Indici di variabilità e di forma: variabilità e indici relativi, Dispense di Statistica

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Corso diStatistica ICod. 87097^ 9 crediti

4.^

Indici di variabilità e di forma

Indice degli argomentiIndice degli argomenti

La variabilità di una distribuzioneIndici assoluti e indici relativi di variabilitàBox-plotCenni sugli indici di forma: simmetria e asimmetria

Variabilità

Esempio

: se si usa la media aritmetica per confrontare queste distribuzioni non emergono differenze (anche se le distribuzionipresentano differenze…).Studente A

Studente B

Studente C

Voto Provare a raffresentare graficamente le 3 distribuzioni.

Esami 24

(^15) n =

Voto

Esami 22

2

23

2

24

5

25

(^6) n = 15

Voto

Esami 18

2

22

3

24

5

26

3

30

(^2) n = 15

xA

=^ 24

xB

=^ 24

xC^

=^2

4

Variabilità

Un

indice

di

variabilità

deve

soddisfare

almeno

due

requisiti:

1. deve assumere il valore

zero

se e solo se tutte le unità

della distribuzione presentano uguale modalità delcarattere (distribuzione degenere),

1. deve aumentare all’aumentare della “diversità” tra le

modalità assunte dalle varie unità.

Varianza: distribuzione di frequenzaVarianza: distribuzione di frequenza

La varianza di una distribuzione di frequenza è pari a:Se le modalità sono raggruppate in classi si usa il valorecentrale di classe

cj. Var

( X )^ =

(^2) σ =^

1^ n^

x − j^

x (^

(^2) )

k ^ j =^1

nj^

=^

x − j^

x (^

(^2) )

k ^ j =^1

fj

Deviazione standardDeviazione standard

Osservazione

: la varianza non è espressa nella stessa unità

di misura dei valori della distribuzione, ma nell’unità dimisura elevata al

quadrato

Si^

può

utilizzare

perciò

come

indice

di

variabilità

la

deviazione standard

o^

scarto quadratico medio

che è

espresso nella stessa unità di misura del carattere:

(^2) σ

σ^

=

Varianza: esempioVarianza: esempio

Sia X il carattere che esprime il numero di imprese (migliaia) incinque regioni italiane.^ xa^

(^776) =

=^ 155.2 5 (^2) σ =

=^5 6557.76 migliaia

2 (formula 1)

(^2) σ = (^153224)

−155.2 5

2 =^ 6557.76 (formula alternativa)

σ^ =

=^ 80.98 migliaia

Regione

xi^

(x-115.2)i

2

(^2) xi

Piemonte

268

71824

Marche

106

11236

Abruzzo

76

5776

Campania

238

56644

Calabria

88

7744

n^ = 5

Tot=

6

153224

Proprietà della varianzaProprietà della varianza

Varianza di una

trasformazione lineare

Dato un carattere X con media aritmetica

e varianza

si considera la trasformazione lineare

Y=a+bX

Segue che(vedi demo)Per la deviazione standard vale che

σ

(^2) Y

=^

2 b

σ^

(^2) X

2 σ X

xa

σ Y^

=^

b

σ^

X

Un esempio di confronto di variabilità

Si considerino 9 industrie con dispositivo anti-inquinante di tipo A e 9industrie con dispositivo di tipo B. Sia

X^ la quantità di pulviscolo emessa.

Tipo

Quantità di pulviscolo

A^

69

80

44

52

54

54

86

77

66

B^

35

62

43

23

30

28

22

40

25

xA^

=^6

4 ,^6

7

xB^

=^3

4 ,^2

2

σ^ A

=^1

3 ,^6

5

σ^ B

=^1

2 ,^0

2

(^21) , 0 = A CV

(^35) , 0 = B CV

Si può concludere che la distribuzione B presenta una maggior variabilitàrispetto alla distribuzione A.

Altri indici assoluti di variabilitàAltri indici assoluti di variabilità

Scostamento

semplice

medio dalla media aritmetica:

Scostamento

semplice

medio dalla mediana: S =^ Me^

1 n^

x − i^

Me n  i =^1 SMe

(^1) = (^) n

x − j^

Me k ^ j =^1

nj

S = x^

1 n^

x − i^

xa n  i =^1 S = x^

1 n^

x − j^

xa k ^ j =^1

nj

SMe

≤^ Sx

≤ σ

Box - plot

Un^

modo

per

rappresentare

graficamente

la^

variabilità

di

una

distribuzione è dato dal box-plot.Il^ box-plot

è un grafico caratterizzato da tre elementi:

1.una linea (o punto), che indica la posizione della mediana delladistribuzione;2.un rettangolo (o box o scatola) la cui altezza indica la variabilitàdei valori “prossimi” alla mediana, mediante il primo e il terzoquartile;3.due segmenti che partono dagli estremi del rettangolo: dal primoquartile al valore minimo e dal terzo quartile al valore massimo.

Max = 10Min = 1 Q3=5Q1=3 Valore mediano:Me=

Atti aggressivi^121086420

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frequenza

3

8

30

45

22

12

10

5

2

1

n =

Box – plot: esempioBox – plot: esempio

Box – plot: valori anomali/estremi/outliersBox – plot: valori anomali/estremi/outliers

Sono considerati valori anomali quei valori di X che verificano unadelle seguenti relazioni:In presenza di valori anomali i baffi del box-plot sono posti incorrispondenza del primo valore non anomalo della distribuzione.

x > i^

Q^3

+^1

.^5 W

x < i^

Q^1

−1.

W

Box – plot: esempioBox – plot: esempio

Si consideri la seguente distribuzione unitaria:Si ottiene: Q1=(-0.33 + -0.01)/2=- 0.17Q2=(0.51 + 0.54)/2=0.525Q3=(1.59 + 1.69)/2=1.

.

Inoltre: Risulta quindi che i valori 5 (>4.355) e -3 (<-2.855) sono valorianomali. Il baffo inferiore è posto in corrispondenza di -2.29 e quellosuperiore in corrispondenza di 2.50 (si veda pagina successiva).

x > i^

Q^3

+^1

.^5 W

=^1

.^64

+^1

.^5 (^1 .^64

+^0

.^17

)^ = 4.^3

55

x < i^

Q^1

−1.

W^

= −

−1.5(1.

+^ 0.17)

=^ -2.

-^ 0.^ 1.^ 1.^

-0.^

-2.^

2.^ 0.^ 0.^

-0.^

0.^

5