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Probabilità - Concetti di base Perché di ffi cile? Studi psicologici hanno mostrato che, mediamente, la nostra intuizione si inganna facilmente quando ragioniamo su problemi che riguardano la probabilità o la statistica.
- La prima intuizione è spesso scorretta.
- È di ffi cile convincersi che l’intuizione è sbagliata: ciò richiede uno sforzo logico-matematico.
- (E occorre conoscere la matematica che serve.) Storia della probabilità Lo sviluppo della matematica è molto antico
- Il primo sistema di numerazione posizionale (babilonese) risale a ∼3000AC
- Elementi di Euclide ∼300AC;
- numeri arabi: ∼100 − 400DC E la probabilità? Nonostante l’incertezza fosse rilevante (già) allora e il gioco d’azzardo un passatempo comune, nessuno sviluppa il calcolo delle probabilità,anzi, era comune sbagliare, ad esempio le vincite comunemente pagate tra giocatori di astragalo (antenato del dado) non erano coerenti, il risultato maggiormente premiato non era il meno probabile. La culla della probabilità Il calcolo delle probabilità muove i primi passi nel XVI secolo sulla spinta della necessità di migliori strategie nel gioco dei dadi! Cardano (1501) sbarca il lunario giocando a dadi, viene pubblicato postumo il Liber de ludo aleae, sulle strategie nel gioco d’azzardo (baro compreso). Galilei (1583) su richiesta del Granduca di Toscana, scrive sulla probabilità nel gioco dei dadi. Pascal (1654) in uno scambio epistolare con Fermat sviluppa il triangolo e l’idea di speranza matematica, il problema che si posero era come si dovesse dividere la posta in palio in un gioco qualora questo venisse interrotto. Probabilità e scienza È alla fine del XVIII secolo che i metodi probabilistici cominciano a essere impiegati per scopi meno frivoli teoria degli errori in fisica: Bernoulli, Laplace, De Moivre, in particolare in astronomia, dove si studia il moto dei pianeti e l’errore di misura è particolarmente rilevante: Gauss 1820. Dal tardo XIX secolo si comincia a parlare anche di statistica, nelle scienze sociali con Quetelet,,nell’antropologia con Galton e nella genetica con Fisher, che nel XX secolo sviluppa il moderno metodo statistico. Oggi Oggi, il calcolo delle probabilità pervade molti campi scientifici
- fisica quantistica,
- farmaceutica,
- genetica Inoltre, ha un ruolo in molte attività di ogni giorno
- ricerche su internet,
- previsioni del tempo,
- economia, finanza, assicurazioni. Concetti primitivi Rappresentano le nozioni originarie e intuitive su cui si costruisce la teoria della probabilità
- Prova
- Evento
- Probabilità
Prova Si definisce prova (o esperimento aleatorio) un esperimento che ha due o più possibili risultati e in cui c’è un certo grado di incertezza sull’esito. La prova può essere suddivisa in diverse fasi che prendono il nome di sottoprove. Esempi di prova:
- lancio di un dado;
- esame universitario in una data fissata;
- sperimentazione di un farmaco su una cavia;
- quotazione di un titolo finanziario in una data fissata;
- lancio di due monete (→ si compone di due sottoprove). Evento elementare ed evento non-elementare Si definisce evento elementare uno dei possibili risultati di una prova. Si definisce evento non-elementare un evento che può essere a sua volta scomposto in più eventi elementari. Esempi di eventi elementari:
- lancio di un dado: “esce il numero 1”; “esce il numero 2”; ...; “esce il numero 6”.
- “esame universitario” è il singolo voto: “ottengo 28!” Esempi di eventi non-elementari:
- lancio di un dado: “esce un numero dispari”. Probabilità Si definisce probabilità di un evento il grado di fiducia – espresso tra 0 e 1 – che un individuo ha nel verificarsi dell’evento. Quale probabilità?
- Dicendo che la probabilità è il ‘grado di fiducia’ abbiamo dato un’ottima definizione, che è però di scarso aiuto quando si tratta di determinare tale grado di fiducia.
- Qual è la probabilità che domani piova?
- A occhio?
- Piovosità media in aprile: 26%
- ARPAE Emilia Romagna.
- In effetti, tutte le valutazioni vanno bene: sono opinioni, ciascuna legittima, magari qualcuna più ragionevole o più informata. Come calcolare la probabilità? Tale assegnazione è, in molti casi, estremamente complessa (ad esempio, per un evento tutto sommato banale come ‘domani piove’, vengono impiegati modelli meteorologici complessi che combinano molte informazioni). Per intanto, vedremo alcuni casi in cui l’assegnazione è semplice e intuitiva. In tali situazioni sarà agevole capire anche alcune regole per combinare probabilità. Lo spazio campionario
Si definisce spazio campionario Ω l’insieme di tutti i possibili eventi elementari.
Esempio 1: Si consideri l’esperimento che consiste nel lanciare una moneta una volta e si descriva lo spazio campionario. Svolgimento: Indichiamo con “T” il verificarsi dell’evento ‘Testa’ e con “C” il verificarsi dell’evento ‘Croce”.
Lo spazio campionario Ω è costituito da due eventi elementari: Ω = {T,C}
Esempio 2: Si consideri l’esperimento che consiste nel lanciare una moneta due volta e si descriva lo spazio campionario. Svolgimento: Indichiamo con “T” il verificarsi dell’evento ‘Testa’ e con “C” il verificarsi dell’evento ‘Croce”. Lo spazio campionario Ω è costituito da quattro eventi elementari: Ω = {TT,TC,CT,CC}
Unione Dati due eventi A e B, la loro unione (indicata con A ∪B) è data dall’evento “Almeno uno degli eventi A e B si verifica” Esempio: Si consideri l’esperimento lancio di un dado. Si considerino gli eventi A:“Esce un numero inferiore a 4” e B:“Esce un numero pari”. Si definisca l’evento A ∪B. Svolgimento: A = {1,2,3} B = {2,4,6} A ∪B = {1,2,3,4,6} Esempio: Si consideri l’esperimento che consiste nel lanciare tre volte una moneta. Dati gli eventi A:“Esce almeno due volte croce” e B:“Esce testa al primo lancio”, si definiscano gli eventi ¯A, A ∩ B e A ∪B. Svolgimento: A = {CCC,CCT,TCC,CTC} B = {TCT,TTC,TTT,TCC} A ∩B = {TCC} A ∪B = {CCC,CCT,TCC,CTC,TCT,TTC,TTT,TCC} Due eventi particolari... Si definisce evento impossibile (indicato con ∅) l’evento che non può mai verificarsi. Esso può essere definito come l’intersezione tra un qualsiasi evento e la sua negazione: A ∩ ¯A = B ∩ ¯B = ··· =∅ Si definisce evento certo (indicato con Ω) l’evento che si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dell’esperimento. Esso può essere definito come la negazione dell’evento impossibile: Ω = ¯ ∅ Osservazione: Vale anche la relazione ∅=¯Ω Eventi incompatibili Due eventi A e B si definiscono incompatibili se non si possono verificare contemporaneamente, cioè se si verifica che: A ∩B = ∅ Definizione di probabilità Si definisce probabilità una funzione P che associa a ogni evento Ei un numero reale. Tale probabilità verrà indicata con P(Ei ) Come assegnare le probabilità? Postulati Nota: I postulati sono degli assunti che non hanno bisogno di essere dimostrati o verificati. Vengono assunti come veri e su di essi si basa tutta la teoria sviluppata a partire da essi.
Probabilità del complementare Probabilità dell’evento impossibile ( ∅) La probabilità è al più 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 Abbiamo mostrato che P(A) = 1 − P(¯A), ma siccome P(¯A) ≥ 0 (per la (i)) si ha la tesi. Probabilità dell’unione Dati due eventi qualsiasi (non incompatibili), utilizzando i postulati è possibile dimostrare che P(A ∪ B) = P(A) + P(B) + P(A ∩B) Implicazioni tra eventi Diciamo che l’evento A implica l’evento B se ogni volta che si verifica A allora si verifica B. In termini insiemistici A ⊂ B, si ha allora se A ⊂B allora P(A) ≤ P(B) Misurare la probabilità Approccio frequentista Per avere un modo di determinare la probabilità, proviamo a legarla a qualcosa di osservabile. Consideriamo allora un evento come ‘esce testa al lancio di una moneta’. Questo evento è ripetibile, nel senso che possiamo lanciare una moneta molte volte. Facciamolo, o immaginiamo di farlo, e calcoliamo a ciascun lancio la percentuale di teste osservate fino a quel momento. C’è però una certa regolarità: man mano che si va avanti il risultato si stabilizza intorno al 50%, che è la probabilità che, intuitivamente, attribuiremmo all’evento ‘esce testa’. C’è però una certa regolarità: man mano che si va avanti il risultato si stabilizza intorno al 50%, che è la probabilità che, intuitivamente, attribuiremmo all’evento ‘esce testa’. Probabilità: impostazione frequentista La probabilità di un evento è la frequenza con cui questo si verifica in un (ideale) infinito numero di ripetizioni dell’evento stesso.
Il gioco della roulette Scommessa 3: Dozzina Il gioco della roulette Scommessa 4: Colonna Il gioco della roulette Scommessa 5: Multipla 1 Il gioco della roulette Scommessa 6: Multipla 2 Ma quanto si vince? Osservazione a margine Evidentemente, ogni tanto si vince e ogni tanto si perde. Il calcolo delle probabilità non ci permette di prevedere cosa succede su una scommessa (il gioco d’azzardo è totalmente casuale e il risultato di una mano è indipendente dal risultato dell’altra). Ci permette però di dire cosa succede su un gran numero di scommesse. Consideriamo la scommessa sulla quartina, si è detto che
- la probabilità di vincere è P(Q) = 4/
- si vince 8 volte la posta: se scommetto 1€ possono succedere due cose
- se perdo, perdo il mio euro e il saldo è -1€
- se vinco, ricevo il mio euro più altri 8, totale 9€ Supponiamo di scommettere 1000 volte, per quanto detto nell’interpretazione frequentista, mi aspetto che la percentuale di volte in cui vinco si avvicini a P(Q) = 4/37, diciamo sia esattamente P(Q): vinco dunque 1000 × 4/37 = 108 volte. Ma dunque ogni volta ho pagato 1€ per giocare, totale 1000€ per 108 volte ho vinto, ricevendo 9 × 108 = 972€. Alla fine, dunque, torno a casa con 28€ in meno, in media, si perde, ovvero, è più probabile perdere che vincere. Si perde ‘in media’ perché la somma che si vince è inferiore al reciproco della probabilità di vittoria. Il saldo sopra sarebbe 0 se in caso di vittoria si ricevesse 37/4 = 9. Questa differenza è il margine del casinò, c’è in tutti i giochi organizzati, o il banco non guadagnerebbe. Questo vantaggio della casa può essere più o meno alto.
Variabili casuali Perché le variabili casuali? Parlando di esperimenti, eventi e probabilità abbiamo visto che:
• i possibili eventi associati all’esperimento costituiscono lo spazio campionario Ω
- a ciascun evento è associata una probabilità
- la somma di tutte queste probabilità deve essere uguale a 1. Tuttavia, nel trattare i problemi del mondo reale è scomodo trattare direttamente gli eventi ⇒variabili casuali Definendo le variabili casuali... ...stiamo trovando una regola in base alla quale associare un numero reale ad ogni possibile risultato di un esperimento (cioè a ciascun elemento di Ω ) Definizione di variabile casuale Dato uno spazio di eventi Ò una variabile casuale (o aleatoria) è una funzione da Ω a R X : Ω → R
- a ogni elemento dello spazio campionario Ò è associato un valore
- più eventi diversi possono essere associati allo stesso valore. Variabile casuale Esempi: Un’importante distinzione La somma dei punti di due dadi. DISCRETO Il numero di teste su 3 lanci di moneta. DISCRETO Il numero di incidenti di un assicurato RC auto. DISCRETO Il ritardo con cui arriva un treno. CONTINUO Il peso di un neonato. CONTINUO Tratteremo separatamente i due casi: I v.a. discreta, cioè che assume valori interi. I v.a. continua, cioè che assume valori reali (eventualmente in un intervallo). Variabili casuali discrete e continue
- v.a. discreta ⇒funzione di probabilità
- v.a. continua ⇒funzione di densità Notazione:
- la variabile casuale (sia essa discreta o continua) verrà indicata con una lettera maiuscola (ad esempio, X)
- una sua determinazione verrà indicata con la corrispondente lettera minuscola (ad esempio, xi ) Distribuzione di probabilità per una v.c. discreta Si definisce funzione di probabilità di una v.c. discreta X una funzione che associa a ognuno dei possibili valori xi la corrispondente probabilità P(X = xi ). Funzione di probabilità: proprietà Esempio: lancio di un dado Esempio: la roulette
In alcune situazioni puó essere utile ricorrere alla seguente relazione P(X > xi ) = 1 − P(X ≤ xi ) ovvero: P(X > xi ) = 1 − F(xi ) Esempio: lancio di un dado: Distribuzione di Bernoulli Distribuzione Binomiale Consideriamo un esperimento con due possibili esiti: successo e insuccesso e indichiamo con π la
probabilità di successo e con 1 − π quella di insuccesso. Supponiamo di effettuare n prove indipendenti e
nelle stesse identiche condizioni. Indichiamo con: X1 il risultato nella prima prova, X2 il risultato nella seconda prova, ... , Xn il risultato nella n-esima prova. Cosa possiamo dire sulla somma X = X1 + X2 + ··· + Xn? Esempio: Per n=5 si ha: X1 = 0, X2 = 1, X3 = 1, X4 = 0, X5 = 0 ⇒X= X1 = 1, X2 = 0, X3 = 1, X4 = 1, X5 = 0 ⇒X= Esempio: Binomiale Si stima che l’86% delle famiglie italiane possieda più di un telefono cellulare. In un campione di 20 famiglie, a. qual è la pobabilità che esattamente 15 famiglie posseggano più di un cellulare? b. qual è la pobabilità che almeno 18 famiglie posseggano più di un cellulare? c. qual è la pobabilità che meno di 18 famiglie posseggano più di un cellulare? Esempio: Binomiale Svolgimento
Distribuzione di Poisson La distribuzione di Poisson viene impiegata quando il fenomeno aleatorio è composto dal conteggio delle occorrenze in uno specifico intervallo di tempo, in una determinata area o in un altro contesto. Esempio: Poisson Una squadra di calcio segna un numero di goal a partita che si ritiene distribuito secondo una Poisson e mediamente segna 1.5 goal a partita. (1) Si dica qual è la probabilità che nella prossima partita la squadra non segni goal. (2) Si dica qual è la probabilità che nella prossima partita la squadra segni più di 4 goal. Variabili casuali continue Esempi di v.a. continue Una variabile aleatoria continua è una v.a. i cui valori possibili sono numeri reali, ad esempio
- il ritardo di un treno;
- la temperatura di domani alle 12;
- il peso di un neonato;
- il prezzo in un istante futuro di un titolo finanziario;
- il tasso d’interesse futuro;
- i ricavi di un’azienda il prossimo anno. Perché le trattiamo a parte? Principalmente perché è diverso il modo di esprimere la loro distribuzione di probabilità. Distribuzione di probabilità di una v.a. continua In statistica descrittiva abbiamo descritto la distribuzione di frequenza di variabili continue per intervalli. Ad esempio con riferimento ai ritardi di un treno potremmo avere
Funzione di densità: definizione Funzione di ripartizione La distribuzione normale: principali caratteristiche La distribuzione continua che si incontra più frequentemente è la normale o gaussiana, la cui densità ha la seguente forma Esempio: altezze Distribuzione delle altezze tra gli studenti maschi
Parametri della normale
Esercizio: temperature a RE La temperatura media a Reggio Emilia in un giorno di aprile è una variabile aleatoria che è ben descritta da una normale di media 13.5. Sapendo che è 0.71 la probabilità che la temperatura sia inferiore a 15, possiamo ricavare la deviazione standard? La risposta è sì.
