 0, permette di ottenere un sistema lineare equivalente, ossia con
tutte e sole le soluzioni del sistema di partenza.
Ora, un’applicazione ripetuta e mirata di tale tecnica permette di trasformare
un qualsivoglia sistema lineare assegnato in sistema lineare equivalente, ma di
pi`u facile risoluzione (anche rispetto alla risoluzione su calcolatore).
Vediamo il metodo su un esempio.
Esempio 3.5 Sia Ax = b con
A =
, b =
ovvero (^)
R 1 = x 1 − 2 x 2 + 3x 3 − 2 = 0
R 2 = 3x 1 − 2 x 2 + 3x 3 − 4 = 0
R 3 = 4x 1 − 4 x 2 + x 3 − 1 = 0
del quale esiste unica la soluzione x
∗ tale che Ax
∗ = b, poich´e det(A) =
− 20 6 = 0. I passo: si sostituisce all’equazione R 2
= 0 la combinazione lin-
eare R 2 − 3 R 1 = 0, ove si `e scelto come coefficiente della combinazione lineare
3 = a 21 /a 11. Analogamente si sostituisce all’equazione R 3 = 0 la combinazione
lineare R 3 − 4 R 1 = 0, ove si `e scelto come coefficiente della combinazione lineare
4 = a 31 /a 11. Si considera quindi il sistema lineare equivalente
R 1 = x 1 − 2 x 2 + 3x 3 − 2 = 0
R 2 − 3 R 1 = 3x 1 − 2 x 2 + 3x 3 − 4 − 3(x 1 − 2 x 2 + 3x 3 − 2) = 0
R 3 − 4 R 1 = 4x 1 − 4 x 2 + x 3 − 1 − 4(x 1 − 2 x 2 + 3x 3 − 2) = 0
ossia
R
(1)
1
= R
1
= x 1
− 2 x 2
R
(1)
2
= 4x 2
− 6 x 3
R
(1)
3
= 4x 2
− 11 x 3
II passo: si sostituisce all’equazione R
(1)
3
= 0 la combinazione lineare R
(1)
3
R
(1)
2
= 0, ove si `e scelto come coefficiente della combinazione lineare 1 =
a
(1)
32
/a
(1)
22
. Si ha quindi
R
(1)
1
= x 1 − 2 x 2 + 3x 3 − 2 = 0
R
(1)
2
= 4x 2 − 6 x 3 + 2 = 0
R
(1)
3
− 2 R
(1)
2
= 4x 2 − 11 x 3 + 7 − (4x 2 − 6 x 3 + 2) = 0
ossia
R
(2)
1
= R
1
= x 1
− 2 x 2
R
(2)
2
= R
(1)
2
= 4x 2
− 6 x 3
R
(2)
3
= − 5 x 3
In definitiva, si `e trasformato il sistema di partenza nel sistema lineare equiva-
lente
Ax =
b con
A =
b =
Ora, un sistema lineare, la cui matrice sia triangolare superiore, si pu`o
risolvere facilmente (a mano o su calcolatore) con una procedura che prende
il nome di risoluzione Backward (a ritroso).
Infatti, dall’ultima equazione si ricava x
∗
3
= 1; quindi sostituendo nella seconda
equazione il valore trovato per x
∗
3
si ottiene
x
∗
2
= (6x
∗
3
Infine, sostituendo nella prima equazione il valore trovato per x
∗
2
e x
∗
3
si ottiene
x
∗
1
= 2x
∗
2
− 3 x
∗
3
Qualora all’k−mo passo ci si trovasse ad avere che l’elemento in posizione k, k
e nullo,e sufficiente scambiare l’k−sima equazione con una delle successive tale
che il coefficiente relativo all’incognita xk sia non nullo.
Si tenga presente che sotto l’ipotesi di A non singolare tale equazione alternativa
esiste sempre.
3.4 Esercizi
- In dipendenza di k ∈ R, determinare il rango della matrice
A =
k k k
e della matrice
B =
k k k k
- Discutere in dipendenza del parametro k ∈ R la risolubilit`a del sistema
lineare (^)
(k + 1)y + 10z = 8
y + 4z = 4
x + 4y + 16z = 9
e quando possibile determinarne le soluzioni.
- Discutere in dipendenza del parametro k ∈ R la risolubilit`a del sistema
lineare (^)
x + (k − k
2 )z = 2 − k
(k − k
2 )z = 1 − k
x − y = 0
e quando possibile determinarne le soluzioni.
