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STATISTICA
Chiamiamo DATI, l’insieme delle misurazioni disponibili per l’analisi.
L’analisi di statistica si articola in due fasi:
- STATISTICA DESCRITTIVA (analisi dei dati, metodi grafici e numerici utilizzati per sintetizzare ed
elaborare i dati in modo da trasformarli in informazioni)
- STATISTICA INFERENZIALE (fornisce le basi per le previsioni e per le stime che consentono di
trasformare le informazioni in conoscenza)
1.2 IL CAMPIONAMENTO
La Popolazione è l’insieme completo di tutte le unità oggetto di studio. Indicato con N che può essere di
dimensione grande o addirittura infinita.
Il Campione è il sottoinsieme delle unità osservate nella popolazione e la sua dimensione viene indicata con n,
dove n < N.
Il campionamento è il procedimento con cui il campione viene selezionato tra la popolazione, si chiama casuale
semplice se ogni unità della popolazione ha la stessa possibilità di essere selezionata.
Il Parametro è una caratteristica specifica della popolazione che è oggetto di studio.
La Statistica è una caratteristica specifica del campione.
1. CLASSIFICAZIONE DELLE VARIABILI
Individuato l’oggetto di studio, l’informazione disponibile è data da:
- Unità statistiche: singole entità che compongono la popolazione
- Variabili statistiche: le quantità e le qualità misurate
- Modalità di una variabile: l’insieme di tutti i valori potenzialmente osservabili pe tale variabile.
Le variabili si distinguono in:
- CATEGORICHE (se assumono valori espressi come nomi o attributi)
- NUMERICHE se assumono valori numerici suddivisi in: DISCRETE e CONTINUE
SCALE DI MISURAZIONE
- SCALA NOMINALE non è previsto un ordinamento, si usano nomi/ attributi associati arbitrariamente
- SCALA ORDINALE è previsto un ordinamento naturale, ma non ha interpretazione la distanza tra i valori
- SCALA AD INTERVALLI se ha interpretazione la distanza, ma non i rapporti. Lo zero è stabilito convenzionalmente
- SCALA DI RAPPORTO i rapporti tra misurazioni hanno interpretazione, lo zero è assoluto
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE
Riassumere le informazioni presenti nei dati a fini di rappresentazione grafiche o per il calcolo di indici di sintesi.
Definiamo:
- FREQUENZA ASSOLUTA di una modalità, il n° di volte in cui tale modalità si presenta nei dati e indichiamo ni la
frequenza assoluta delle modalità i-esima
- DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE ASSOLUTE una tabella che riporta le modalità e le frequenze assolute associate
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE RELATIVE
Spesso utile (o necessario) trasformare le frequenze relative in relazione alla numerosità del campione
(normalizzazione). Se ci interessala numerosità relativa (per ni la quota) riferita alla modalità dobbiamo rendere la
frequenza indipendente dall’ampiezza del campione.
DEFINIZIONE. Sia n la dimensione del campione osservata e siano n…, nk le frequenze assolute delle k modalità
osservate; Si definisce frequenza relativa della modalità i-esima la quantità 𝑓𝑖 =
𝑛𝑖
𝑛
per ogni i=1, …, k
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
PER VARIABILI CATEGORICHE
- Diagramma a torta
- Diagramma a barre
- Diagramma di Pareto
PER VARIABILI NUMERICHE
- Ogiva
- Istogramma
- Box plot
Infine
- Grafici per serie storiche
- Diagrammi a dispersione (relazione tra due variabili)
GRAFICI PER VARIABILI CATEGORICHE
DIAGRAMMA A TORTA
È un cerchio diviso in spicchi di aerea (o angolo) proporzionale alla frequenza associata stabiliamo l’angolo
Αi=360°
𝑛𝑖
𝑛
DIAGRAMMA A BARRE
Composto da barre di uguale ampiezza (una per modalità) con altezza pari alla frequenza osservata
DIAGRAMMA DI PARETO
È un diagramma a barre con:
- Modalità ordinate con frequenza %
decrescenti
- Una spezzata (sovrapposta) che
delinea le % calcolate
0
100
200
300
400
500
600
PROFESSIONI
OPERAIO
IMPIEGATO
FUNZIONARIO
DIPENDENTE
25%
50%
20%
5%
Vendite
OPERAIO
IMPEGATO
FUNZIONARIO
DIPENDENTE
RAPPRESENTAZIONI PER RELAZIONI TRA VARIABILI
Studio l’associazione tra due variabili
Considero 2 variabili x e y e dati raccolti a coppie (x i
,y i
) i=1, …, k
Se ho variabili categoriche, la tabella si dice tabella di contigenza , dalla tabella posso ricavare le distribuzioni univariate di x e y
dette distribuzioni marginali.
DIAGRAMMI DI DISPERSIONE
Il diagramma di dispersione rappresenta i dati bivariati come coppia di coordinate cartesiane
Associazione: dipendenza tra x e y quella lineare è dettata da 𝑦 = 𝛽 0
1
𝑥
DESCRIZIONE NUMERICA DEI DATI
Ricordiamo che:
- Un parametro è una quantità che rappresenta una caratteristica specifica della popolazione di N unità
- Una statistica è quantità che rappresenta una caratteristica di n elementi, cioè una funzione f(x 1
, …, x n
)
LA MODA
DEFINIZIONE Data una distribuzione per variabili categoriche o numeriche discrete si definisce moda la modalità che si presenta
con frequenza (f i
) più alta.
La moda può non essere unica e può non esistere.
LA MEDIA
DEFINIZIONE Si definisce media aritmetica la somma delle osservazioni disponibili diviso per il n° di osservazioni. Se i dati si
riferiscono all’intera popolazione, la media della popolazione è il parametro
𝜇 =
1
𝑁
× ∑ 𝑥𝑖
𝑁
𝑖= 1
DEFINIZIONE Definiamo media ponderata 𝒙̅ =
∑ 𝒙
𝒊
𝒘
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
∑ 𝒘
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
DEFINIZIONE Definiamo media geometrica dei valori (x 1
, …, x n
) la quantità 𝑚𝑔 = (
𝑖
𝑛
𝑖= 1
1
𝑛
DEFINIZIONE La media armonica è definita come il valore che sostituito ad ogni osservazione lascia invariata la
funzione 𝑚𝑎 =
𝑛
∑
1
𝑥𝑖
𝑛
𝑖= 1
LA MEDIANA
DEFINIZIONE La mediana è l’osservazione centrale di un insieme di osservazioni ordinate in modo non decrescente.
Date n osservazioni ordinate la mediana è l’osservazione di posizione 0.5(n+1) e in particolare se:
- n è dispari, è l’osservazione centrale 𝑀𝑒𝑑 = 𝑥
𝑛+ 1
2
- n è pari, è la media aritmetica delle due osservazioni centrali 𝑀𝑒𝑑 =
𝑥(
𝑛
2
)+𝑥(
𝑛
2
2
Proprietà della mediana: ROBUSTEZZA
QUARTILI E PERCENTILI
DEFINIZIONE Si definisce k-esimo percentile , o percentile di ordine k , l’osservazione di posizione
𝑘
100
( 𝑛 + 1
) nei dati
ordinati
Casi particolari:
- primo quartile si trova al
25
100
(𝑛 + 1 ) = 0. 25 (𝑛 + 1 )
- terzo quartile si trova al
75
100
(𝑛 + 1 ) = 0. 75 (𝑛 + 1 )
INDICI DI VARIABILITÀ
RANGE E DIFFERENZA INTERQUARTILE DEI DATI
DEFINIZIONE. Si definisce range o campo di variazione, la differenza tra il massimo e il minimo del campione.
Dunque, possiamo definire 𝑅 = 𝑥 𝑛
1
DEFINIZIONE. Si definisce differenza interquartile (D.I.) o Range interquartile 𝐷. 𝐼. = 𝑄 3 − 𝑄 1
DEFINIZIONE I cinque numeri di sintesi si riferiscono a cinque misure descrittive: il minimo, il primo quartile, la
mediana, il terzo quartile e il massimo.
Minimo ≤ Q1 ≤ Mediana ≤ Q3 ≤ Massimo
VARIANZA
DEFINIZIONE. Definiamo varianza della popolazione, il parametro dato dalla media dei quadrati degli scarti della
media della popolazione cioè 𝜎
2
2
𝑛
𝑛− 1
𝑖
2
2
𝑘
𝑖= 1
2
SCARTO QUADRATICO
DEFINIZIONE. Definiamo deviazione standard o scarto quadratico medio della popolazione (SQM) 𝑠 = √𝑠
2
2
𝑁
𝑖= 1
FORMULA RIDOTTA PER LA VARIANZA: 𝑆
2
𝑛
𝑛− 1
( 2 )
2
) ossia
( 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜
)
COEFICCIENTE DI VARIAZIONE
DEFINIZIONE. Il Coefficiente di variazione (CV) è una misura di variabilità che esprime lo SQM come
percentuale della media (purché la media non sia nulla). Il CV della popolazione è
× 100%
DESCRIZIONE GRAFICA della FORMA DI UNA DISTRIBUZIONE
DISUGUAGLIANZA DI CHEBYCHEV
DEFINIZIONE. Per ogni popolazione con media 𝜇, SQM 𝜎 e K> 1, la percentuale di osservazioni che
appartengono all’intervallo (𝜇 − 𝑘𝜎; 𝜇 + 𝑘𝜎) è:
almeno 100[1-(1/k
2
)]% dove k rappresenta il fattpore moltiplicativo dello SQM.
La uso se N è piccolo : (𝜇 − 𝑘𝜎; 𝜇 + 𝑘𝜎)
Prop. Unità esterne 1/k
2
Prop. Unità interne 1-1/k
2
REGOLA EMPIRICA
La uso se N è grande
INDICE DI SIMMETRIA
DEFINIZIONE. Definiamo indice di simmetria per i dati x 1
, …, x n
la quantità 𝛾 =
1
𝑛
∑ ( 𝑥𝑖−𝑥
̅ )
3
𝑛
𝑖= 1
𝑠
3
CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
Nella statistica descrittiva una volta raccolti dati questi sono fissati, le decisioni reali sono però prese in
condizioni di incertezza. Tale contesto è detto aleatorio e ha il significato di casuale.
DEFINIZIONE Il n° di permutazioni di n oggetti è il n° dei loro possibili ordinamenti, indicato dal simbolo n!
letto “n fattoriale” dato da n! =n(n-1) (n-2) … il prodotto dei primi n interi, dove per definizione 0! = 1
DEFINIZIONE Il n° di disposizioni di n oggetti di classe k è il n° di scelte ordinate di k oggetti scelti tra n, dato
da:
𝑘
𝑛
DEFINIZIONE Il n° di combinazioni di n oggetti di classe k è il n° di scelte di k oggetti tra n senza tenere
conto dell’ordine dato:
𝑘
𝑛
ESPRIMENTI CASUALI ED EVENTI
Esperimento casuale qualsiasi fenomeno per il quale vi è più di un risultato possibile e il cui esito è incerto
Evento elementare ogni possibile risultato dell’esperimento
Spazio campionario l’insieme indicato con S costituito da tutti gli eventi elementari
Evento un qualsiasi sottoinsieme di S, indicato con A, B, C, …
Diremo che l’elemento A si verifica se l’esito dell’esperimento è un elemento di A.
In particolare:
- A=S è detto evento certo dato che si verifica sicuramente
- A=∅ è detto evento impossibile non contiene nessun evento elementare
- Ogni altro sottoinsieme è un evento possibil
PRINCIPALI OPERAZIONI SUGLI INSIEMI
- Unione
- Eventi collettivamente esaustivi
- Intersezione
- Eventi incompatibili/mutuamente
esclusivi
- Evento complementare
- Partizione
APPROCCI ALLA DEFINIZIONE DI PROBABILITÀ
1. CLASSICO
Ipotizza che i risultati dell’esperimento siano ugualmente possibili. Se definiamo:
- Na il n° di eventi elementari che verificano A (casi favorevoli)
- N il n° di eventi elementari di S (casi possibili)
La definizione classica di possibilità di un evento A⊂ 𝑆 è 𝑃(𝐴) =
𝑁𝑎
𝑁
Se è complesso contare il n° di eventi, uso il calcolo combinatorio
2. FREQUENTISTA
Si basa sull’idea di ripetizione dell’esperimento
- Successione idealmente infinita di prove identiche
- Considero la frequenza assoluta n a
del verificarsi dell’evento A su n prove totali. Definisco
= lim
𝑛→∞
𝑎
3. SOGGETTIVISTA
La probabilità esprime una valutazione fatta dal soggetto interessato, ma per essere ammissibile deve
soddisfare le cosiddette regole di coerenza
4. ASSIOMATICA
Permette di superare il dibattito su quale sia la migliore definizione fornendo uno strumento operativo
che prescinde dall’interpretazione di cosa sia (in ultima analisi). La probabilità postula o degli assiomi,
proposizioni auto evidenti o accettate senza necessità di dimostrazione, sulla base dei quali si
dimostrano tutti gli enunciati necessari. La moderna teoria della probabilità si basa sull’approccio
assiomatico che si deve al matematico russo Kolmogrov
DEFINIZIONE Sia S lo spazio campionario e siano O i
i suoi elementi elementari. Si definisce probabilità
una funzione P il cui argomento è un evento A contenuto in S tale che:
(A.1) 0≤P(A)≤1 sempre compresa tra 0 e 1
(A.2) P(A) = unione di elementi appartenenti ad A
(A.3) P(S)=
REGOLE DELLA PROBABILITÀ
Se mutuamente esclusivi (additività per eventi incompatibili)
𝐶
Regola additiva della probabilità
ODDS
In ambiti come le scommesse, le probabilità di due eventi alternativi (A, A
C
) sono comunicate tramite gli
odds.
DEFINIZIONE Definiamo odds in favore di un evento A il rapporto tra P(A) e P(A
C
Probabilità CONDIZIONATA
Calcolare la probabilità di eventi sulla base di informazione parziale, cioè per cui il risultato è
parzialmente noto.
DEFINIZIONE Siano A e B due eventi. Si definisce probabilità condizionata di A dato B la quantità
Regola moltiplicativa
INDIPENDENZA
Se confronto P(A) e 𝑃
posso verificare se il fatto che B si sia realizzato influisce sulla probabilità di
A, dico che sono indipendenti.
Proprietà GENERALI DELLA f.d.r.
- 0≤F(x)≤1 ∀𝑥 ∈ ℝ
- Comportamenti al bordo di ℝ
- lim
𝑛→−∞
= 0 in - ∞ non ho ancora probabilità da cumulare
𝑛→+∞
= 1 in +∞ ho cumulato tutta la massa di probabilità disponibile
- F è non decrescente
- F è continua da destra nei punti di salto e continua negli altri punti
DEFINIZIONE Data una v.a. X discreta con realizzazioni possibili x1, …, xk con probabilità p(x1), …, p(xk) si
definisce valore atteso di X e il numero reale indicato con E(x) dato da
𝑘
𝑖= 1
MOMENTI
DEFINIZIONE Dato una v.a. discreta X, si definisce momento X di ordine k (o momento k-esimo)
𝑘
𝑘
𝑖≥ 1
La media delle potenze di ordine k delle realizzazioni possibili di x
DEFINIZIONE Sia X una v.a. discreta con media 𝜇 = 𝐸(𝑥). Si definisce varianza di x il valore atteso degli
scarti dalla media al quadrato, dunque
2
= 𝐸[
2
E definisce deviazione standard di X la quantità 𝜎 = ඥ𝑉𝑎𝑟(𝑥)
FORMULA RIDOTTA
2
2
DEFINIZIONE. Definiamo trasformata lineare di una v.a. discreta X, una v.a. data da 𝛾 = 𝑎 + 𝑏𝑥
Prof. De Blasi
DISTINGUIAMO MODELLI IN BASE AL NUMERO DI VALORI CHE PUÒ ASSUMERE X:
NUMERO FINITO
NUMERO INFINITO
DISTRIBUZIONE BINOMIALE (con reimissione)
DISTRIBUZIONE DI BERNOULLI
Sia X una variabile aleatoria può assumere il valore 1 quando il risultato dell’esperimento è il “successo” e
0 in caso contrario. La funzione di probabilità di questa variabile aleatoria è:
P (0) = (1-p) e P(1) = p
In alternativa
𝑥
1 −𝑥
VALORE ATTESO 𝐸
2
2
Formula ridotta 𝑣𝑎𝑟(𝑥) = 𝑝( 1 - p)
Definiamo quindi
𝑥
𝑛−𝑥
Coefficiente binomiale è la quantità (
𝑛!
𝑥!(𝑛−𝑥)!
che corrisponde al numero di combinazioni di x
elementi tra n. Il numero di modi di scegliere tra n senza tener conto dell’ordine è
𝑛
𝒏
𝒙=𝟎
𝑋~𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚(𝑛, 𝑝) (Numero di successi su n prove bernoulliane, indipendenti e con uguale probabilità di
successo)
DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA ( estrazione senza reimissione )
Si tratta di un’estrazione senza reimissione
DEFINIZIONE. Una variabile aleatoria X ha distribuzione ipergeometrica di parametri N,S,n con S≤N e n≤N,
indicato con
Se X ha funzione di probabilità
DISTRIBUZIONE GEOMETRICA
La distribuzione geometrica si applica a esperimenti in cui abbiamo una successione, potenzialmente infinita di
prove bernoulliane, prove cioè indipendenti tra un uguale probabilità di successo
DEFINIZIONE. Una variabile aleatoria X ha distribuzione geometrica di parametro 0≤p≤
Se ha funzione di probabilità p(x) =P(X=x) =(1-p)
x- 1
DISTRIBUZIONE DI POISSON
Si tratta di un modello di distribuzione per esperimenti aleatori che riguardano il numero di volte che un
“evento” si verifica in un intervallo di tempo
Variabile aleatoria X con valori x=0,1,2, …
Si utilizza quando sono soddisfatte le seguenti quattro condizioni:
- Se l’intervallo è diviso in un numero grande di sotto intervalli, la probabilità di verificarsi di un evento in
un sotto intervallo è molto piccola
- La probabilità che si verifichi solo un evento in un sotto intervallo è proporzionale all’ampiezza del sotto
intervallo
- La probabilità che si verifichi l’evento più di una volta in un sotto intervallo è trascurabile rispetto a
quella che l’evento si verifichi una sola volta
- Eventi che si verificano in sotto intervalli disgiunti sono indipendenti
X = numero di eventi che si verificano in un intervallo di tempo
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE
Nelle v.a. continue non è possibile numerare le loro realizzazioni (a differenza delle v.a. discrete)
la probabilità associata a una singola realizzazione è sempre pari a zero
la probabilità si determina ad intervalli
si parla di v.a. continue quando la funzione di ripartizione F(x) è continua su R; spesso è utile lavorare
con la derivata della f.d.r detta funzione di densità
DEFINIZIONE Una v.a. si dice continua se assume valori in un intervallo (limitato o illimitato) e la sua
distribuzione di probabilità è determinata da f: R→ R+ (x→f(x)>=0) che soddisfa le seguenti proprietà:
- ∞+∞f(x)dx=1 e P(a DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE
La distribuzione esponenziale è utile a modellare durata e tempo di attesa
Una v.a X ha distribuzione esponenziale se la funzione di densità è data da f(x
{
𝜆𝑒
−𝜆𝑥
𝑥 ≥ 0
0 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖
Dove λ>0 è detto tasso (“rate”), il parametro della distribuzione
𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝜆)
Sia il valore atteso che la varianza diminuiscono all’aumentare del valore del parametro λ.
E(X)= 1/ p 𝑉𝑎𝑟
( 𝑋
)
1 −𝑝
𝑝
2
DISTRIBUZIONE NORMALE
Si adatta a variabili laddove valori intorno alla media sono più probabili di valori lontani dalla media. In particolare la
funzione di densità è SIMMETRICA rispetto alla media.
E(x)=μ (corrisponde anche alla moda cioè al valore di x con massima densità , “x maggiormente probabile)
Var(x)= 𝜎
2
𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎
2
)
I valori della f.d.r. della distribuzione normale standard sono riportati nelle tavole della normale
DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARD
𝑍~𝑁(𝜇 = 0 , 𝜎
2
= 1 )
funzione di densità: Φ
1
√ 2 𝜋
−𝑧
2
2
funzione di ripartizione: Φ
=P(Z<=z)=-x(u)du i valori sono riportati nelle tavole
se Φ
Trasformazione lineare: se E(X)= 0 , Var(X)= 1 e a,b appartengono ad R
Y=a+bX soddisfa
{
E(X) = E(a + bX) = a + bμ
Var(Y) = Var(a + bX) = 𝑏
2
𝜎
2
Se 𝑋~𝑁
( 𝜇, 𝜎
2
) allora Y= a+bX~N(a+bμ, 𝑏
2
𝜎
2
)
DEFINIZIONE Data una v.a. continua X, si definisce QUARTILE SUPERIORE di ordine 1-α, α appartiene a (0,1),
la quantità x:F(x)= 1- α. x è detto anche quartile superiore di livello α.
Notazione:
𝑍𝛼: 1 − Φ(𝑍𝛼) = 𝛼, 𝛼 < 0. 5
DISTRIBUZIONE DELLA VARIANZA CAMPIONARIA
Campione aleatorio di ampiezza n
X1, … , Xn~iid F
Popolazione con media 𝜇 e varianza 𝜎
2
. In particolare la varianza è il valore atteso
2
= 𝐸[(𝑋 − 𝜇)
2
]
Il che suggerisce di stimare 𝜎
2
attraverso una “media” aritmetica di (𝑥
𝑖
2
estesa a tutte e b le osservazioni.
Se la media è incognita useremo la media campionaria al punto della media della popolazione, giungiamo alla
formula della varianza campionaria che abbiamo introdotto in statistica descrittiva
2
2
𝑛
𝑖= 1
DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO
DEFINIZIONE Siano Z 1
, … ,Z ν
iid da N(0,1), 𝜈 ∈ ℕ. La v.a.
𝜈 2
𝑖= 1
ha distribuzione chi-quadrato Χ
2
𝑐𝑜𝑛 𝜈 gradi di
libertà.
2
𝜈
𝑖= 1
𝜈
2
La distribuzione chi-quadrato è unimodale e asimmetrica, con realizzazione positiva. Abbiamo che
2
𝜈
𝑖= 1
2
𝜈
𝑖= 1
ν=n- 1
PROBLEMI DI STIMA DI UNA SINGOLA POPOLAZIONE
Due tipi di stima:
- Puntuale (attraverso un singolo valore)
- Per intervallo (attraverso un intervallo di valori all’interno dei quali si potrà verosimilmente trovare il
parametro da stimare)[Intervallo di confidenza]
STIMA PUNTUALE
Stima puntuale attraverso statistiche campionarie, cioè v.a. espresse in funzione del campione aleatorio X1,
....,Xn~iid F
ESEMPI DI STATISTICHE CAMPIONARIE:
- Media campionaria 𝑥̅
- Proporzione campionaria 𝑃
̂
2
Per scegliere quale preferire in generale utilizziamo le proprietà degli stimatori che fanno riferimento alla loro
distribuzione campionaria:
NON DISTORSIONE
Uno stimatore 𝐸 𝜃
= 𝜃 La mediana è uno stimatore non distorto di μ
EFFICIENZA DELLO STIMATORE
INTERVALLI DI CONFIDENZA DELLA MEDIA
(Con varianza nota) L’intervallo aleatorio (A,B) è definito stimatore per intervallo a un livello di confidenza 1-α
per il parametro θ e la stima per intervallo (a, b) viene chiamato intervallo di confidenza di livello 1- α.
Margine errore (ME)=𝑍𝛼
2
⁄
𝜎
√𝑛
Minore n, maggiore è ME
Maggiore 𝜎, maggiore è ME
Maggiore 1- α, maggiore è ME
(varianza non nota) Si considera quindi la standardizzazione che si ottiene sostituendo 𝜎 = √𝜎
2
con
2
, s
2
varianza campionaria 𝑇 =
𝑥̅ −𝜇
𝑆
√𝑛
⁄
DISTRIBUZIONE DI T-STUDENT Definizione al variare del parametro “gradi di libertà”
L’intervallo di confidenza è dato da:
𝑛− 1
𝑛− 1
INTERVALLI DI CONFIDENZA PER LA PROPORZIONE
Intervallo di confidenza dato da
2
⁄
2
⁄
VERIFICA DI IPOTESI SU UNA SINGOLA POPOLAZIONE
DEFINIZIONE ipotesi= affermazioni sulla popolazione formulate sul valore di un parametro che ne determina la
distribuzione (media, varianza o proporzione)
Le due ipotesi H 0
“nulla” e H 1
“alternativa”, devono essere stabilite in modo che ci siano due opzioni:
e accettare H 1
e rifiutare H 1
REGOLA 1
H
0
e H 1
devono essere tra loro auto escludenti. Un'ipotesi, sia nulla che alternativa, può specificare un singolo
valore.
H: 𝜇 = 𝜇𝑜
Si parlerà di ipotesi semplice. Un'ipotesi che specifica valori grandi (rispettivamente valori piccoli) per il
parametro è detta ipotesi unilaterale. H: 𝜇 > 𝜇𝑜
TEST DI LIVELLO α SULLA MEDIA 𝜇 𝐶𝑂𝑁 𝑉𝐴𝑅𝐼𝐴𝑁𝑍𝐴 𝜎
2
𝑁𝑂𝑇𝐴 Test (approssimato) di livello α sulla proporzione p
