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Lezione del 19/01/
Argomenti trattati:
Insiemi numerici: numeri naturali, interi relativi, razionali, reali. Insiemi discreti e insiemi densi. Rappresentazione dei numeri reali sulla retta; intervalli. Linguaggio degli insiemi: appartenenza, inclusione; unione e intersezione. Calcolo letterale; equazioni di primo grado: principi di equivalenza, insieme delle soluzioni.
Breve riassunto, esempi ed esercizi Richiamiamo i seguenti insiemi numerici: N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...} = {numeri naturali, ovvero interi non negativi}; Z = {..., − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...} = {numeri interi relativi}; Q = { ab , a ∈ Z, b ∈ Z, b 6 = 0} = {numeri razionali}; R = {numeri reali, ovvero qualsiasi allineamento, finito o infinito, di cifre decimali}.
Valgono le seguenti scritture:
− 1 ∈ Z; − 1 ∈/ N; 0 , 2 = 15 ∈ Q; 0 , ¯3 = 13 ∈/ Z; π ∈ R; π /∈ Q; N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Intervalli di numeri reali Presi a, b ∈ R e nominando con A, B, C... gli insiemi, ricordiamo le scritture:
A = [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b};
B = [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b};
C = (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b};
D = (a, b) = {x ∈ R | a < x < b};
E = [a, +∞) = {x ∈ R | x ≥ a};
F = (a, +∞) = {x ∈ R | x > a};
G = (−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a};
H = (−∞, a) = {x ∈ R | x < a}.
Figura 1: Insieme A dell’Esempio 1
Figura 2: Insieme B dell’Esempio 2
Gli insiemi A, B, C, D sono limitati; E, F, sono illimitati a destra; G, H, sono illimitati a
sinistra.
Ricordiamo, inoltre, i simboli di unione ∪ e di intersezione ∩.
Esempio 1
Sia A = {− 2 , − 1 , 0 } ∪ (1, 3). L’insieme A `e rappresentato in Figura 1.
Notiamo, ad esempio, che − 2 ∈ A, 1 ∈/ A, 2 ∈ A.
Esempio 2
Sia B = (−∞, −2] ∪ [0, 2) ∪ { 3 }. L’insieme B `e rappresentato in Figura 2.
Notiamo, ad esempio, che 1 ∈ B, 2 ∈/ B, 52 ∈/ B.
Esempio 3
Sia C = (− 2 , 0] ∪ ( 32 , 52 ] ∪ (3, +∞). L’insieme C `e rappresentato in Figura 3.
Notiamo, ad esempio, che − 2 ∈/ C, 32 ∈/ C, 3 ∈/ C.
Esempio 4
Con riferimento agli esempi precedenti, possiamo scrivere:
D = A ∩ B = {− 2 , 0 } ∪ (1, 2);
E = A ∩ C = {− 1 , 0 } ∪ ( 32 , 52 ];
F = A ∩ B ∩ C = { 0 } ∪ ( 32 , 2);
G = A ∪ C = [− 2 , 0] ∪ (1, 3) ∪ (3, +∞);
H = B ∪ C = (−∞, 52 ] ∪ [3, +∞);
Figura 3: Insieme C dell’Esempio 3
L’uguaglianza non `e vera; verifichiamo ora x = −3:
(−3)^2 3
+ 1 = (−1 + 3)^2
3 + 1 = 2^2
L’uguaglianza `e verificata. Detto S l’insieme delle soluzioni dell’equazione, possiamo scrivere − 1 ∈/ S, − 3 ∈ S.
Esercizio
Verificare se x = 0, x = −2 sono soluzioni dell’equazione dell’Esempio 6.
In generale, per risolvere un’equazione, utilizziamo i principi di equivalenza:
Primo principio di equivalenza: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione la stessa quantita (a patto che sia sempre definita) si ottiene un’equazione equivalente a quella data. Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per la stessa quantita, diversa da 0 e sempre definita, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Esempio 7 L’equazione 3 x − 2 = x + 5
diventa, applicando il primo principio (sottraendo x e aggiungendo 2)
3 x − x − 2 + 2 = x − x + 5 + 2
3 x − x = 5 + 2
2 x = 7
e, applicando il secondo principio (dividendo per 2) 2 2 x^ =
da cui la soluzione x = 72.
Esercizi proposti
A Risolvere le seguenti equazioni:
(x + 1)^2 = (x − 2)^2 1 3 −^ x^ =
2 (4 +^ x) e individuare la loro soluzione sulla retta dei numeri reali. B Verificare che la seguente equazione `e impossibile:
2 x − 12 = 1 + 2x
C Verificare che la seguente equazione `e indeterminata: 1 2
(x + 6) =^1 4
(2x + 12).
