Statistica bivariata, Slide di Matematica

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STATISTICA biVARIATA

DEFINIZIONE : la statistica bivariata si occupa di fare rilevazioni contemporaneamente su due diversi caratteri di una

stessa popolazione e analizzare le loro eventuali relazioni

DISTRIBUZIONI CONGIUNTE

Esempio: consideriamo che a 12 ragazzi siano stati assegnati voti in storia e in latino. Possiamo riportare i dati in una

tabella composta

Studente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 STORIA 6 6 6 6 6 7 8 8 6 6 7 8 7 LATINO 6 7 7 6 6 6 8 6 6 7 7 9 8

DISTRIBUZIONI MARGINALI: sono le distribuzioni che i due caratteri avrebbero se fossero rilevati singolarmente.

Voto in storia Numero alunni 6 9 7 3 8 3 Totale 15 Voto in Latino Numero alunni 6 3 7 7 8 3 9 2 Totale 15

Quando entrambe le modalità sono quantitative si hanno tabelle di correlazione , se sono entrambe qualitative tabelle

di contingenza e se una modalità è qualitativa e l’altra quantitativa tabelle miste.

Delle distribuzioni congiunte e marginali possiamo calcolare le frequenze relative calcolando i rapporti fra le

frequenza assolute rispettivamente congiunte e marginali e il numero complessivo di unità della popolazione.

6 7 8 9 Totale 6^2 15

7^1

8^1

Totale^3 15

INDIPENDENZA E DIPENDENZA

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 Totale 𝒙𝟏 15 25 20 60 𝒙𝟐 75 125 100 300 𝒙𝟑 60 100 80 240 Totale 150 250 200 600

Y

X

𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 Totale 𝒙𝟏 0,1 0,1 0,1 0, 𝒙𝟐 0,5 0,5 0,5 0, 𝒙𝟑 0,4 0,4 0,4 0, Totale 1 1 1 1

Y

X

FREQUENZE CONGIUNTE FREQUENZE RELATIVE DELLE DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE RISPETTO ALLE MODALITÀ DEL CARATTERE Y

Osserviamo che tutte le distribuzioni condizionate presentano la stessa sequenza di frequenze relative. Ciò evidenzia il

fatto che condizionare il carattere X a una qualunque modalità del carattere Y non influisce sulla distribuzione di X e

viceversa. Possiamo perciò dire che i caratteri X e Y sono simmetricamente indipendenti. Se due caratteri non sono

indipendenti, diciamo che sono dipendenti.

INDICE 𝑿

Consideriamo i generi di film preferiti da un gruppo di ragazzi e ragazze

generi sesso Avventura Romantico Storico Totale Maschi 20 5 25 50 Femmine 45 10 15 70 Totale 65 15 40 120

ogni frequenza congiunta si

ottiene moltiplicando il totale della

sua riga per il totale della sua

colonna e dividendo poi il prodotto

per il totale delle osservazioni.

generi sesso Avventura Romantico Storico Totale Maschi (50x65):120= 27,

Femmine 37,93 8,75 23,33 70 Totale 65 15 40 120

INDICE 𝑿

L’indice X

vale 0 in caso di perfetta indipendenza, essendo nulle tutte le contingenze, e cresce al crescere delle

contingenze e del numero di osservazioni. L’indipendenza tra due caratteri, però, non dipende dal numero delle

osservazioni e quindi nemmeno l’indice da utilizzare per valutarla dovrebbe dipenderne. Per questo si utilizza il seguente

indice C, detto 𝐗

normalizzato

C=

2

Numero totale delle

osservazioni

Valore minimo tra numero di

righe e il numero di colonne

Dall’esempio di prima

REGRESSIONE

Consideriamo due variabili x e y, due caratteri quantitativi. Possiamo rappresentare le coppie dei relativi dati in un piano

cartesiano. Otteniamo un diagramma di dispersione o nuvola di punti.

La funzione interpolante y=f (x) permette di rappresentare il legame fra i due caratteri.

La funzione lineare y=ax+b è la più semplice delle possibili funzioni Interpolanti. Fra tutte le funzioni lineari che

passano fra i punti del diagramma di dispersione la migliore è quella che:

• Passa per il punto (𝑥; 𝑦) Detto baricentro,
• Rende nulla la somma delle differenze tra i valori levati 𝑦

, e i valori f(𝑥

• Rende minima la somma dei quadrati delle differenze del punto precedente.

METODO DEI MINIMI QUADRATI

FUNZIONE INTERPOLANTE LINEARE

𝟐 1 3257 - 2 - 610,5 1221 4 2 3478 - 1 - 389.5 389,5 1 3 4023,6 0 156,1 0 0 4 4178 1 310,5 310,5 1 5 4400,8 2 533,3 1066,6 4 15 19337,7 2987,6 10 𝑥=3 𝑦= 3867,

a=

𝟐

il fatturato y aumenta in media 2987,8 migliaia di euro l’anno

FUNZIONE INTERPOLANTE LINEARE

a=

𝟐

Dall’equazione y-𝑦=a(x-𝑥) mi vado a calcolare a

y-3867,54=298,76 (x-3)v

y=298,76x-898,28+3867,

y=298,76x+2969,

Visto che abbiamo considerato il fatturato in 5 anni, l’anno successivo sarà:

y=298,76 6+2969,26=4761,

REGRESSIONE LINEARE

ESEMPIO

La tabella riporta il reddito (x) di 5 dipendenti di un’industrie e le relative spese per le ferie (y)

𝟐 1,2 0,9 - 1,16 - 0,86 0,99 0, 1,7 1,1 - 0,66 - 0,66 0,44 0, 1,82 1,8 - 0,54 0,04 - 0,02 0, 2,56 2,4 0,2 0,64 0,13 0, 3,8 2,6 1,44 0,84 1,2 0, 11,8 8,8 2,74 2, 𝑥=2,36 𝑦=1,

x-2,36=1,19(y-1,79) e calcolando anche y-𝑦=a(x-𝑥), troveremmo che entrambe passano per (2,36; 1,79) ossia

il baricentro

COEFFICIENTE DI REGRESSIONE

Come abbiamo visto:

• il coefficiente di regressione di Y su X, ossia a , indica quanto varia la variabile Y al variare di un’unità X
• Il coefficiente di regressione di X su Y, ossia b , indica quanto varia la variabile X al variare di un’unità Y

Inoltre sono i coefficienti angolari delle rette di regressione (a e

) ed al numeratore e al denominatore hanno

numeri concordi, quindi se sono positivi indicano una retta crescente, mentre se sono negativi, una retta decrescente.

Se:

• a>0 y aumenta all’aumentare di x
• a<0 y diminuisce all’aumentare di x
• a=0 y non dipende da x

CORRELAZIONE

La teoria di della correlazione si occupa di stabilire se fra 2 variabili esiste un legame e in caso affermativo, di

esprimerlo con un numero che misuri come una variabile dipende dall’altra.

COVARIANZA

Date n coppie (𝑥

) di una rivelazione statistica su 2 variabili X e Y, possiamo calcolare le medie di ciascuna

variabile

Ricaviamo poi tutti gli scarti 𝑥

𝑦 dai valori medi di 𝑥 e 𝑦

La covarianza di X e Y è la media dei prodotti degli scarti, ossia la quantità:

𝐼

𝑖 𝐼

La covarianza è utile per studiare il grado di relazione tra due variabili

XY

COVARIANZA

Dati i dati di un’indagine statistica se σ >0 nelle regioni α e δ in cui il diagramma di dispersione è diviso dalle

rette x=𝑥 e y=𝑦, abbiamo più punti che nelle altre due regioni β e γ. Questo significa che all’aumentare di una

variabile, aumenta in media anche l’altra

XY

x=𝑥 y=𝑦 α δ β γ