Variabili Casuali e Distribuzioni di Probabilità, Slide di Statistica

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Statistica

A.A. 2023/

CdL Scienze Economiche

Prof. Bruno Antonio Pansera

Lezione n.

Variabili casuali

Variabili casuali

”Aleatoria”: attitudine pratica dei Latini a giocare a dadi ”Stocastica”: attitudine teorica dei Greci a fare congetture L’immagine di una v.c. è detta anche supporto della v.c.

Tale corrispondenza tra eventi del domino e numeri reali del codominio non è

biunivoca: lo stesso numero reale può essere associato a più eventi. La regola che crea

la corrispondenza è arbitraria: la stessa prova può dare luogo a vc differenti a seconda

di come viene definita la regola.

Variabili casuali

Osservazione: Se lo spazio campionario 𝛺 è discreto la variabile casuale sarà discreta mentre, se è continuo, la variabile casuale può essere continua o discreta come evidenziato nell'esempio seguente.

Esempio 1: Consideriamo una prova consistente nell'osservare l'altezza di un individuo. In tal caso è continuo perché contiene un'infinità non numerabile di eventi (tutte le possibili altezze). La variabile casuale X "altezza" è una v.c. continua in quanto può assumere, almeno in teoria, qualsiasi valore nell'intervallo [20,300). Se però consideriamo due eventi

• E 1 = altezza superiore o uguale ai 150 cm
• E 2 = altezza inferiore ai 150 cm,

possiamo definire una variabile casuale X, che assume valore 1 in corrispondenza di E 1 e valore 0 in corrispondenza di E 2. In tal caso otteniamo una variabile casuale discreta.

Variabili casuali: Esempio

Esempio 2:

Consideriamo l'esperimento del lancio di una moneta bilanciata. In questo caso 𝛺={testa,croce}.

Consideriamo la variabile aleatoria così definita:

X({testa}) = 1 e X({croce}) = 0 Quindi la variabile aleatoria X:{testa,croce} → {0,1} ha come rango SX = {0,1}

Variabili casuali: Esempio

Esempio 4:

Si consideri il lancio di un dado regolare. Conosciamo lo spazio dei campioni 𝛺 formato da tutti i numeri compresi tra 1 e 6. Consideriamo una V.C. X che associa ad ogni evento dello spazio dei campioni il numero reale che esce sulla faccia del dado che esce. Quindi il supporto S è l’insieme formato dai numeri 1,2,3,4,5,6. Ogni valore che può assumere la V.C. ha una probabilità di ⅙.

Esempio 5:

Nella medesima prova possiamo definire una nuova V.C. X’ che assume il valore 0 se il numero che esce sulla faccia del dado è pari, 1 se è dispari. In questo caso il supporto è formato da 1 e 2 con probabilità di 1/2 ciascuno.

Variabili casuali: Assegnazione di Probabilità

Gli esempi riportati mostrano come, nel caso di spazi di probabilità discreti (finiti

o numerabili) sia molto agevole ricavare le probabilità associate ai valori assunti

dalla variabile casuale a partire dalle probabilità degli eventi; in caso invece prove

che generano spazi campione i cui elementi sono un’infinità continua la

assegnazione di probabilità è più complicata, problema che viene risolto grazie

alla misurabilità delle funzioni che definiscono le variabile casuale:

Una V.C. è una funzione misurabile a valori reali definita sullo spazio degli eventi.

Distribuzioni di probabilità

❑ Un fenomeno osservabile diviene rilevante dal punto di vista probabilistico quando se ne fissi una legge di probabilità, ovvero, quando si stabiliscano dei gradi di probabilità per le determinazioni possibili del fenomeno stesso.

❑ Quando il fenomeno viene rappresentato nella forma di un elemento aleatorio, la sua legge di probabilità viene generalmente detta distribuzione di probabilità.

Distribuzioni di probabilità

Una distribuzione di probabilità è un modello matematico che collega il valore di

una variabile alla probabilità che tale valore si trovi all’interno della popolazione

ovvero possa essere osservata.

Ne consegue che l’esito di una misura può essere considerato una variabile casuale,

poiché tale valore può assumere valori differenti all’interno della popolazione.

Ognuno dei risultati di una variabile casuale è associato ad una determinata

probabilità.

La funzione che associa ad ogni valore della variabile una probabilità

corrispondente si chiama "distribuzione di probabilità".

Distribuzioni di probabilità

La distribuzione di probabilità si manifesta:

• attraverso la funzione di massa (o funzione di probabilità) definita solo per

le variabili casuali discrete.

• attraverso la funzione di densità - definita solo per le variabili casuali

continue.

• attraverso la funzione di ripartizione (o funzione di distribuzione o delle

probabilità cumulate) - definita sia per le variabili casuali discrete che per le

continue.

Distribuzioni di Probabilità

Distribuzioni di Probabilità