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STATICA

Prof. Cremonesi Massimiliano

LEZIONE INTRODUTTIVA 18 SETTEMBRE 2023

È un corso strettamente connesso a Scienze delle Costruzioni. Ci occupiamo principalmente di corpi rigidi, in particolare come si comporta lo scheletro delle strutture. Scheletro: permette alla struttura di stare in piedi. Cosa succede dentro ad una struttura? Quando noi progettiamo qualcosa va fatto in modo consapevole per evitare che succeda qualcosa di tragico, in particolare la struttura può crollare per un errore progettuale, per esempio per una errata interazione tra la struttura e l’ambiente circostante, per una errata considerazione degli agenti esterni, quali precipitazioni, vento, fenomeni naturali estremi. Esempio  Ponte di Tacoma, con errore progettuale. SCHEMA LOGICO Problema reale:

• Costruzione di un edificio
• Ristrutturare
• Riqualificare
• Progetto di un oggetto 1° FASE: SCHEMATIZZAZIONE STRUTTURALE  devo riuscire a trasmettere la mia idea in un foglio di carta (idealizzazione). Una volta fatto ciò, posso svolgere calcoli, verifiche, e arrivare poi a una progettazione finale. Il corso si occupa dello schema strutturale. Il corso deve darci tutto il materiale per capire come si comportano le strutture. La statica si inserisce nel mondo della meccanica  Meccanica: capitolo della fisica che si occupa della quiete e del moto. Tipologia di un problema statico:
• Determinare come tale sollecitazione giungono a terra attraverso i vincoli che ancorano la struttura all’ambiente esterno.
• Valutare come tali sollecitazioni percorrano la struttura creando uno stato di deformazione e di sforzo. In alcune situazioni è possibile risolvere il primo problema indipendentemente dal secondo, in altri casi no. STATICA - LEZIONE 21 SETTEMBRE 2023 SPAZIO - TEMPO Spazio e tempo: sono dei continui. Continuo è qualcosa che può essere diviso in parti più piccole che si comportano sempre allo stesso modo. Ci servono perché spazio rappresenta la posizione, tempo indica la durata di un evento. Per descrivere qualcosa in spazio e tempo serve un sistema di riferimento. TEMPO : asse dei tempi (descrizione del tempo). Linea in cui definiamo un’origine grazie alla quale fissiamo poi un instante temporaneo. Tempo si può descrivere con uno scalare (numero reale descrive un istante temporale). Un instante temporale è definito rispetto al sistema di riferimento. Una volta fissato il sistema di riferimento è fissato per tutti. Con lo stesso concetto possiamo definire il concetto di durata. Un evento ha una durata che può essere descritta da uno scalare. SPAZIO : è un continuo. Per poterlo descrivere mi serve un sistema di riferimento. Ho bisogno di un sistema di riferimento che sta in un continuo tridimensionale. Prendiamo un sistema di riferimento cartesiano (3 direzioni e un punto che caratterizzi l’origine). Essendo lo spazio tridimensionale per descrivere la posizione di un punto in 3 dimensioni non basta un numero bensì servono 3 scalari. 3 scalari rappresentano un vettore. Posso quindi descrivere la posizione di un

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio del punto è che la risultante delle forze sia uguale a zero. Qualcosa che non sia un punto materiale non vale. CONCETTO DI MISURARE L= m T=s M=kg Sono tre unità di misura fondamentali. USIAMO NEWTON E PRESSIONE. LEZIONE 25 SETTEMBRE 2023 CONCETTO DI FORZE Cosa rappresenta? Rappresenta l’azione di un corpo su un altro corpo. La forza rappresenta tra due o più corpi quindi se volessimo dare una definizione di forza per noi è una grand fisica che descrive l’effetto di un corpo su un altro. Il concetto di forza deve essere legato al concetto di moto. L’assenza in moto si traduce nella risultante di forze uguale a 0, specifico del punto materiale. Forza può essere descritta attraverso un vettore. Una quantità scalare non può descrivere una forza. Forza: modulo, direzione, verso. Che forze esistono?

• Gravitazionali: fenomeni fisici
• Elettromagnetiche: movimento di elettroni
• Nucleari forti: forze che tengono uniti gli atomi in un nucleo
• Nucleari deboli: si generano da fenomeni di fissioni Sono le 4 categorie in cui si possono inserire le forze. Ci interessano solo le forze gravitazionali. Tutte le operazioni sulle forze sono di natura vettoriale. Come si sommano due forze? F1 e F2  si sommano come 2 vettori qualunque. Esistono 2 modi:
• Regola del parallelogramma: R= f1 + F2 (due rette parallele alle due forze, punto di intersezione).
• Poligono delle forze: prendere primo vettore e il secondo e posizionarlo alla fine del vettore F1: se chiudo la line con un vettore che parte dall’origine trovo la risultante. Se i vettori sono più di 2, si sommano 2 vettori alla volta. Serve anche fare la differenza di forze: se ho 2 forze applicate in un punto, F1 – F2  è uguale a dire F1 + (F2)  R = F1 – F2. Dunque, si somma una forza all’altra cambiata di segno. Lo stesso risultato si può ottenere col poligono delle forze. Altro concetto fondamentale: scomposizione di una forza. Partiamo da una forza, posso scomporre questa forza in 2 forze tale per cui la loro somma è uguale alla forza  basta cambiare le direzioni. Scelgo una direzione, scelgo un’altra direzione  posso scomporre questa forza in altre due, in cui la somma è questa. Prendo rette parallele a queste 2 centrate nel punto estremo della forza. F = F1 + F2. Caso particolare : posso scomporre una forza lungo due direzioni ortogonali tra di loro. Prendiamo 2 direzioni ortogonali tra di loro e applico la stessa idea, vale quindi il teorema di pitagora. Le direzioni ortogonali sono comode per il calcolo. Se vogliamo scomporre una forza  scegliamo un sistema di riferimento. Se io ho una forza prendo due sistemi di riferimento x e y e ottengo 2 componenti della forza nel sistema di riferimento scelto  Fy e Fx  F = Fx + Fy. Si prende il sistema di riferimento xy, su questo si prende vettore unitario i e j, posso dire F = Fxi + Fyj. I vettori unitari i e j vengono chiamati VERSORI. Non devo per forza centrare il SDR nell’origine della forza. Può essere centrato dove ci è più comodo. Se ho 2 forze F e T e voglio sommarle, posso usare le 2 regole oppure posso prendere Tx e Ty e Fx e fy, se devo sommare le 2 forze posso sommare le componenti. Posso scrivere F = Fxi + Fyj e

T= Txi + Tyj. Se voglio F+ T = (Fx + Tx) i + (Fy + Ty) j. Posso anche fare la differenza F – T = (Fx – Tx) i + (Fy – Ty) j. Quando ho una forza F la posso sempre moltiplicare per uno scalare. Se F è un vettore e a uno scalare li posso moltiplicare, il risultato è un vettore in cui solo il modulo si trova moltiplicando il modulo di F per a, direzione e verso sono uguali a F. PRODOTTO SCALARE: F x T  il risultato è uno scalare. Come si calcola? Fz x Tx + Fy x Ty + Fz x Tx. Il prodotto scalare tra due vettori F x T è = al modulo do F x il modulo di T x il cos dell’angolo in mezzo. Se due vettori sono ortogonali tra di loro, il coseno è 0. Quindi se due vettori sono ortogonali i lloro prodotto scalare è sempre 0. FORZE Le forze  vediamo due tipologie

• Forze concentrate  forza applicata in un solo punto di un corpo
• Forze distribuite  forza che si distribuisce su più punti di un corpo Entrambe le definizioni sono delle astrazioni. Cos’è un punto materiale? È un corpo le cui dimensioni sono trascurabili rispetto al fenomeno che stiamo studiando. La definizione di punto materiale è relativa rispetto al fenomeno che stiamo studiando. Per noi è qualcosa di piccolo rispetto a quello che stiamo studiando. Forza peso  la applico in un punto di contatto  forza concentrata. Se ho 2 punti di contatto  lo rappresento con una forza distribuita. Forza concentrata e distribuita dipende dalle dimensioni del fenomeno che sto considerando. Minuto 47,20. Forze concentrate e distribuite sono da considerare in modo diverso. Forza concentrata ha N, le forze distribuite ha una forza spalmata su una superficie le misuriamo in Pa. Se voglio considerare un corpo bidimensionale l’interazione con l’esterno è una linea, quindi saranno misurate in N/m. Se voglio considerare una forza distribuita F e una f che si misura in N/m2 e voglio trovare la forza tot che agisce sulla superficie  F = integrale f d s. L’integrale è una somma di quantità infinitesime. LEZIONE 28 SETTEMBRE 2023 Punto materiale  equilibrio se la risultante è uguale a zero. Se prendo un punto, e su esso ci sono 3 forze, se sommo vettorialmente le 3 forze e la risultante (vettore che si ottiene sommando le forze) è uguale a 0, per noi è in equilibrio  DEFINIZIONE DI UN PUNTO MATERIALE IN EQUILIBRIO. Chiamiamo punto materiale qualcosa che si possa considerare piccolo rispetto al fenomeno che stiamo osservando. Se ripeto questa considerazione adesso, per un oggetto con una certa dimensione, se questo oggetto può essere considerato piccolo rispetto a quello che sto guardando, posso esaminare tutte le forze applicate in un certo punto. Ciò vale fino a quando posso dire che le dimensioni di questo oggetto sono tali per cui tutte le forze possono essere considerate in un solo punto. Quando non va più bene? La definizione di equilibrio è ok fino a quando parliamo di un punto materiale, quando parliamo di un corpo con dimensioni assegnate allora non possiamo più dire che è condizione necessaria e sufficiente…dobbiamo introdurre una quantità che ci permette di definire se il corpo sta ruotando o no. Ascoltare la registrazione. CONCETTO DI MOMENTO Il momento di una forza, se ho una F per definire il momento rispetto al punto che calcolo. Per calcolare un momento mi serve una forza e un punto di applicazione. Si prende la Forza e la retta di applicazione della forza. La direzione è la retta sulla quale giace la forza, poi prendo la distanza e la retta, questo segmento lo chiamo Braccio. Il momento di una forza rispetto al punto lo trovo moltiplicando la forza rispetto al braccio.

Corpi in cui le dimensioni diventano non trascurabili: Di che corpi stiamo parlando? Corpi rigidi, è un oggetto le cui parti sono tutte soggette al vincolo di rigidità. Il vincolo ci dice che due punti qualunque all’interno del nostro corpo mantengono invariata la loro distanza. Un corpo che non è corpo rigido si definisce corpo deformabile, in esso non vale il vincolo di rigidità. Così come concetto di punto materiale dipende dal fenomeno che sto guardando, anche il concetto di corpo rigido dipende dal fenomeno che stiamo studiando. I corpi per noi saranno sempre rigidi. Un corpo rigido può muoversi o stare fermo. Cos’è l’equilibrio? Mantenimento stato di quiete. La statica del corpo rigido si basa su tre postulati:

• Se un copro rigido è in stato di quiete e non applico nessuna forza il corpo mantiene il suo stato di quiete
• Se un corpo è in stato di quiete e applico una forza il corpo non può mantenere il suo stato di quiete
• Se a un corpo in uno stato di quiete applico due forze il corpo preserva lo stato di quiete solo se le due forze sono uguali, opposte e allineate. Possiamo formulare le equazioni cardinali della statica: Condizione caratteristica per l’equazione di un corpo rigido è che la risultante e il momento delle forze esterne applicate sul corpo sia uguale a zero. Quindi risultante e momento uguale a zero. Come si fa a calcolare il momento di una forza? La forza per il braccio. Minuto 25 Dimostrazione che siano condizione sufficiente: Avere risultante e momento = a zero, è come non avere niente  sono nel primo postulato. Le equazioni cardinali della statica sono condizioni sufficiente per.. Condizione necessaria: se un corpo è in equilibrio allora sicuramente rispetta le equazioni. Ipotizziamo che su un corpo ci sia risultante = a zero e momento diverso da zero  non è in equilibrio per il postulato 3 Se risultante è diversa da zero, è come avere una solo forza, e momento uguale a zero  non può essere in equilibrio x il postulato 2. Se ho risultante diversa zero, momento diverso da zero  no equilibrio per postulato 2 e 3. Mondo bidimensionale: risultanti uguali a zero e momento uguale a zero, si traducono in sistema di Rx, Ry, M uguali a zero. Cosa vuol dire che la risultante sia uguale a zero? questa equazione la possiamo chiamare equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale. Se ho una forza diversa da zero, Ry = 0 equazione traslazione verticale. M = 0 equazione di equilibrio alla rotazione. Se fossi in tre dimensioni: R=0 3 dimensioni M=0 3 dimensioni LE EQUAZIONI SONO 3 NEL PIANO E 6 NEL 3D. CONCETTO DI GRADO DI LIBERTA’ Ci descrive quanta libertà ha un corpo di muoversi. Un corpo nel piano può spostarsi in orizzontale, verticale, ruotare. Nel piano un corpo ha 3 gradi di libertà, nel piano tridimensionale avrà 6 gradi di libertà. Un corpo nel 3d può spostarsi nelle 3 direzioni e avere 3 dimensioni. CONCETTO DI ATTO DI MOTO L’atto di moto rigido è lo spostamento di un corpo rigido. Un atto di moto può essere rotatorio, traslatorio, rototraslatorio. Cosa si può fare con l’equilibrio di un corpo rigido? Esempio Voglio calcolare l’equazione di un corpo rigido soggetto alla forza peso applicata e al momento. Voglio calcolare v1, v2, e H. deve rispettare le equazioni cardinali della statica. Rx =0  H= Calcoliamo l’equazione verticale. Rx= 0  V1+V2-P=

Mo=0 V2L-PL/2 + W=0 da questa equazione ricavo che: V2= P/2 – W/L. Così il sistema è in equilibrio. Guardare foto esempio sedia. Ultimo passaggio  verifica LEZIONE 12 OTTOBRE ASTE RETTILINEI A SEZIONE COSTANTE Consideriamo un corpo di forma allungata dove tutte le sezioni hanno stessa forma. Posso prendere il baricentro delle sezioni, e per essi posso far passare una retta. Questo solido per noi si confronta come l’elemento monodimensionle. D’ora in poi parleremo di solidi che possono essere rappresentati come solidi monodirezionali. In particolare, ci occupiamo dell’equilibrio di questi solidi, ovvero garantire la loro quiete. Tutti i movimenti del corpo di possono descrivere con 3 gradi di libertà: 2 spostamenti e 1 rotazione. IL VINCOLO Dobbiamo introdurre il concetto di vincolo: il vincolo è una costruzione geometrica che impedisce un determinato atto di moto. Un vincolo passa al nostro corpo una o più forze che impedisce l’atto di moto. I vincoli possono essere di due tipi: 1- Vincoli esterni : connessione del nostro copro rigido con l’ambiente circostante 2- Vincoli interni : vincolo che collega due parti dello stesso corpo. Grado di vincolo e grado di libertà sono strettamente collegati. Se un corpo rigido ha 3 gradi di libertà, di quanti gradi di vincolo avrò bisogno per tenerlo fermo? Tre. IN BASE AL NUMERO DI GRADO DI VINCOLO CHE FORNISCONO, si classificano in: -VICOLI SEMPLICI: un grado di vincolo -VINCOLI DOPPI: due gradi di vincoli -VINCOLI TRIPLI: 3 gradi di vincolo CARRELLO È un vincolo singolo, fornisce quindi un grado di vincolo. Blocca una traslazione, lascia libera una rotazione e un’altra traslazione. In particolare, il carrello blocca gli spostamenti nella direzione dell’asse del carrello, lascia libero (guardare registrazione ore 9.52). non consente uno spostamento ortogonale al piano di spostamento del carrello. Il carrello fornisce un grado di vincolo e lascia liberi due gradi di libertà. PATTINO È un vincolo doppio, quindi blocca due gradi di libertà e lascia libero un grado di libertà. Lo spostamento è consentito lungo lo spostamento. MANICOTTO Vincolo doppio simile al pattino. Consente un solo grado di libertà. E fornisce due gradi di vincolo. CERNIERA Vincolo doppio. La cerniera blocca due traslazioni e consente solo la rotazione attorno alla cerniera stessa. INCASTRO È un vincolo triplo. Blocca 3 gradi di libertà. Nessun grado di libertà e tre di vincolo. Come interagiscono tra di loro questi vincoli? Labile: struttura in cui è consentito un atto di moto. Questo processo di labile o non labile si chiama: analisi cinematica. (all’esame nei primi due es chiede di svolgere l’analisi di cinematica).