Distribuzioni Campionarie e Media: Popolazioni Finite e Infinita, Dispense di Psicometria

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Popolazioni e Campioni

Parametri e Indicatori

Distribuzione Campionaria della Media

Popolazioni

• POPOLAZIONE (universo): insieme di elementi (individui/item/osservazioni) cui si rivolge il ricercatore per la sua ricerca.

Può essere FINITA se l’ampiezza della popolazione è determinabile. Es: punteggi in un test di intelligenza ottenuti da un gruppo di aspiranti ad un posto di lavoro.

Può essere INFINITA se l’ampiezza della popolazione non è determinabile.

Il Campionamento casuale è quello

che a parità di altre condizioni, dà

maggiori garanzie che il campione sia

rappresentativo.

• Con reinserimento
• Senza reinserimento

PARAMETRI & INDICATORI

PARAMETRO (popolazione) : è una caratteristica della popolazione espressa con un simbolo o con un numero. Un esempio è rappresentato dalla media e/o dalla varianza.

INDICATORE O STATISTICA (campione) : è un’espressione formale o un valore che descrive una caratteristica di un campione di ampiezza n.

La distribuzione campionaria

delle medie

vs

Le distribuzioni di probabilità teoriche permettono di

associare ad un singolo evento/caso la sua probabilità

di verificarsi

Per determinare con quale probabilità è possibile

estrarre casualmente da una popolazione un campione

con media superiore o inferiore ad un certo punteggio

usiamo le DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE

DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA

• È una distribuzione di probabilità relativa ad una STATISTICA specifica che viene calcolata su tutti i possibili campioni di ampiezza n estraibili dalla popolazione di interesse.
• Per costruire una distribuzione campionaria è necessario:
  1. Individuare tutti i possibili campioni di ampiezza n estraibili dalla popolazione
  2. Calcolare per ogni campione la statistica di cui ci interessa determinare la distribuzione
  3. Determinare la frequenza per ogni valore osservabile della statistica (nella binomiale la frequenza è relativa ai singoli casi, qui è relativa a campioni).

Nel caso di probabilità…

• Variabile: superamento di un esame
• Distribuzione teorica: distribuzione binomiale del numero di successi/persone che hanno superato l’esame
• Distribuzione campionaria: distribuzione del numero medio di successi/di persone che hanno superato l’esame in ogni campione estratto

FUNZIONE CAMPIONARIA DELLA

MEDIA: proprietà 1

• La media delle medie dei campioni coincide con la media della popolazione dalla quale i campioni sono stati estratti

Media della popolazione

Media delle medie dei campioni

Anche se la media della distribuzione campionaria è uguale alla media della popolazione, le due distribuzioni non coincidono perché la loro forma dipende dall’ampiezza n dei campioni

Man mano che l’ampiezza dei campioni aumenta, la media di ciascuno di essi diviene una stima sempre più precisa della media della popolazione che coincidono quando n=N (cioè i campioni estratti coincidono con la popolazione).

Quindi c’è una relazione tra la variabilità della distribuzione campionaria delle medie, la varianza della popolazione e l’ampiezza del campione

Più l’ampiezza del campione è grande, tanto più la varianza della funzione campionaria della media diminuisce.

Di conseguenza all’aumentare di n la variabilità della distribuzione diminuisce fino a tendere a 0 ( LEGGE DEI GRANDI NUMERI ).

Data la presenza di una media e di una varianza, si può dedurre che anche la forma della distribuzione campionaria delle medie dipende dalla forma della distribuzione della popolazione.

Ma quest’ultima non sempre è nota! Ma il Teorema del Limite Centrale ci dimostra che per campioni di ampiezza abbastanza grande (n>30), la distribuzione campionaria delle medie si approssima alla distribuzione normale qualunque sia la forma della distribuzione della popolazione.

Il ricercatore lavorando con campioni e non con popolazioni, e non conoscendo le caratteristiche della popolazione, riescono a utilizzare i metodi di inferenza statistica per la verifica delle ipotesi.

FUNZIONE CAMPIONARIA DELLA

MEDIA: proprietà

• Quando la deviazione standard della popolazione NON E’ NOTA per calcolare l’errore standard è necessario stimarlo a partire da quello campionario

La varianza di una popolazione è

La varianza di un campione è

Se il campione è numeroso….

• Se n>30, anche se la variabile è su scala

nominale/dicotomica, la distribuzione si

approssima alla normale ed usiamo i PUNTI Z

• La classica procedura di standardizzazione implica

Quando i campioni sono indipendenti e le varianze sono uguali

Quando i campioni sono indipendenti e le varianze sono diverse