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La standardizzazione
- Variabili cardinali
- consiste:^ in una doppia trasformazione
- prima: si normalizzano i dati rispetto alla loro media , poi si normalizzano i risultanti scarti
rispetto alla deviazione standard
- Dopo: consiste nella compressione o dilatazione della distribuzione dei punteggi a seconda
della sua dispersione
- formula:^ Zi = (Xi - X) \ S
Analisi Bivariata (cap.4)
Ipotesi —> di solito viene espressa mediante una proposizione che mette in relazione due
o più variabili
Distribuzione di frequenza congiunta
- Analisi statistica delle relazioni fra due variabili —>^ si basa: sull’esame delle^ distribuzioni di
frequenza congiunta —> cioè l’incrocio di due o più distribuzioni di frequenza semplici
i totali di riga e di colonna vengono abitualmente chiamati “marginali” e corrispondono alle
distribuzioni di frequenza monovariate.
Forma, forza e direzione
Con le tecniche di analisi bivariata si cercando di individuare:
Forma —> le possibili configurazioni delle relazioni fra le due variabili in questione —>
es: la tabella precedente, ci presenta una possibile forma della relazione fra le variabili,
con i giovani (15-34 anni) che preferiscono il partito A, gli adulti 35-54enni che
preferiscono il partito B e gli over-54enni che preferiscono il partito C.
Forza
Direzione delle relazione fra due variabili —> comprendere la relazione di causalità
fra le variabili —> quando si parla di causa-effetto ci si riferisce all’esistenza di un
nesso tra eventi tali per cui la manifestazione di uno è la conseguenza diretta e
necessaria della manifestazione dell’altro —> difficoltà nell’individuazione dei
percorsi causali: perché:
1) L’individuazione della direzione causale della relazione non è semplice, perché nelle
scienze sociali spesso le relazioni non hanno livelli di forza particolarmente elevati, perché
hanno spesso carattere “ tendenziale” ( tendenzialmente , i giovani tendono a votare per il
partito A; ma ci sono anche tanti giovani che votano per i partiti B e C e tanti non giovani
che votano per il partito A),
2) sono assai di frequente di natura bi-direzionale.
3) anche nel caso poi in cui si individui una relazione e la sua direzione causale, ciò non significa
riuscire necessariamente a ricostruirne il meccanismo causale (si rileva che i giovani votano
tendenzialmente più per il partito A e che la direzione causale indica che sia l’età a influenzare il
voto – e naturalmente non il contrario – ma non si riesce a comprendere il motivo, il perché).
Variabili indipendenti e dipendenti
La variabile indipendente ———> influisce su ———> variabile dipendente
Tecniche di analisi bivariata:
Quando si parla:
in generale di relazioni fra variabili si usa il termine “ covariazionie”
La relazione è fra variabili nominali di “ associazione”
Variabili ordinali “ congraduazione ”
Variabili cardinali si parla di correlazione
Analisi Bivariata: quando le variabili sono categoriali (cap.5)
In questo capitolo si fa riferimento alla situazione in cui le variabili da considerare siano solo due e
siano entrambe categoriali ( cioè nominali o ordinali)
Si vuole studiare la relazione fra la variabile età e pratica religiosa —> per far ciò si organizzano
i dati in una tabella a doppia entrata —> struttura: in una riga viene inserita una variabile
(variabile di riga), in colonna l’altra (variabile di colonna), dall’incrocio di esse si forma la celle
Percentualizzazione
Criteri:
- si sceglie la percentuale per colonna quando si vuole analizzare l'influenza che la variabile
posta in colonna ha sulla variabile posta in riga;
- si sceglie le percentuale per riga quando si vuole analizzare l'influenza
che la variabile posta in riga ha sulla variabile posta in colonna.
Presentazioni dele tabelle
Elementi per presentare una tabella in modo efficiente (meno costoso), completa (cioè senza
perdita di informazione), adeguata (conforme agli obiettivi della ricerca) :
- (^) Parsimoniiosità —> La tabella deve contenere solo i dati significativi per valutare la relazione.
In genere si escludono i valori assoluti, salvo che non si ritengano necessari. I titoli delle tabelle
devono essere sintetici, ma contenere l'indicazione delle variabili coinvolte.
- (^) La tabella deve contenere sempre la riga (o colonna ) totale contenente i valori 100. Serve d
orientare la lettura, indicando in che direzione sono state calcolate le percentuali.
- (^) I dati percentuali devono essere arrotondati alla prima cifra decimale , o arrotondati alla prima
cifra intera (cioè senza decimali). La seconda cifra decimale non si userebbe mai nei commenti
e quindi non è significativa
- Nell’interpretazione e^ commento^ delle tavole —> si deve sempre fare riferimento a modalità
significative (ad es., per variabili ordinali, quelle estreme e non quelle centrali) della variabile
dipendente e guardare a come essa varia al passaggio da una modalità all’altra della variabile
indipendente.
Misure di forza della relazione
Per misurare la forza della relazione esistono diversi indici/coefficienti.
- relazione fra variabili nominali (o una nominale e una ordinale) : misure di associazione ;
- relazione fra variabili ordinali : misure di cograduazione ;
- relazione fra variabili cardinali: coefficienti retta regressione (cap. 6).
Misure di associazione
per studiare la forza della relazione fra variabili nominali (o una nominale e una ordinale, dunque
laddove non si può ragionare in termini di segno della relazione).
Il Chi quadrato (χ
- Per misurare la forza della relazione fra due variabili nominali (o una nominale e una ordinale) si
può innanzitutto confrontare la distribuzione congiunta effettiva con quella ipotetica
rappresentativa di una perfetta indipendenza fra le due variabili.
- Si tratta cioè di^ confrontare:
- (^) Le frequenze osservate —> cioè quelle effettive dei dati
- (^) Le f requenze attese —> quelle che ci si aspetta di avere in caso di assoluta indipendenza tra
le variabili —> come si calcola: moltiplicando fra loro le margini di quella cella e dividendo per il
totale delle tabella
- Limite del chi quadrato^ —> risente del numero dei casi, cioè cresce all’aumentare dei casi —>
per ovviare a questo problema sono state proposte due soluzioni:
- dividere il Chi quadrato per il numero di casi e ottenere così il Phi quadrato ( φ
- V di Cramer: ha il vantaggio di avere intervallo compreso fra 0 (in caso di perfetta assenza di
relazione) e 1 (relazione perfetta). —> Formula: V= √x
\
N(k-1)
- nel caso le due variabili siano dicotomiche , V di Cramèr coincide con il coefficiente di
correlazione r di Pearson, usato per studiare la relazione fra due variabili cardinali
Misure di associazioni basate sulla riduzione proporzionale dell’errore
- Alcune misure —>^ si^ basano: sulla riduzione dell’errore che si fa nel predire una variabile
conoscendo il valore dell’altra
- Queste misure partono dall’ assunto^ secondo cui:
- se due variabili X e Y sono perfettamente indipendenti l’una dall’altra —> il fatto di
conoscere il valore assunto da un certo caso su X non permette minimamente di predire il
valore che quel caso assumerà sulla variabile Y
ES: se non c’è alcuna relazione fra genere e voto, il fatto di sapere se il caso è uomo o donna
non dice nulla sul partito che vota);
- se all’opposto le due variabili X e Y sono perfettamente associate tra loro —> il fatto di
conoscere il valore assunto dal caso sulla variabile X permette di predire senza errore il valore
assunto dal caso su Y
ES: nell’es., se il voto dipendesse esclusivamente dal genere, il fatto di sapere se il caso è
uomo o donna mi permette di conoscere per quale partito vota).
- Misure di associazione^ che si basano su questo criterio: - (^) Lambda (λ)
- (^) e Tau (τ)
Misure di congraduazione
- Utilizzate se le variabili sono entrambe ordinali —> NB: se ho una variabile ordinale e
una nominale, si usano le misure di associazione
- Sono state presentate diverse misure di congraduazione che si basano sullo stesso
principio: cioè sul confronto fra i valor i assunti da X e Y su tutte le possibili coppie di
casi:
una coppia di casi è detta concordante —> se per un caso i valori assunti sulle
variabili X e Y sono entrambi maggiori (o entrambi minori) dei valori assunti da un altro
caso sulle stesse variabili (per es. il caso 1 ha un titolo di studio più elevato e una più
frequente pratica sportiva del caso 2).
- una coppia di casi è detta discordante —> se un caso assume un valore maggiore
dell’altro caso su una variabile e un valore minore sull’altra variabile (o viceversa) (per
es. il caso 1 ha un livello di istruzione più elevato e una minore pratica sportiva rispetto
al caso 2).
Se la maggioranza delle coppie di casi è concordante —> allora abbiamo una
relazione fra le due variabili di segno positivo.
Se la maggioranza delle coppie di casi è discordante —> allora abbiamo una
relazione fra le due variabili di segno negativo.
Se c’è lo stesso numero di coppie concordanti e di coppie discordant i —> allora
non c’è relazione fra le due variabili.
**- Misure di congraduazione
c
) di Kendall ,
-
d di Somers
-
Gamma ( γ ) di Goodman e Kruskal —> γ = C-D
C+D
C= n. Di coppie concordanti D= coppie discordanti
γ —> assume valore: +1 in caso di perfetta relazione positiva, -1 in caso di perfetta
relazione negativa e 0 in caso di assenza di relazione
- Le graduatorie —> altro tipo di misura di congraduazione —> derivanti da un
processo di ordinamento delle unità di analisi in sequenza ordinata —> si basano: sul
confronto fra la posizione che il singolo caso assume nelle due graduatorie (per capire,
appunto, se e quanto le due graduatorie cograduino o siano “contro-graduate” e
quanto lo siano). —> più nota è il Rho ( ρ ) di Spearman :
d = differenza fra le posizioni di un caso nelle due graduatorie (ad es.,
per Bologna = 1)
L’insieme dei punti
sul diagramma a
dispersione
corrisponde alla
distribuzione
congiunta dei casi
sulle due variabili X
e Y e costituisce
una nuvola di
punti , che può
assumere diverse
configurazioni.
- Ci sono 4 tipi di diagrammi raffiguranti le diverse relazioni fra due variabili
1) lineare positiva (o diretta)
2)lineare negativa (o indiretta)
3) nessuna relazione
4) curvilinea
=> il diagramma di dispersione —> consente di comprendere innanzitutto la forma (dunque
anche il segno ) della relazione. —> ma non dice nulla sull’ i ntensità dell’effetto della variabile X
sulla variabile Y (forza della relazione), cioè di quanto varia il valore della variabile dipendente Y al
variare della variabile indipendente X.
- Relazione lineare^ —> Se i punti del diagramma tendono ad allinearsi pressappoco lungo una
diagonale sul piano cartesiano => forma funzionale lineare
- equazione:^ Y =^ α^ +^ β X
(ossia: il valore di Y = valore di X*coeff. β + α) —> dove:
- β^ è:
- il coefficiente di regressione (o gradiente) e indica l’inclinazione della retta, cioè la variazione
della var. Y per ogni variazione unitaria della var. X.
- (^) β positivo indica una retta che va da basso/sinistra ad alto/destra;
- (^) β negativo indica una retta che va da alto/sinistra a basso/destra.
- esprime dunque l’intensità dell’effetto esercitato dalla variabile indipendente sulla variabile
dipendente.
- α^ è:
3. Coefficiente di determinazione R
Si ottiene: elevando al quadrato il valore del coefficiente di correlazione
- Pregio di R:
- fornisce un numero che può essere immediatamente interpretato —> esso ci indica infatti la
parte della variazione della variabile dipendente che è spiegata (determinata) dalla variazione
della variabile indipendente. In altre parole, ci permette di capire quanto il variare della variabile
indipendente determina il variare della variabile dipendente.
Il valore di R
va letto in termini percentuali —> per cui se R
2
= 0,49 significa che il 49%
della variazione della var. dipendente è spiegato dalla variabile indipendente.
Esempio:
Dunque, se fra tasso di mortalità infantile e Pil (ricchezza) dei Paesi troviamo:
r = – 0,
R
2
2
che significa che il 36% della variazione fra un Paese e l’altro del tasso di mortalità infantile è
determinato e può quindi essere spiegato in termini di maggiore e minore ricchezza dei diversi
Paesi considerati
Casi anomali e casi influenti
- caso anomalo (outlier) —> è quello in corrispondenza del quale la variabile dipendente Y
assume un valore atipico , dato un certo valore della variabile indipendente X
Esempio:
in corrispondenza di uno studio di 10 giorni (X), i casi assumono generalmente valori compresi fra
22 e 25 sul voto all’esame (Y), l’unico caso che, studiando 10 giorni, consegue il voto di 30 può
essere considerato anomalo.
Di per sé un caso anomalo non rappresenta un problema per la regressione lineare, lo diventa
quando il suo valore è eccentrico, cioè: si discosta dal valore medio X in misura apprezzabile
- In questo caso viene definito^ caso influente^ —> in quanto la sua presenza influisce in modo
significativo sui risultati della regressione specificamente spostando i valori di α e β
- Formula—>^ **influenza: anomalia di Y|X x eccentricità di X
- Indici numerici**^ che permettono di identificare i casi anomali e quelli influenti:
- (^) Hat value (hi) —> esprime la misura in cui il valore di x assunto dal caso i è eccentrico rispetto
alla media di x —> soglia di riferimento: 2*numero di parametri stimati)/N
- (^) indice di Cook (Di) —> combina hi con un altro parametro e fornisce di fatto una stima del
grado complessivo di influenza esercitata dal caso i sulla retta di regressione —> soglia di
riferimento: [4/(N – numero di parametri stimati)]
- (^) l’indice beta (DFBetas) —> che esprime in forma standardizzata l’influenza del caso i sul
valore del coefficiente di regressione β. Quando DFBetas assume valore positivo, significa che
la presenza del caso i accresce il valore di β; viceversa, quando assume un valore negativo
significa che la presenza del caso i diminuisce il valore di β —> soglia di riferimento: (2/√N)
Esempio:
Relazione fra pratica religiosa cattolica e tasso di abortività nelle regioni italiane. Diagramma a
dispersioneSe osserviamo il diagramma a dispersione, vediamo che i casi posizionati sopra la retta
Se osserviamo il diagramma a dispersione, vediamo che i casi posizionati sopra la retta sono
pressoché controbilanciati da quelli posizionati sotto di essa, per cui si può ritenere che la retta
possa offrire una buona rappresentazione dell’effetto medio esercitato da X (pratica religiosa
cattolica) su Y (“tasso di abortività”).
Unico evidente outlier è costituito dalla Puglia, con un valore di Y osservato decisamente più
elevato di quello che ci si attenderebbe dato il valore di X.
Il presenza di casi influenti:
Cercare di capire l’origine dell’anomalia osservata
Se ci troviamo di fronte ad un errore di registrazione dei dati —> il problema si risolve
apportandole opportune correzioni e stimando nuovamente la retta di regressione
Se l’anomalia è reale —> allora è evidente che la relazione fra X e Y presenta delle peculiarità
che il modello di regressione lineare semplice non è in grado di spiegare —> tali peculiarità
possono avere:
1. Delle eccezioni isolate:
- (^) o si escludono questi casi outlier
- oppure si ricorre a tecniche di stima della retta di regressione che tengano conto della presenza
di questi casi outlier influenti —> una di queste tecniche è la regressione robusta —> che
consiste nel calcolare la retta attribuendo dei pesi ai casi, in modo che i casi poco influenti (cioè
più vicino alla nuvola e alla retta) pesino maggiormente e i casi molto influenti pesino meno (in
modo da ridurre l’effetto distorsivo di questi ultimi);
2. Un carattere simbolico: è necessario riformulare il modello, ad es. aggiungendo altre variabili
ed entrando così nel campo dell’analisi multivariata o comunque andando “oltre la linearità”
Quando la variabile indipendente è categoriale
Quando si vuole studiare la relazione fra, una variabile nominale o ordinale e, dall’altra parte,
una variabile cardinale —> la tecnica da utilizzare è l ’analisi della varianza
Si tratta —> innanzitutto di calcolare i valori medi che la variabile cardinale ,posta come
dipendente ,assume per ciascuna delle modalità della variabile nominale / ordinale (variabile
indipendente).
Esempio
All’esame di Statistica il voto medio è stato di 26.
I 100 ragazzi hanno conseguito il voto di 24 e le 100 ragazze 28.
.Quindi a livello individuale si può osservare che:
Dato che la
somma degli scarti dalla media sarebbe pari a 0, questi vengono elevati al quadrato ottenendo il:
TEOREMA FONDAMENTALE DELLA VARIANZA:
TSS (devianza totale) = WSS (devianza interna; sottinteso nelle categorie) + BSS (devianza
esterna; tra le categorie)
WSS: è la differenza di voti interna alle F e interna ai M;
BSS: è la differenza di voti fra M e F.
• quanto^ maggiore è il peso di BSS^ (e dunque quanto inferiore è quello di WSS), tanto p iù forte
è la relazione tra le due variabili.
• Casi limite:
- WSS=0 —> Tutti i casi all’interno di ciascuna delle categorie della variabile nominale o ordinale
hanno lo stesso valore sulla variabile cardinale; lo scarto di ciascun caso dalla media della sua
categoria è pari a 0 (nell’esempio sopra riportato: tutti i casi Maschi prendono lo stesso voto
all’esame e anche tutte le Femmine prendono lo stesso voto e c’è una differenza fra M e )F —>
se si conosce il genere dello studente, si conosce/si può prevedere anche il voto all’esame) —>
associazione di massima forza, TSS=BSS
- BSS=0 —> Ogni categoria della variabile nominale o ordinale presenta esattamente la stessa
media sulla variabile cardinale; lo scarto fra le medie di categoria è pari a 0; (nell’esempio sopra
riportato: M e F hanno entrambi media pari a 26; anche se si conosce il genere dello studente
non si ha alcuna informazione aggiuntiva sul voto che prende all’esame, poiché tutte le medie
sono uguali) —> Associazione nulla, TSS=WSS
(ETA QUADRATO) —> coefficiente che sintetizzi la forza della relazione:
• Formula:
Campo di variazione di η
2
- (^) da 0 (BSS = 0, relazione nulla, la var. indipendente non “spiega” la variabilità della variabile
cardinale)
- (^) a 1 (WSS = 0; tutto dipende dalla variazione della var. indipendente, tutti i casi nella stessa
categoria hanno lo stesso punteggio, relazione perfetta).
INTRODUZIONE ALL’ANALISI MULTIVARIATA (cap.7)
Limiti dell’analisi bivariata:
- Se si vuole stimare l’effetto causale esercitato dalla variabile X sulla variabile Y, non è sempre
opportuno e sufficiente limitarsi a un’analisi bivariata della loro relazione —> perchè: le
relazioni bivariate possono essere ingannevoli: possono essere statisticamente inattaccabili – X
e Y covariano – ma la covariazione potrebbe essere dovuta non a un reale effetto causale di X
su Y ( «correlation is not causation» ) ma all’azione di una terza variabile.
- Ci si potrebbe trovare davanti ad una relazione spuria
- Per poter^ parlare di effettiva relazione causale^ fra X e Y —> occorre che la relazione fra le due
variabili si manifesti anche quando si tiene sotto controllo l’azione esercitata da altre variabili
(Z).
- L’azione di una terza variabile Z può essere circoscritta in due modi:
- depurazione —> si effettua per via matematica
- Controllo —> si effettua ri-analizzando la relazione fra X e Y in sub- campioni nei quali la
variabile Z, invece che variare, è costante.
Esempio:
- si individua: una relazione fra X-Genere e Y-Partecipazione elettorale (le donne vanno a votare
meno degli uomini), ma si ritiene che questa relazione possa essere influenzata dalla variabile
Z-Età, si possono suddividere i casi studiati in gruppi di pari età e, all’interno di questi,
analizzare nuovamente la relazione fra genere e voto.
- Dalla lettura della tabella bivariata,^ si potrebbe concludere:^ che il genere influenzi la
partecipazione elettorale, con le donne che votano meno. Poiché è nota la maggiore longevità
delle donne (dunque gli anziani sono soprattutto donne) e poiché si ipotizza che gli astenuti
siano soprattutto anziani, si introduce una terza variabile (Z-Età).
- Se^ si introduce la variabile età:^ si evidenzia che fra genere e voto non c’è alcuna relazione
causale e che la relazione fra genere e voto è determinata esclusivamente dalla differente
composizione per età della popolazione maschile e femminile: a parità di età, la partecipazione
elettorale di uomini e donne è identica (i <70 anni presentano stesso livello di partecipazione
per genere; i >69 anni presentano stesso livello di partecipazione per genere).
Effetti causali ed effetti spuri
Variabili antecedenti —> individuazione dell’effetto causale al netto degli effetti spuri.
Partendo dall’effetto bivariato fra X e Y, si scompone l’effetto spurio (determinato dalla presenza
della variabile antecedente Z) dall’effetto causale della X sulla Y.
Esempio:
Relazione che si intende analizzare: voto di laurea (X) --> reddito (Y)
Y = α + β*X
Reddito = 1.728 + 34,80*Voto laurea
effetto bivariato: β = 34,
Esempio 1:
Effetto spurio “accrescente” l’effetto di X su Y
Inserimento della variabile antecedente “origine sociale” Z, associata positivamente sia con X che
con Y
L’effetto del voto di laurea sul reddito è accresciuto dal fatto che chi ha un’elevata origine sociale
consegue generalmente risultati migliori nel percorso universitario e presenta anche reddito più
elevato.
Tenendo “sotto controllo” l’effetto dell’origine sociale, l’effetto del voto di laurea sul reddito
diminuisce (in altre parole, se non teniamo sotto controllo l’origine sociale, l’effetto del voto di
laurea sul reddito appare maggiore).
Esempio 2:Effetto spurio “sopprimente” l’effetto di X su Y
Relazione che si vuole studiare: voto di laurea (X) ︎reddito (Y )
Y =α+β*X
Reddito = 1.728 + 34,80*Voto laurea
effetto bivariato = 34,
Inserimento della variabile antecedente “Genere” Z, associata positivamente con X (le donne
vanno meglio negli studi) e negativamente con Y (le donne hanno redditi da lavoro inferiori)
L’effetto del voto di laurea sul reddito è parzialmente oscurato dal fatto che le donne hanno alti
voti ma bassi redditi.
Tenendo sotto controllo il genere, l’effetto del voto di laurea sul reddito aumenta (se non teniamo
sotto controllo il genere, l’effetto del voto di laurea sul reddito appare minore).
Y = α + β voto
*X + β sex
*Z
α + β voto
= 44,30 β sex
Effetto bivariato = effetto causale + effetto spurio
[segno dell’effetto spurio = prodotto dei segni degli effetti di Z su X e Y]
- Possiamo fare unico modello di regressione a^ 4 variabili.
Y = α + β
1
*votolaurea + β
2
*origsoc + β
3
*genere
β
1
(voto laurea), al netto di tutte le altre variabili inserite nel modello = 40,30.
Tenendo conto sia dell’effetto sopprimente del genere che quello accrescente dell’origine
sociale, l’effetto del voto di laurea sul reddito risulta pari a 40,30 euro.
Effetti indiretti e diretti
Variabili intervenienti —> scomposizione dell’effetto causale in effetto diretto ed effetto indiretto
Tornando all’esempio precedente sul reddito come variabile dipendente, si può essere
interessati a scomporre questo effetto causale “totale” , perché questo effetto di X su Y può
essere mediato da variabili intervenienti.
Variabile interveniente —>settore d’occupazione (lavoro dipendente privato, dipendente
pubblico, autonomo), variabile che incide sul reddito (più alto nel caso di lavoro privato o
autonomo) ed è presumibilmente influenzata dal voto di laurea (es. voti più alti vanno nel
privato).
2. esplorativo ( approccio predittivo): per individuare il modello che meglio di ogni altro “spiega”
la variazione osservata nella variabile dipendente.
- Oggetto di studio: una determinata variabile dipendente Y con l’obiettivo di:
a) individuare l’insieme delle variabili indipendenti che meglio di ogni altro contribuisce a
“spiegare” la variazione della var. dip. Y;
b) la distinzione fra variabile indipendente e di controllo perde d’importanza: le variabili sono
tutte sullo stesso piano, i parametri β hanno tutti la stessa rilevanza teorica;
scelta delle variabili da inserire nel modello in base a coefficienti statistici
(R
2
) per l’individuazione del modello che massimizza la varianza spiegata.
- Limiti dell’approccio esplorativo:
- È utile un approccio omnicomprensivo ai fenomeni sociali? Rimangono comunque escluse le
cause che rimangono fuori dal modello in quanto non misurabili o per le quali non disponiamo dei
dati o a cui il ricercatore non ha pensato.
- la ricerca del modello “migliore” può produrre molteplici soluzioni equivalenti (stesso R
ma
differenti variabili esplicative).
- Obiezione fondamentale: i β misurano l’effetto causale netto, non quello totale, senza
considerare l’ordine causale delle variabili. Es. effetto del gruppo etnico: è al netto per esempio
dell’istruzione, che invece è interveniente in quanto etnicità influenza istruzione che influenza
reddito (v. esempio precedente su relazione indiretta). Per misurare effettivamente l’effetto
etnicità, dobbiamo fare modello che contiene oltre a questa Y solo quelle antecedenti o
concomitanti (età, regione, area di residenza).
- Quando:
- (^) la variabile dipendente è cardinale —> si fa riferimento alla regressione lineare
- (^) variabile dipendente è categoriale —> si deve ricorrere alla regressione logistica.
INFERENZA STATISTICA E CAMPIONAMENTO (Cap. 10)
Si era già vista la distinzione fra:
- (^) rilevazione esaustiva o totale o censuaria (censimenti, abitualmente la
rilevazione indiretta),
- rilevazione campionaria (inchiesta campionaria, survey).
- Vantagg i della^ rilevazione campionaria :
- riduzione dei costi di rilevazione,
- riduzione dei tempi,
- riduzione del carico organizzativo
- (^) conseguente maggiore possibilità di approfondimento e accuratezza.
- Campionamento^ —>^ procedimento attraverso il quale si estrae , da un insieme di unità
( popolazione ) costituenti l’oggetto di studio ,un numero ridotto di casi ( campione ), scelti con
criteri tali da consentire la generalizzazione all’intera popolazione dei risultati ottenuti studiando
il campione.
- Campione^ —>^ l’insieme delle^ n^ (ampiezza del campione) unità campionarie (i casi) selezionate
tra le N unità che compongono la popolazione, allo scopo di rappresentarla ai fini dello studio
che si intende realizzare.
- Inferenza —> La generalizzazione, l’estensione di quanto rilevato con riferimento al campione
all’intera popolazione al centro dell’analisi => la generalizzazione da una parte (nota) al tutto
(ignoto) ed è sempre caratterizzata da un certo grado di incertezza, dovuto al fatto che:
1) da ogni popolazione (sufficientemente ampia) che si intenda studiare è
possibile estrarre un numero virtualmente infinito di campioni
differenti;
2) ognuno di questi campioni rappresenta la popolazione di riferimento in
maniera imperfetta e determina una stima non necessariamente identica;
3) per la realizzazione di un singolo studio viene estratto un unico
campione fra quelli, infiniti, che possono essere estratti;
4) poiché a monte le caratteristiche della popolazione sono in buona parte ignote, è impossibile
stabilire in quale misura lo specifico campione estratto possa essere considerato rappresentativo
della popolazione al
centro dello studio.
- Da ciò^ deriva che:
- (^) qualsiasi procedura di campionamento – anche la più precisa e accurata
è soggetta a errore ( errore di campionamento ), nel senso che qualsiasi campione
rappresenta la popolazione di riferimento sempre in modo imperfetto.
Poiché non è possibile stabilire con certezza la rappresentatività del campione, non si può mai
sapere, senza alcun dubbio, se i risultati ottenuti analizzando un certo campione siano – e di
quanto – simili a quelli reali (cioè quelli che si otterrebbero rilevando i dati presso l’intera
popolazione). Ciò che si ottiene è una stima del valore reale.
- interpretare correttamente una stima campionaria^ —>^ cioè: il valore che rilevo partendo da
uno specifico campione —> è necessario: disporre di una misura specifica dell’incertezza che
la caratterizza —> Giunti quindi a un determinato valore stimato, interessa stabilire qual è la
gamma di valori entro cui molto probabilmente si colloca il valore reale (che è ignoto) —> Ciò
significa conoscere l’ intervallo di confidenza , che deriva dal livello di fiducia (come si vedrà, di
solito posto al 95% o al 99%) e dall’ errore standard/errore campionario della stima (di cui di
seguito si presentano le modalità di calcolo).
Errore di campionamento
- Nel caso si voglia stimare una media (es: media del reddito)
Formula:
- (^) z = è il coefficiente corrispondente al livello di fiducia della stima imposto dal ricercatore (95%
o 99% probabilità di...2), cioè il grado di affidabilità della stima che si vuole avere
- (^) s = deviazione standard della variabile studiata —> Maggiore è la dispersione della variabile
rilevata per i casi del campione, maggiore è , a parità di altre condizioni ,l’errore di
campionamento.
- (^) n = ampiezza del campione
= fattore di correzione, dove f = n/N
- l’errore di campionamento^ —> è^ direttamente proporzionale^ al livello di fiducia che vogliamo
avere e alla variabilità del fenomeno studiato, mentre è inversamente proporzionale
all’ampiezza n del campione (più l’eventuale effetto del fattore di correzione)
Esempio:
Un errore di campionamento di 30 rispetto a un reddito medio di 1.650 euro, con livello di fiducia
del 95%, significa che con una probabilità del 95% il reddito medio della popolazione è di 1.
euro ±30 euro, cioè è compreso (intervallo di confidenza) fra 1.620 e 1.680 euro.
Nel caso che si abbia a che fare con variabili non cardinali
- per le quali dunque non si può stimare una media, ma una^ proporzione^ (favorevole o contrario
a un referendum, intenzionati a votare o no)
Formula:
- p = proporzione (quota di casi) del campione per la categoria in esame q
= 1– p
