UNIONE
Se due eventi sono incompatibili ossia AintB = insieme vuoto, allora
P(AUB)= P(A)+P(B). Nel caso in cui A e B sono compatibili cioè
AintB (diverso) insieme vuoto allora P(AUB)= P(A)+P(B)-P(AintB).
Dimostrazione : AUB si compone degli eventi elementari che
appartengono ad almeno uno di essi. considerando gli eventi che
appartengono ad A e quelli di B che non appartengono ad A
possiamo scrivere (AUB)=(AU(B-A)) se A e B sono incompatibili la
probabilità dell'unione è P(AUB)= P(A)+P(B-A). L’evento B si
compone degli eventi B che appartengono ad A e di B che non
appartengono ad A cioè B=(BintA)U(B-A). i due eventi sono
incompatibili quindi P( B)=P(BintA)U P(B-A) ma P(B- A) = P(B)-
P(BintA) allora P(AUB)= P(A)+P(B)-P(AintB).
INTERSEZIONE
In qualsiasi caso P(A intB)= P(A) per P(B/A) = p(A/B)per P(B) se B è
indipendente da A allora P(A intB)= P(A)per P(B). se sono
compatibili allora P(AintB)= P(A)+ p(B)- P(AUB).
LEGGE DEBOLE DEI GRANDI NUMERI
Con un numero elevato di campioni la lddgn afferma che diventa
trascurabile la probabilità che la freq relativa campionaria X/n
assuma valori lontani da p cioè che la v.c X/n tende a stabilizzarsi
intorno a p. DIM: la disuguaglianza di cebiceff è valida per qualsiasi
v.c Z con aspettativa e varianza minore di infinito quindi è valida
anche per la v.c frequenza relativa campionaria y= X/N con X v.c
binomiale di parametri n e p. E(Y)= E(X/N) =1/n E(X) = np/n =p.
Var(Y)= Var(X/n)= (1/n)² per npq=pq/n. applicando la
disuguaglianza di cebiceff: 0<=P((modulo di X/n -
p)>=c)<=pq/nc^2. all’aumentare di n pq/nc² tende a zero cioè lim
