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Guide e consigli
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Sistemi numerici e conversioni, Dispense di Fondamenti di informatica

Una panoramica approfondita sui sistemi numerici posizionali, con particolare focus sui sistemi decimale, binario e ottale. Vengono illustrate le proprietà principali di tali sistemi, le modalità di rappresentazione dei numeri interi e frazionari, nonché le tecniche di conversione tra le diverse basi. Inoltre, il documento affronta la tematica della rappresentabilità dei valori numerici e della gestione del fenomeno dell'overflow. Infine, vengono introdotti i concetti di codici binari e il codice ascii, ampiamente utilizzato nell'ambito dell'informatica.

Tipologia: Dispense

Pre 2010

In vendita dal 24/10/2024

aldo-giordano-4
aldo-giordano-4 🇮🇹

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I.1
Fondamenti di Informatica
Entità e rappresentazioni
E’ importante distinguere il
concetto di entità da quello di
rappresentazione
Una rappresentazione è un modo
per descrivere un’entità, ma non è
l’entità stessa
Nell’ambito dei sistemi numerici
non bisogna confondere quella che
è l’entità numero o valore con la
sua rappresentazione
Dato il valore “sedici,la sua
rappresentazione nel sistema
decimale è 1610 mentre nel sistema
binario è 100002; 1610 e 100002
sono due rappresentazioni
differenti della stessa entità
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Scarica Sistemi numerici e conversioni e più Dispense in PDF di Fondamenti di informatica solo su Docsity!

Entità e rappresentazioni

‹ E’ importante distinguere il

concetto di entità da quello di

rappresentazione

‹ Una rappresentazione è un modo

per descrivere un’ entità , ma non è

l’entità stessa

‹ Nell’ambito dei sistemi numerici

non bisogna confondere quella che

è l’entità numero o valore con la

sua rappresentazione

‹ Dato il valore “ sedici ” , la sua

rappresentazione nel sistema

decimale è 16

10

mentre nel sistema

binario è 10000

2

10

e 10000

2

sono due rappresentazioni

differenti della stessa entità

Sistemi numerici

‹ Il sistema numerico che siamo

abituati ad utilizzare è un sistema:

  • decimale: usa 10 cifre
  • posizionale: ad ogni “posizione” è

associato un “peso”, infatti esistono:

» la posizione delle unità, » la posizione delle decine, » la posizione delle centinaia, » etc.

‹ Un esempio di sistema numerico

non posizionale è quello romano in

cui non esistono le posizioni delle

unità, decine, centinaia, etc.

Esempio Nel numero IV = 4

“I” non è una decina, “V” non è

un’unità (altrimenti si leggerebbe 15)

Sistemi numerici

‹ Esempi:

  • base decimale
  • base binaria

‹ Proprietà principali di un sistema

numerico posizionale:

  • ogni numero intero può essere

rappresentato (rango illimitato)

  • a ogni numero intero corrisponde un

solo insieme ordinato di cifre

(rappresentazione unica)

2 1 0 1 2 123 , 45 1 2 3 4 5 − − = ⋅ 10 + ⋅ 10 + ⋅ 10 + ⋅ 10 + ⋅ 10 2 1 0 1 2 101 , 01 1 0 1 0 1 − − = ⋅ 2 + ⋅ 2 + ⋅ 2 + ⋅ 2 + ⋅ 2

Sistema decimale

m m n n d d N d d − − − − − −

  • ⋅ + + ⋅

1 1 0 0 1 1 K

K

‹ Nel sistema numerico decimale:

  • la base r = 10
  • le cifre d = 0,1,...,

‹ Un valore N si rappresenta nel

S.N. decimale come:

‹ Tutte le volte che si farà

riferimento ad un valore senza

specificarne la base, lo si

considererà in base 10

‹ In caso contrario la base verrà

specificata come pedice della cifra

di peso più basso: es. 1001011

2

Sistema binario

‹ Una sequenza di otto bit

consecutivi è detta byte

‹ Esempio: 11010010

‹ Il bit più a sinistra è detto Most

Significant Bit (MSB), mentre

quello più a destra è detto Least

Significant Bit (LSB)

byte 11010010 MSB (^) LSB

Sistema ottale

m m n n d d N d d − − − − − −

  • ⋅ + + ⋅

1 1 0 0 1 1 K

K

10 2 1 0 8

‹ Nel sistema numerico ottale:

  • la base r = 8
  • le cifre d = 0,1,...,

‹ Un valore N si rappresenta nel S.N.

ottale come:

Esempio:

‹ NOTA

La sequenza di cifre 847 non può

essere un valore ottale in quanto in

tale sistema non esiste la cifra 8!

Sistema esadecimale

‹ Si noti la corrispondenza:

‹ Più è grande il valore della base,

più è compatta la rappresentazione

di uno stesso valore (ossia il

numero risultante è composto da

meno cifre):

Esempio

B

16

8

2 H 10 2

A = 10 = 1010

H 10 2

B = 11 = 1011

H 10 2

C = 12 = 1100

H 10 2

D = 13 = 1101

H 10 2

E = 14 = 1110

H 10 2

F = 15 = 1111

Conversione tra sistemi

numerici

Da base qualsiasi a base 10

‹ Consideriamo per il momento solo

valori interi (o parti intere di

valori frazionari)

‹ Si può applicare direttamente la

definizione:

Esempi:

0 0 1 1 N d r d r n n

− −

K

10 10 3 2 1 0 2

10 10 1 0 8

10 10 2 1 0 5

Conversione tra sistemi

numerici

‹ Esempi:

2 10

8 10

5 10

Conversione tra sistemi

numerici

0 1 2 2 1 K K − −

n n N d r d r d r d r d

Da base 10 a base qualsiasi

‹ La definizione di valore può

essere riscritta come:

  • se dividiamo il valore N per la base r

si ottiene un quoziente dato da:

e un resto d

0

che è la cifra di peso

inferiore (peso zero) del valore N

nella base r

‹ Ripetendo il procedimento si

ricavano le cifre del valore nella

base desiderata (i resti delle

divisioni) a partire dal LSB

1 2 2 1 K K − −

n n d r d r d r d

Conversione tra sistemi

numerici

Da base qualsiasi (N) a base

qualsiasi (M)

‹ In genere conviene convertire il

numero da base N a base 10 e il

risultato da base 10 a base M

‹ Nei casi in cui sia N sia M siano

potenze di 2 , conviene passare

non dalla base 10, ma dalla base

2: la conversione tra una base

potenza di 2 e la base 2 è molto

veloce se si considera quanto

segue

Conversione tra sistemi

numerici

‹ La definizione di numero binario N

può essere riscritta nel seguente

modo (in questo esempio si fanno

raggruppamenti di 3 cifre):

  • Ne consegue che, per passare dalla

rappresentazione in binario a quella

ottale , è sufficiente raggruppare le

cifre a gruppi di tre partendo da destra

e convertire i singoli gruppi di cifre

ottenuti (se il gruppo più a sinistra ha

meno di 3 cifre completarlo a sinistra

aggiungendovi gli zeri necessari)

1 0 3 0 1 0 2 2 3 1 4 3 2 5 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ... 8 8 ( 2 2 ) ( 2 ) ... ( 2 2 ) ( 2 ) 2 2 ... 2 2 2 2 = + ⋅ + ⋅

  • ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
  • ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + N β α d d d N d d d d d N d d d d

Rappresentazione di

valori

‹ La rappresentabilità dei valori è

legata al numero di cifre

disponibili

‹ Nei sistemi di elaborazione, come

in generale in tutte le applicazioni

pratiche, il numero di cifre

impiegate nella rappresentazione

di valori numerici è limitato

‹ Si ha overflow (o trabocco)

quando si è nell’impossibilità di

rappresentare il risultato di una

operazione (ad esempio una

somma o una sottrazione) con il

numero di cifre a disposizione

Rappresentazione di

valori

‹ Consideriamo il sistema binario

‹ Il numero di configurazioni

diverse con n bit (“distribuzione

con ripetizione di 2 elementi di

classe n ”) è 2

n

; quindi con n bit si

possono rappresentare 2

n

valori;

il numero N più grande

rappresentabile con n bit è:

n

numeri, il primo è lo 0) ed è

costituito da tutti uno:

2

n

N