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LE SOMMATORIE
{0, 1, 3, 2, 1, 0, 3,} numeri che appartengono a un unico insieme, che indichiamo con la lettera N {x1, X2, …, X7 (essendo 7 numeri)}: x1=0 x2=1 …x7= = stiamo trattando un insieme i cui elementi si chiamano x, sono caratterizzati da un indice, quindi necessitiamo di una nuova lettera per indicare l’indice, per esempio usiamo la lettera i e diciamo che fuori dalla parentesi graffa chiusa il valore dell’indice i va fatto scorrere a partire da 1 fino ad arrivare a 7. Se indichiamo con una lettera il valore massimo che l’indice i può assumere, cioè se diciamo che i è uguale a 7 possiamo continuare a scrivere in una ultima forma più sintetica e più generale di tutte quelle che abbiamo su questo foglio lì insieme dei numeri di partenza cioè l’insieme delle x cronaca i per i che va da 1 fino a n. Si tratta di tre modi diversi per dire la stessa cosa. Volendo far la somma degli elementi di questo insieme dovremmo scrivere…. Si legge: la somma di x con i per i che va da 1 fino a 7, il risultato una volta fatta la somma il risultato è 10.
Provando a verificare se è vera… PROPRIETà DELLA SOMMATORIE La somma per i che va da 1 a n, qualunque valore voglio indicare al posto di n, sia esso 5 ( primo esempio) o 7( numero massimo degli elementi del sistema iniziale), di una costante a per x con i coincide a a per la somma di i che va da 1 a n di x con i.
Il simbolo di sommatoria può anche essere utilizzato ad esempio così:
Volendo fare la somma di tutti i valori dell’insieme dovrò utilizzare due sommatorie una all’interno dll’altra per indicare qual’è il valore minimo dell’indice i e qual’è il suo valore massimo e qual’è il valore massimo e minimo dell’indice j per cui voglio prendere gli elementi che hanno quelle i e quelle j definite in quell’insieme. Se voglio fare la somma di tutti gli elementi di questa matrice…
STATISTICA DESCRITTIVA ANALISI DATI pagg 1-
Statistica descrittiva univariata
Fenomeni di massa e popolazione La statistica descrittiva serve allo studio quantitativo dei fenomeni di massa. Fenomeni di massa: la cui esatta percezione può essere ottenuta solo mediante la COLLEZIONE di NUMEROSE OSSERVAZIONI su fatti elementari. Esempi: 1.Le abitudini alimentari degli italiani 2.La capacità ricettiva delle aziende turistiche piemontesi 3.L’incidentalità autostradale europea 4.L’operato dell’ufficio contabile di una azienda 5.La customers satisfaction dei degenti di un ospedale PRIMI PASSI dell’analisi statistica sono l’INDIVIDUAZIONE:
- della POPOLAZIONE STATISTICA (o Collettivo)
- CARATTERI (su cui ci concentriamo in questa analisi grafica) che incidono sul fenomeno PRIMI PASSI:
- definire l’insieme delle unità che sono portatrici dell’informazione, cioè dare la definizione di popolazione statistica o collettivo statistico
- Capire quali sono i fatti elementari e dare la definizione di caratteri LA POPOLAZIONE STATISTICA È un insieme delle unità (individui, oggetti) mediante le quali si manifesta il fenomeno oggetto di studio. Gli elementi della popolazione sono unità statistiche Si capisce com la statistica utilizza gli strumenti della matematica per modellizzare degli aspetti reali. Se si parla di insieme, un insieme in matematica ha un simbolo per essere identificato, qui la popolazione statistica è un insieme che per quello che riguarda la nostra notazione si chiamerà Omega. Gli elementi di un insieme devono essere caratterizzati da una lettera e da un indice, quindi usiamo la lettera minuscola omega con un indice che, avendolo variare da 1 a un certo numero ci permetterà di indicare ciascun elemento di un insieme, quindi l’indice che utilizziamo qui è alfa, che varia da 1 a N, simbolo utilizzato per indicare il numero degli elementi di omega, che prendono il nome di unità statistiche. Ciascuna omega con alfa è un elemento dell’insieme e in termini letterali è chiamata unità statistica. Nella prima linea, in termini matematici leggiamo: omega con alfa appartiene a omega, in termini di contenuto della scrittura diciamo che un unità statistica appartiene a omega. N è il numero degli elementi di omega.
ESEMPIO POPOLAZIONE PER LO STUDIO DEL FENOMENO ABITUDINI ALIMENTARI DEGLI
ITALIANI
Insieme degli italiani La popolazione è composta da individui, gli italiani reperibili alla data dell’indagine mediate i mezzi scelti, da chi conduce l’indagine, per la rilevazione dei dati. ESEMPIO POPOLAZIONE PER LO STUDIO DEL FENOMENO CAPACITÀ RICETTIVA DELLE AZIENDE TURISTICHE PIEMONTESI La popolazione è composta da edifici, gli alberghi, agriturismi, campeggi, ecc.. reperibili alla data dell’indagine mediante i mezzi scelti
I CARATTERI: DEFINIZIONI
CARATTERE: una delle grandezze mediante le quali viene percepito il fenomeno di massa in esame. Si tratta di caratteristiche possedute dalle unità statistiche del collettivo o della popolazione che sono utili alla conoscenza del fenomeno. Per il fenomeno operato dell’ufficio contabile, sulla popolazione costituita dalle fatture emesse nel primo trimestre dell’anno sono esempi di caratteri:
- Regolarità di compilazione della fattura
- Corrispondenza tra fattura fisica e registrazione contabile
- Giudizio sulla irregolarità di compilazione della fattura • Numero di irregolarità della fattura
- Importo della fattura I caratteri vengono classificati in base al loro INSIEME DELLE MODALITÀ (deve contenere tutti i possibili modi in cui il carattere si esprime sulle unità statistiche) (simb. M) cioè all’insieme delle possibili espressioni con cui il carattere si manifesta sulla singola unità statistica. I CARATTERI: esempi di insiemi di modalità
- Regolarità di compilazione della fattura: M = {regolare, irregolare}
- Corrispondenza tra fattura fisica e registrazione contabile: M = {corrisponde, non corrisponde}
- Giudizio sulla irregolarità di compilazione della fattura: M = {nulla, lieve, grave, gravissima}
- Numero di irregolarità della fattura: M = {0, 1, 2,...,10}
- Importo della fattura: M = [0; 50] mila euro ATTENZIONE: l’insieme delle modalità del carattere è legato alla scala di misura che si intende adottare per rilevare il carattere stesso
- Giudizio sulla irregolarità di compilazione della fattura: M = {1, 2, ..., 10} voti su una scala da 1 a 10 Se chi darà il giudizio lo esprimerà attraverso degli aggettivi L’ insieme M delle modalità di tale carattere sarà formato da questo insieme di giudizi: nulla lieve grave gravissima. In questo caso si deciderà di rilevare il carattere su una scala di misura per attributi, cioè con i giudizi, se invece si vorrà misurare l’irregolarità di compilazione della fattura attraverso un voto, vuol dire che chi misurerà l’irregolarità aggiudicherà un numero a ciascuna fattura corrispondente al voto dato sulla irregolarità e quindi l’insieme M delle modalità di questo carattere giudizio sulle irregolarità sarà formato da un voto su una scala da 1 a 10. Il carattere rimane lo stesso ma l’insieme delle modalità nei due casi dipende da quale scala di misura si decide di adottare per rilevarlo. Ogni carattere dobbiamo individuare le modalità con cui si esprime, M={ nulla, lieve, grave, gravissimo} oppure M={ 1,2,3,4}.
LA CLASSIFICAZIONE DEI CARATTERI
In un’indagine statistica, decisi i caratteri che si vogliono rilevare, determinato per ciascuno la scala di misura che si intende adottare per la rilevazione si potrà successivamente classificare i caratteri a seconda della natura del loro insieme delle modalità. Questo schema descrive nel dettaglio la modalità della classificazione dei caratteri. CLASSIFICHIAMO I CARATTERI degli esempi precedenti QUALITATIVI SCONNESSO
- Regolarità di compilazione della fattura: M = {regolare, irregolare}
- Corrispondenza tra fattura fisica e registrazione contabile: M = {corrisponde, non corrisponde} QUALITATIVO ORDINALE
- Giudizio sulla irregolarità di compilazione della fattura: M = {nulla, lieve, grave, gravissima} QUANTITATIVI DISCRETI
- Numero di irregolarità della fattura: M = {0, 1, 2,...,10}
- Giudizio sulla irregolarità di compilazione della fattura: M = {1, 2, ..., 10} voti su una scala da 1 a 10 QUANTITATIVO CONTINUO
- Importo della fattura: M = [0; 50] mila euro
Statistica descrittiva univariata
La rilevazione dei dati: variabili e mutabili statistiche
Pagg 19_ Sintetizziamo le prime fasi di un’indagine di statistica descrittiva:
- VogliamostudiareunFENOMENOdiMASSA
- DobbiamoindividuarelaPOPOLAZIONEdiriferimento
- DeterminareiCARATTERIchefornisconoleinformazioni circa il fenomeno
- Sceglierelascaladimisuraeindividuarel’INSIEMEDELLE MODALITA’ di ciascun carattere SOLO ORA SI PUO’ RILEVARE I CARATTERI su ciascuna unità statistica
La rilevazione di un carattere sugli elementi della popolazione
Rilevare un carattere sulla popolazione (cioè misurare come questo si esprime su ogni unità statistica) induce una corrispondenza tra gli elementi dell’insieme Ω e quelli dell’insieme M delle modalità del carattere Disponendo die due insieme ben definiti, la popolazione statistica e l’insieme delle modalità di un carattere rilevare un carattere vuol dire stabilire una corrisponde per ciascun elemento di omega individuare il valore che i carattere assume su quella unità statistica e quindi la corrisponderà sarà con un elemento del l’insieme M delle modalità del carattere.
La Variabile e la Mutabile Statistica
DEFINIZIONE:
L’applicazione (in termini matematici è la corrispondenza tra due insieme) che associa a ciascuna unità ωα del collettivo Ω uno ed un solo elemento dell’insieme M delle modalità del carattere viene detta:
- VARIABILE statistica: sè gli elementi di M sono numeri (cioè se il carattere e quantitativo). Applicazione che associa a ciascuna qui dia tutte le unità del collettivo un è uno solo elemento dell’insieme delle modalità del carattere. Sè questa applicazione e tale per cui l’insieme M delle modalità del carattere è composto da numeri, l’applicazione viene detta variabile, se il carattere è di tipo qualitativo e quindi gli elementi del l’insieme M sono attributi, questa applicazione viene detta:
- MUTABILE statistica: sè gli elementi di M sono oggetti, persone, cose, ATTRIBUTI ( cioè se il carattere é quantitativo (cioè se il carattere e qualitativo) Insieme dei dati individuali Disporre di una Variabile (o di una Mutabile) statistica significa possedere l’insieme dei valori che questa assume su ciascuna unità statistica, cioè dell’ insieme dei dati individuali che è composto da N elementi che saranno numeri nel caso di Variabile Statistica o attributi nel caso di Mutabile.
- Data la V.S. X indichiamo il suo insieme di dati individuali con: Insieme formato da numeri appartenenti all’insieme delle modalità del carattere non necessariamente tutti diversi:
- Data la M.S. A indichiamo il suo insieme di dati individuali con: Insieme formato da attributi appartenenti all’insieme delle modalità del carattere non necessariamente tutti diversi Gli elementi dell’insieme dei dati individuali di una variabile o di una mutabile statistica sono in numero di N, il numero di elementi dell’insieme omega, il numero delle unità statistiche, la numerosità del collettivo statistico, l’insieme dei dati individuali di una variabile rilevata su un collettivo statistico formato da N unità statistiche e formato da N elementi, perché l’applicazione associa ad ogni unità statistica un valore di M
ESEMPIO: VARIABILE STATISTICA discreta
Popolazione: insieme delle fatture emesse nel mese di marzo Carattere: Numero di irregolarità della fattura Insieme modalità del carattere M = {0, 1, 2,...,10} INSIEME DEI DATI INDIVIDUALI DELLA VARIABILE STATISTICA Discreta= l’insieme dei dati individuali del carattere, che è un carattere di tipo quantitativo è un insieme formato da numeri interi, e per tanto la variabile si dice di tipo discreto.
ESEMPIO: VARIABILE STATISTICA continua
Popolazione: insieme delle fatture emesse nel mese di marzo Carattere: Importo della fattura Insieme modalità del carattere M = [0; 50] mila euro INSIEME DEI DATI INDIVIDUALI DELLA VARIABILE STATISTICA In questo caso l’insieme delle modalità del carattere è un intervallo reale da 0 a 50000€ , quando l’insieme delle modalità del carattere è un sottoinsieme di R, la corrispondenza tra omega e questo sottoinsieme (= la variabile) viene detta continua.
Primi strumenti di sintesi: Distribuzioni di frequenze
DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE
Come si è detto, gli insiemi dei dati individuali di una v.s. (o di una m.s.) contengono tutte le informazioni circa i caratteri rilevati sulla popolazione. Un primo modo per visualizzare sinteticamente l’insieme dei dati individuali e` ricorrere alla distribuzione di frequenze assolute (o relative o cumulate).
- Individuare tra i dati individuali quelli distinti Saranno tutti i k (numero dei valori diversi che la variabile assume) valori diversi che la v.s. (o la m.s.) ha assunto: MODALITA’ DISTINTE
- Se possibile metterli in ordine crescente. Indicando, per una v.s., la generica modalità distinta con si avrà: x1 <x2 <...<xi <...<xk
- Contare quante unità statistiche posseggono la stessa modalità
- Formare le coppie modalità distinta frequenza assoluta associata. Distribuzione di frequenze assolute: un insieme di coppie che contiene sinteticamente tutta l’informazione Riguarda sia la mutabile che la variabile.
Esempio: DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE ASSOLUTE v.s. numero di
irregolarità fatture
I dati diversi sono: 2,0,1,7, Modalità distinte sono k=5: {0,1,2,6,7} Frequenze assolute associate a ciascuna modalità {5,2,1,1,1} DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE ASSOLUTE
- Essendo 0 il più piccoli dei valori che abbiamo individuato x con 1 sarà uguale a 0, x con 2 uguale a 1 e x con k sarà x con 5 che è uguale a 7. L’insieme delle modalità distinte della variabile x di questo esempio è L’insieme delle x con i per i che va da 1 a 5, ed è l’insieme formato dai numeri in ordine 0,1,2,6,7.
- Se consideriamo la modalità distinta x con 1, cioè il numero 0, dobbiamo, partendo dalle frecce che arrivano in 0 nella applicazione x andare ad individuare quel sottoinsieme di unità statistiche che vengono tutte associate al valore 0 ( omega con 2, omega con 7, o,era con 8, omega con 5, omega con 3), noi non siamo interessati a sapere quali sono ma dobbiamo contale, cioè determinare quante sono le unità statistiche per cui x vale 0. In questo esempio sono 5.
