soluzione exercise calcolo numerico, Esercizi di Calcolo Numerico

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MATLAB

EXERCISE

1 Aritmetica di macchina

• In un calcolatore i numeri vengono rappresentati in aritmetica floating-point, con base , cifre di mantissa e tecnica di arrotondamento rounding to even. Detta la precisione di macchina, quale delle seguenti affermazioni e' vera? = (1/2)N(1-t)^ = 2-^12 -^6 = 2-^7 La risposta corretta è:
• In un calcolatore i numeri vengono rappresentati in aritmetica floating-point, con base , cifre di mantissa e tecnica di arrotondamento rounding to even. Assegnati i numeri e si effettua l'operazione. Dire in quale caso si presenta il fenomeno della cancellazione numerica. La cancellazione numerica non si verifica mai con esponenti diversi (2 e 3) La risposta corretta è: per nessun
• Sia e sia. Sia inoltre l'approssimazione del limite notevole. Quale valore di tra quelli proposti restituisce il risultato piu' accurato? errmin=10; i=0; for n=1: h=10^(-n); y=(1-cos(h))/(h^2); err=abs(y-(1/2))/(1/2); if err<errmin errmin=err; i=n; end end i La risposta corretta è: 4

x=10^(-12); f1=(exp(3x)-1)/x; f2=3+(9x/factorial(2))+(27x^2/factorial(3))+(81x^3/factorial(4))+(243*x^4/ f actorial(5)); err=abs(f2-f1)/abs(f2) La risposta corretta è:

• Sia e si supponga di rappresentarlo in aritmetica finita in base 10, con arrotondamento e numero massimo di cifre per la mantissa pari a 8. La sua rappresentazione normalizzata e': La risposta corretta è:
• Valutare per. Successivamente riformulare al fine di evitare il fenomeno della cancellazione numerica e, assumendo come valore esatto quello che si ottiene mediante la riformulazione proposta, calcolare l'errore relativo associato a. Esso vale all'incirca: x=10^-4; y=7-sqrt(49+x^2); y_=(-x^2)/(7+sqrt(49+x^2)); % si elimina la canc.num. razionalizzando err=abs(y-y_)/abs(y) La risposta corretta è:
• In un calcolatore i numeri vengono rappresentati in aritmetica floating-point, con base , cifre di mantissa e tecnica di arrotondamento rounding to even. Assegnati i numeri e si effettua l'operazione. Detta la precisione di macchina e posto , quale delle seguenti affermazioni e' vera? a=2.136797; b=2.133500; s=a-b; a_=0.213710; b_=0.213410; s_=a_-b_; errmacc=(1/2)*10^(1-4) diffrel=abs(s-s_)/abs(s) La risposta corretta è: la differenza relativa tra e e' maggiore di

• Valutare per. Successivamente riformulare al fine di evitare il fenomeno della cancellazione numerica e, assumendo come valore esatto quello che si ottiene mediante la riformulazione proposta, calcolare l'errore relativo associato a. Esso vale all'incirca: x=10^-8; f=@(x) sqrt((exp(x)-1)/x); yerr=f(x); f2=0; for i=1: f2=f2+x^(i-1)/factorial(i); end y=sqrt(f2); err=abs(y-yerr)/abs(y) La risposta corretta è:
• Si consideri un'aritmetica di macchina con base , cifre di mantissa, e tecnica di arrotondamento "rounding to even". Quanti numeri macchina strettamente maggiori di uno in valore assoluto esistono in tale aritmetica? La risposta corretta è: 6
• Si consideri un'aritmetica di macchina con base , cifre di mantissa, e tecnica di arrotondamento "rounding to even". Quanti numeri di macchina maggiori di zero esistono in tale aritmetica? La risposta corretta è: 24

• Determinare il polinomio interpolante la funzione in nodi equispaziati dell'intervallo. Il massimo errore assoluto d'interpolazione in punti equidistanti dell'intervallo di interpolazione vale all'incirca: n=20; f=@(x) exp(-x+x.^4+1); x=linspace(-1,1,n); y=f(x); c=polyfit(x,y,(n-1)); z=linspace(-1,1,2000); p=polyval(c,z); err=max(abs(f(z)-p)) La risposta corretta è:
• Dati nodi di interpolazione distinti, esiste ed e' unico il polinomio interpolante avente grado minore o uguale a La risposta corretta è: n
• Si consideri. Si costruisca il polinomio interpolante nei punti di ascissa. Il valore di e' circa f=@(x) 1+x.^2.*log(2+x); x=[0.3,0.6,0.9,1.2,1.5]; n=5; y=f(x); c=polyfit(x,y,(n-1)); z=3; p=polyval(c,z); abs(f(z)-p) La risposta corretta è: 0.
• La spline cubica interpolante e soddisfacente le condizioni not-a- knot La risposta corretta è: e' una funzione polinomiale a tratti continua
• Per costruire una spline del secondo ordine interpolante i dati per si usano i comandi La risposta corretta è: nessuna delle altre {[s,2]=spline(x,y,z); s=spline(x,y,2); s=spline(x,y,z)}

• Calcolare il polinomio interpolante la funzione in punti equispaziati dell'intervallo . Quanto vale l'errore di interpolazione nei punti e? n=8; f=@(x) atan(x.*(x+1)); x=linspace(0,1,n); y=f(x); c=polyfit(x,y,(n-1)); p1=polyval(c,0.5); err1=abs(f(0.5)-p1) p2=polyval(c,0.7); err2=abs(f(0.7)-p2) La risposta corretta è: all'incirca e all'incirca
• Sia data la funzione e sia dato il polinomio approssimante sull’intervallo costruito interpolando con un polinomio di grado 6 nei nodi di Chebyshev sull’intervallo. L’errore di interpolazione in norma infinito vale: f=@(x) sin(x)+exp(2./(1+x.^2)); n=6; a=-2; b=5; for i=1:(n+1) t(i)=-cos(((2.i-1).pi)./(2(n+1))); x(i)=(((b-a)/2).t(i))+((b+a)/2); end y=f(x); c=polyfit(x,y,n); z=linspace(-2,5); p=polyval(c,z); norm((f(z)-p),inf) La risposta corretta è: 1.
• Si considerino cinque nodi di interpolazione aventi ascisse [0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0] e ordinate ottenute tramite la trasformazione. Quale valore assume la spline cubica ottenuta con condizioni not-a-knot in? f=@(x) (sin(x)-(x+1).^2)./(x.^2+3); x=[0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0]; y=f(x); z=1.97; s=spline(x,y,z) La risposta corretta è: - 1.

La spline cubica è continua nella sua derivata seconda, imponendo le cond. di continuità (limite), ci si ricava a La risposta corretta è:

• Sia data la funzione e sia data la successione dei polinomi approssimanti sull’intervallo costruita interpolando con un polinomio, di grado via via crescente, nei nodi di Chebyshev sull’intervallo. Tale successione: La risposta corretta è: converge uniformemente a
• Quale dei seguenti comandi costruisce il polinomio fondamentale di Lagrange (cioè il polinomio della base di Lagrange) associato al primo di tre nodi? La risposta corretta è: c=polyfit(x,[1,0,0],2)
• Data la funzione , si denoti con il polinomio che interpola nei quattro punti equidistanti nell'intervallo. Qual e' il valore di? n=4; f=@(x) cos(x); x=linspace(0,2*pi,n); y=f(x); c=polyfit(x,y,(n-1)); z=pi/8; p=polyval(c,z) La risposta corretta è: 6.0449e- 01
• La spline cubica naturale e interpolante La risposta corretta è: e' univocamente determinata
• La spline cubica not-a-knot e interpolante una funzione continua La risposta corretta è: converge a qualunque sia la scelta dei nodi di interpolazione

• Si interpoli la funzione con un polinomio usando 5 nodi equidistanti in. In il polinomio interpolante assume il valore: n=5; f=@(x) sin(x); x=linspace(0,pi,n); y=f(x); c=polyfit(x,y,(n-1)); z=pi/8; p=polyval(c,z) La risposta corretta è:
• Assegnati i dati (-1,4), (1,3), (7,10), (9,10), (19,9), la spline di tipo not-a-knot interpolante i dati nel punto vale: x=[-1,1,7,9,19]; y=[4,3,10,10,9]; z=log(0.9); s=spline(x,y,z) La risposta corretta è: 3.07619569e+
• Assegnati i dati (-5,6), (4,2), (5,4), (11,10), la spline vincolata con dati e interpolante i dati nel punto vale: x=[-5,4,5,11]; y=[6,2,4,10]; z=sqrt(1.8); d0=10; dn=4; s=spline(x,[d0 y dn],z) La risposta corretta è: 6.72470464e+
• Data la funzione , l'espressione del polinomio che la interpola su 7 nodi equidistanti dell'intervallo e'? La risposta corretta è: si', perche' il polinomio interpolante ha grado minimo minore o uguale a 6

• Qual e' l'espressione del polinomio interpolante la funzione in nodi equispaziati dell'intervallo? n=9; f=@(x) x.^5-2.*x.^3+1; x=linspace(0,1,9); y=f(x); c=polyfit(x,y,(n-1)) La risposta corretta è:
• Il coefficiente del termine di grado massimo del polinomio interpolante la funzione in punti equispaziati dell'intervallo vale all'incirca: n=8; f=@(x) 1./(x.^3+5); x=linspace(0,1,n); y=f(x); c=polyfit(x,y,(n-1)) % il coeff. di grado massimo è il primo La risposta corretta è:
• Interpolare la funzione con un polinomio di grado (al piu') 6 usando un opportuno numero di nodi equidistanti dell'intervallo , estremi inclusi. Approssimare la norma infinito dell'errore di interpolazione, valutandolo in punti equidistanti dell'intervallo. Essa vale all'incirca... n=7; f=@(x) exp(x)./(x.^2+1); x=linspace(-1,1,n); y=f(x); z=linspace(-1,1,100); c=polyfit(x,y,6); p=polyval(c,z); err=abs(f(z)-p); norm(err,inf) La risposta corretta è:

3 Sistemi lineari determinati

• Sia una matrice simmetrica tridiagonale di ordine con gli elementi della diagonale principale uguali a e quelli delle codiagonali (inferiore e superiore) uguali a. Sia una matrice di ordine , il cui esimo vettore colonna e' definito da elementi equispaziati in ,. Risolvere i sistemi. La norma del vettore vale all'incirca: A=6eye(18)+3diag(ones(17,1),1)+3*diag(ones(17,1),- 1); x=zeros(18,3); for j=1: b=linspace(0,j,18)'; x(:,j)=A\b; end s=sum(x,2); norm(s) La risposta corretta è:
• Si calcoli la fattorizzazione della matrice A=hilb(4). Indicando con i vettori colonna della base canonica di , la matrice di permutazione che si ottiene e': A=hilb(4); P = 1=e1 0 0 0 [L,U,P]=lu(A); 0 0 1=e2 0 P 0 1=e3 0 0 0 0 0 1=e La risposta corretta è:
• Qual e' tra quelli proposti il metodo piu' efficiente per risolvere il sistema lineare con quadrata, densa, di piccole dimensioni e non singolare? La risposta corretta è: calcolare la fattorizzazione di
• Siano assegnati la matrice e il vettore. L'istruzione Matlab per risolvere il sistema e' La risposta corretta è: x = A\b;

• Sia un sistema lineare di ordine , ove e' simmetrica e tridiagonale con tutti gli elementi uguali a sulla diagonale principale e uguali a sulle codiagonali superiore e inferiore e ha elementi equispaziati in. Calcolare gli autovalori della matrice e, in base alla proprieta' di quest'ultimi, risolvere il sistema lineare mediante la risoluzione di due sistemi triangolari, utilizzando la fattorizzazione di piu' efficiente in termini di costo computazionale. La norma del vettore ottenuto come somma del vettore soluzione del sistema triangolare inferiore associato al metodo e del vettore soluzione del sistema triangolare superiore, vale all'incirca: A=6eye(18)+3diag(ones(17,1),1)+3*diag(ones(17,1),-1); b=linspace(5,8,18)'; R=chol(A); y=R'\b; x=R\y; s=x+y; norm(s,1) La risposta corretta è:
• Si applichi il primo passo del metodo delle eliminazioni di Gauss al sistema lineare , con Come cambiano la matrice e il vettore? Il primo passo consiste nel manipolare la matrice (A|b) in modo tale da avere tutti zeri sotto il primo elemento della prima riga (2). La risposta corretta è: e
• Se la matrice del sistema e' simmetrica definita positiva La risposta corretta è: il comando chol fornisce una matrice triangolare superiore

• L'elemento del fattore di Cholesky della matrice A=[6pi,3,2,1;3,7pi,1,0;2,1,6,0;1,0,0,4]; R=chol(A); R(3,3) La risposta corretta è: 2.
• Per risolvere un sistema diagonale di dimensione si puo' usare la sequenza di comandi La risposta corretta è: x=b./diag(A)
• Il metodo di eliminazione gaussiana La risposta corretta è: fornisce la soluzione esatta se usato con una aritmetica di precisione infinita