Soluzioni seconda prova 2016 | Prove svolte di Maturità di Matematica

PROBLEMA2



1a)

Tracciamoilgraficodellafunzione′󰇛󰇜,supponendogeneralmentederivabileduevolte.

Dalgraficodideduciamo󰆒󰇛0󰇜∞.

Sempredalgraficodirelativamenteall’arco,deduciamocheècrescente(haquindiderivataprima

nonnegativa:′  0ovverolafunzionedicuistiamocercandoilgraficoènonnegativanell’intervalloin

questione)econcava;haquindiderivatasecondanonpositiva:󰆒󰆒 󰇛′󰇜′0equindilanostrafunzione

′risulteràdecrescente.

󰆒󰇛1󰇜0,inquantoilpuntoèmassimorelativoperilgraficodi.

Consideriamoadessoilgraficodirelativamenteall’arcoeragioniamocomesopra.Lafunzioneè

decrescente:′  0equindilanostrafunzionesarànonpositiva.Lafunzioneèancheconcava:

󰆒󰆒 󰇛󰆒󰇜′  0equindilanostrafunzione′saràunafunzionedecrescente.

Pergliarchiesiragionainmodoanalogo.

Per8,lafunzioneèdatada󰇛󰇜 2󰇛8󰇜,equazionedellarettapassanteperipuntie,equindi

risulta󰆒󰇛󰇜2.

Ungraficoqualitativodi′,chenonriesceatenercontodeglieventualisuoipuntidiflesso,èilseguente:



Perquantoriguardaivaloridi′neiduepuntirichiesti,dalleinformazionisullerettetangentialgraficodi

neipuntie,abbiamo󰆒󰇛3󰇜2,󰆒󰇛5󰇜

.

1b)

Pertracciareilgraficodellafunzioneintegrale,cominciamoconl’osservareche󰇛0󰇜0eche󰇛󰇜è

sicuramentepositivaper5.

Cominciamoadessoaconsiderarel’arco.Da󰆒0,seguecheèunafunzionecrescente;da

󰆒󰆒 󰆒0,seguecheèunafunzioneconvessa.Inparticolarerisulta󰆒󰇛0󰇜󰇛0󰇜1.

Consideriamoadessol’arcoeragioniamoinmodoanalogo.Da󰆒0,seguecheèunafunzione

crescente;da󰆒󰆒 󰆒0,seguecheèunafunzioneconcava.Inparticolareilvalore󰇛5󰇜èdato

dall’areadellaregionedelimitatadall’arcoovveroda11;󰆒󰇛5󰇜󰇛5󰇜0.

Ragionandoinmododeltuttosimilepergliarchi,eper8,siricavailseguentegrafico

qualitativo.

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PROBLEMA 2

1 a) Tracciamo il grafico della funzione ሻݔ′ሺ ݂ൌ ݕ , supponendo ݂ generalmente derivabile due volte. Dal grafico di ݂ deduciamo ݂ ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ ൅∞. Sempre dal grafico di ݂ relativamente all’arco ܤܣ, deduciamo che ݂ è crescente (ha quindi derivata prima non negativa: ݂ ′ ൒ 0 ovvero la funzione di cui stiamo cercando il grafico è non negativa nell’intervallo in questione) e concava; ha quindi derivata seconda non positiva: ݂ ᇱᇱ^ ൌ ሺ݂′ሻ′ ൑ 0 e quindi la nostra funzione ݂ ′ risulterà decrescente. ݂ ᇱ^ ሺ1ሻ ൌ 0, in quanto il punto ܤ è massimo relativo per il grafico di ݂. Consideriamo adesso il grafico di ݂ relativamente all’arco ܥܤ e ragioniamo come sopra. La funzione ݂ è decrescente: ݂ ′ ൑ 0 e quindi la nostra funzione sarà non positiva. La funzione ݂ è anche concava: ݂ ᇱᇱ^ ݂ሺ ൌ ᇱ^ ሻ′ ൑ 0 e quindi la nostra funzione ݂ ′ sarà una funzione decrescente. Per gli archi ܧܥ e ܨܧ si ragiona in modo analogo. Per ݔ൒ 8, la funzione è data da ݂ ሺݔሻ ൌ 2 ሺ ݔെ 8ሻ, equazione della retta passante per i punti ܨ e ܩ, e quindi risulta ݂ ᇱ^ ሺݔሻ ൌ 2. Un grafico qualitativo di ݂ ′ , che non riesce a tener conto degli eventuali suoi punti di flesso, è il seguente:

Per quanto riguarda i valori di ݂ ′ nei due punti richiesti, dalle informazioni sulle rette tangenti al grafico di݂

nei punti ܥ e ܦ, abbiamo ݂ ᇱ^ ሺ3ሻ ൌ െ2, ݂ ᇱ^ ሺ5ሻ ൌ െ ଵଶ.

1 b) Per tracciare il grafico della funzione integrale, cominciamo con l’osservare che ܨሺ0ሻ ൌ 0 e che ሻݔሺܨ è sicuramente positiva per ݔ൑ 5. Cominciamo adesso a considerare l’arco ܤܣ. Da ܨ ᇱ^ ൌ ݂൐ 0 , segue che ܨ è una funzione crescente; da ܨ ᇱᇱ^ ݂ൌ ᇱ^ ൐ 0, segue che ܨ è una funzione convessa. In particolare risulta ܨ ᇱ^ ሺ0ሻ ൌ݂ ሺ0ሻ ൌ 1. Consideriamo adesso l’arco ܦܤ e ragioniamo in modo analogo. Da ܨ ᇱ^ ൌ ݂൐ 0 , segue che ܨ è una funzione crescente; da ܨ ᇱᇱ^ ݂ൌ ᇱ^ ൏ 0, segue che ܨ è una funzione concava. In particolare il valore ሺ5ሻܨ è dato dall’area della regione delimitata dall’arco ܦܥܤܣ ovvero da 11; ܨ ᇱ^ ሺ5ሻ ൌ݂ ሺ5ሻ ൌ 0. Ragionando in modo del tutto simile per gli archi ܧܦ, ܨܧ e per ݔ൒ 8, si ricava il seguente grafico qualitativo.

2 a) Per tracciare il grafico di ݕൌ |݂′ሺݔሻ |^ basta “confermare” le parti positive (ad ordinata positiva) del grafico di ݂ ′ e “ribaltare” attorno all’asse delle ݔ quella negativa.

2 b) Per tracciare il grafico di ݕൌ |݂ሺݔሻ |′, cominciamo a tracciare quello di |݂ሺݔሻ |.

Notiamo che in corrispondenza dell’arco ܦܣ e per ݔ൒ 8, il grafico di | ݂| naturalmente coincide con quello di ݂ e quindi il grafico di |݂ |′ si ottiene ripetendo esattamente quanto detto nel punto 1 a). Per quanto riguarda l’arco ܨܦ del grafico di | ݂|, si ragiona in modo simile e si ottiene quindi la seguente figura da cui si deduca che la funzione ݕൌ |݂ሺݔሻ |′ non è definita per ݔൌ 5 e ݔൌ 8 (punti angolosi per il grafico di | ݂|).

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PROBLEMA 2