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MATEMATICA GENERALE - 30/01/2024 - I TURNO
PRIMA PARTE
Per ogni quesito la risposta esatta e unica. Ogni risposta esatta vale 1,5 punti. Ogni risposta errata o mancante vale zero punti. Per accedere alla seconda parte e/o per estinguere il debito formativoe necessario ottenere un punteggio non inferiore a 6 nella prima parte. La prova dura 90 minuti.
- Siano x^1 =
(^) , x^2 =
(^) e x^3 =
(^). Allora
A i 3 vettori sono linearmente indipendenti B nessuna delle alternative C x^1 e combinazione lineare di x^2 e x^3 D x^3e combinazione lineare di x^1 e x^2
- Sia
f (x) =
x + 1, x ≤ − 3
−ex+3, x > − 3 Allora f sul suo dominio `e:
A f e convessa B fe concava C f nessuna delle alternative D `e continua
- L’inversa della matrice
A =
`e:
A
1 4 −^
3 4
3 4 − 14 − (^1414)
B
C
D
1 4 −^
3 4 −^
1 4 − (^343414)
- Una primitiva della funzione f (x) = x^5 log x `e: A F (x) = (^16)
x^6 log x − 16 x^6
B F (x) = 5x^3 C nessuna delle alternative D F (x) = 5x^4 log x + x^4
- Sia A il dominio della funzione
f (x) = log
ex^ − 3 1 − x Allora A `e: A non limitato B chiuso C nessuna delle alternative D compatto
- Sul suo dominio la funzione f (x) = −(x + 5)ex ammette A nessuna delle alternative B un punto di flesso C un punto di minimo relativo D un punto di minimo assoluto
- L’equazione della retta tangente al grafico della funzione
f (x) = log(2 − x)^3
nel punto x 0 = −1 `e: A y = 3 log 3 + (x + 1) B nessuna delle alternative C y = −(x + 1) D y = 3 log 3 − (x + 1)
- Il gradiente della funzione
f (x, y) = xyex
3
`e: A (y(1 + 3x^3 )ex 3 , xex 3 ) B (yex 3 , x(1 + 3x^3 )ex 3 )
C ((1 + 3x^3 )ex
3 , ex
3 ) D (ex
3 , (1 + 3x^3 )ex
3 )
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MATEMATICA GENERALE - 30/01/
SECONDA PARTE
Rispondere alle seguenti domande aperte negli appositi spazi sul foglio di testo. Le risposte devono essere motivate da adeguati passaggi. Non verranno accettati fogli aggiuntivi PER NESSUNA RAGIONE. Questa seconda parte verrà corretta solo se lo studente ha totalizzato un punteggio non inferiore a 6 nella prima parte. La prova si considera superata solo se la somma dei punteggi delle due parti è non inferiore a 18/30. Un punteggio superiore a 30/30 dà diritto alla lode.
a) (6 punti) Enunciare le condizioni sufficienti di integrabilità di una funzione f : [a, b] → R. Dopo aver studiato il segno di f ed averne tracciato il grafico qualitativo, determinare l’area compresa fra il grafico della funzione f (x) = x^2 + 4x e l’asse delle ascisse nell’intervallo [− 1 , 2]. soluzione Ecco tre condizioni sufficienti di integrabilità:
- Se f è continua su [a, b], allora f è integrabile su [a, b].
- Se f è limitata su [a, b] ed ha in [a, b] un numero finito di punti di discontinuità, allora f è integrabile su [a, b].
- Se f è monotòna su [a, b], allora f è integrabile su [a, b].
La funzione data è una parabola che si annulla nei punti x = 0 e x = − 4 ; il vertice è nel punto x = − 2. f (x) < 0 per x ∈ (− 4 , 0) f (x) > 0 per x ∈ (−∞, −4) ∪ (0, +∞)
x
y
− 4
− 1 0 2
Per il calcolo dell’area richiesta occorre valutare due integrali, in base al segno della funzione f : dove la funzione è negativa si integra la funzione con il segno opposto, dove la funzione è positiva si integra la funzione stessa. Quindi
area =
− 1
−f (x) dx +
0
f (x) dx
− 1
(x^2 + 4x) dx +
0
(x^2 + 4x) dx
[
x^3 3
] 0
− 1
[
x^3 3
] 2
0 = −
b) (7 punti) Sia f : (a, b) −→ R. b1) Dare la definizione di derivata (prima) di f in x 0 ; b2) La funzione
f (x) =
1 x ,^ x^ ≥^1
e^3 x−^3 , x < 1 è continua su R? (motivare la risposta ed indicare eventuali punti e specie di discontinuità) b3) f è derivabile su R? (motivare la risposta ed indicare eventuali punti in cui la funzione è continua ma non derivabile, classificandoli) soluzione b1) Per la definizione vd. il libro di testo. b2) La funzione è continua sugli intervalli (−∞, 1) e (1, +∞). Nel punto x = 1 si ha
lim x→ 1 −
f (x) = lim x→ 1 −
e^3 x−^3 = 1
lim x→ 1 +^
f (x) = lim x→ 1 +
x
f (1) = 1
Dunque la funzione f è continua anche nel punto x = 1 e allora è continua in tutto R. b3) La funzione è derivabile in ogni punto x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, +∞). Verifichiamo se è derivabile nel punto x = 1.
La derivata destra in x = 1 è data dal valore della derivata della funzione g(x) =
x
nel punto x = 1; si ha g′(x) = −
x^2
e
dunque g′(1) = − 1. La derivata sinistra in x = 1 è data dal valore della derivata della funzione h(x) = e^3 x−^3 nel punto x = 1; si ha h′(x) = 3e^3 x−^3 e dunque h′(1) = 3. Essendo −1 = f (^) +′(1) 6 = f (^) −′(1) = 3
si ha che la funzione f non è derivabile nel punto x = 1. Inoltre x = 1 è punto angoloso.
Può essere utile tracciare il grafico della funzione f (anche se non è richiesto); per x ≥ 1 si tratta di iperbole equilatera e per x < 1 è il grafico della funzione φ(x) = e^3 x^ traslato a destra di 1 (infatti e3(x−1)^ = e^3 x−^3 ).
x
y
0 1
1
