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Introduzione Statistica
STATISTICA : insieme di metodologie e tecniche per la trattazione quantitativa dei fenomeni osservabili nella
realtà sociale, in natura, in laboratorio.
Per trattazione quantitativa intendiamo un percorso logico che prevede: l’ osservazione (rilevazione), l’ analisi
(elaborazione), la comprensione (trasformazioni di dati in informazioni). Successivamente prendiamo
decisioni. Questo processo è svolto per prendere qualsiasi tipo di decisione.
Definizioni base:
Popolazione statistica ( U ) - > collettivo delle unità statistiche su cui interessa un particolare fenomeno. Può
essere chiamato target, è composto da un insieme di unità statistiche. È la popolazione su cui manifesta un
fenomeno.
Fenomeno statistico ( X ) è il fenomeno d’interesse per la statistica, è la cornice di caratterizzazione o un
concetto.
Manifestazione/modalità( x ) - > le modalità in cui si manifesta il fenomeno (può essere svariate cose).
Numerosità di U ( N ) - > in genere è un numero intere, se è un numero tanto elevato può essere anche
considerato come ∞. È il numero di unità statistiche che compongono la popolazione.
Classificazione dei fenomeni statistici
- > QUALITATIVI (fenomeni che si manifestano nella popolazione osservata attraverso attributi o categorie,
qualità appunto). Possono essere ordinali (si manifestano con attributi e categorie che si possono ordinare
secondo un qualche criterio oggettivo e convenzionalmente accettato) e categoriali (non c’è un criterio
oggettivo per ordinare le categorie).
- > QUANTITATIVI (si manifestano nella popolazione osservata attraverso numeri, quantità appunto). Possono
essere discreti(possiamo contare, enumerare) e continui (si possono misurare con una unità di misura o con
un intervallo).
Scale di modalità : sono costituite dall’insieme di tutte le diverse manifestazioni di X su U. Devono rispettare
due principi generali: esaustività (deve prevedere tutte le possibili manifestazioni di X che potenzialmente si
possono osservare su U) e mutua esclusività (le modalità si devono escludere a vicenda).
Le scale di modalità sono:
QUALITATIVE (se le modalità sono attributi o categorie). Si dividono in scale qualitative ordinali (se
sono ordinabili secondo un criterio oggettivo o convenzionalmente accettato) o sconnesse (se non
possono essere ordinate secondo un criterio oggettivo).
QUANTITATIVE (le modalità sono numeri).. Si dividono in scale quantitative rapporto (l’origine è 0 e
ha un significato assoluto, cioè assenza del fenomeno) o non rapporto (l’origine non è assoluto ma
convenzionale - es. gradi).
Si dice scala dicotomica (o binaria) una SdM con solo due modalità. Indicheremo con k il numero di diverse
modalità della scala utilizzata. Per quanto riguarda gli intervalli indicheremo con x l
l’ estremo inferiore e con
x L
l’ estremo superiore. Indichiamo con x i
la generica manifestazione; con x i
:x l
ͱx L
quando x i
è un intervallo;
con i=1….k le diverse manifestazioni del fenomeno.
Alcuni fenomeni quantitativi possono essere rilevati su scala qualitativa, e viceversa. La natura di un
fenomeno può essere discreta o quantitativa in base alle modalità che vogliamo attribuirgli noi: se un
numero specifico o un intervallo.
La STATISTICA ha due funzioni: statistica descrittiva (funzione di descrivere il comportamento di X su U) e la
statistica inferenziale (estendere i dati osservati, sull’intera popolazione).
La statistica descrittiva si compone di: - statistica mono-variata (ha per oggetto un unico fenomeno e come
obbiettivo la descrizione sintetica del suo comportamento su U); - statistica bi-variata (due fenomeni,
obbiettivo: individuazione e studio delle eventuali relazioni statistiche fra i due); - multi-variata (fenomeni
sono più di due, obbiettivo: descriverne il comportamento congiunto e studiarne le relazioni,
congiuntamente e per loro sottoinsiemi).
La statistica inferenziale è basata su dei campioni di tipo casuale scelti sulla totalità dei dati che
esaurirebbero l’osservazione di U. Vi sono elementi di teoria delle probabilità.
Statistica descrittiva uni-variata (mono-variata)
DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE, TABELLE E GRAFICI
Il risultato della rilevazione è una serie confusa di modalità x i
che si manifestano su N e sono dati in modo
sparso. Questi vengono definiti dati grezzi i quali devono essere posti a sintesi successive, con l’obbiettivo di
far emergere dati e informazioni utili a descrivere il comportamento di X su U. La prima fase di sintesi consiste
nella creazione di tabelle e grafici che rendano i dati più leggibili. Queste tabelle prendono il nome di variabili
statistiche.
La frequenza assoluta di ciascuna modalità osservata x i
è il numero di unità statistiche, tra le N osservate,
manifesta quella modalità x i
di X. Indicheremo la frequenza assoluta con f i
L’insieme delle k frequenze (assolute) è detta distribuzione di frequenze assolute di X su U.
N è la somma delle frequenze assolute. Il complesso della tabella (p. 27) costituisce la v.s. (k coppie di tipo
modalità, frequenza).
Schema p.
x i
contiene le modalità, mentre f i
può contenere solo numeri interi ≥ 0 e con somma pari a N. Il complesso
della tabella costituisce la variabile statistica, che è l’insieme di k coppie del tipo “modalità, frequenza”.
Se l’obbiettivo è confrontare le distribuzioni di frequenze di X in due (o più) popolazioni dovremo depurare
le frequenze assolute dall’influenza di N costruendo le frequenze relative. La frequenza relativa associata alla
modalità x i
è il rapporto tra le frequenze assolute e la numerosità N. Indicheremo la frequenza relativa con p i
e in formule : 𝑝 𝑖
𝑓
𝑖
𝑁
. Otteniamo il peso che ciascuna modalità ha sull’intera popolazione.
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA:
𝑖
𝑘
𝑖= 1
= 1 k =numero qualunque intero. N
𝑖
𝑖
𝑘
𝑖= 1
𝑘
𝑖= 1
1
2
𝑘
𝑖
𝑘
𝑖= 1
×𝑁 = 1
La colonna delle frequenze relative costituisce la distribuzione di frequenze relative di X su U.
Quando il fenomeno è almeno ordinale (qualitativo ordinale o quantitativo) possiamo fare un’ulteriore
analisi. Quando abbiamo questi tipi di analisi è consuetudine costruire la v.s. ponendo in ordine in senso
crescente le x i
. Sommare, tecnicamente cumulare , le frequenze associate alle modalità inferiori di x i
, ci fa
costruire le frequenze cumulate. Indicheremo le frequenze assolute cumulate con F i
e le frequenze relative
cumulate con la “phi” maiuscola: ф i
𝑖
1
2
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗= 1
ф
𝑖
1
2
𝑖
𝑗
𝐹 𝑖
𝑁
𝑖
𝑗= 1
𝑖
𝑖
} - > fenomeno che si presenta in maniera minore o uguale alla i-esima.
ф 𝑖
𝑖
freq.rel.con cui il fenomeno si presenta sulla popolazione in maniera ≤alla i-esima.
Proprietà delle frequenze cumulate:
Fenomeni almeno ordinali
0 < F
i
< N ; F
1
=f 1
; F
k
= N 0 < ф i
< 1 ; ф 1
=p 1
; ф k
Tra le frequenze cumulate esiste una corrispondenza biunivoca e ricorsiva: se conosciamo le
frequenze (assolute o relative) possiamo ottenere le cumulate e se conosciamo le cumulate possiamo
ottenere le frequenze. In formule: 𝐹
𝑖
𝑖− 1
𝑖
𝑖− 1
𝑖
𝑖
; ф
1
− ф
𝑖− 1
𝑖
𝑒 ф
𝑖− 1
𝑖
= ф
𝑖
Discorso diverso si deve fare per quanto riguarda i fenomeni quantitativi continui che si rilevano con degli
intervalli. La v.s. ci informa che in quell’intervallo ci sono f i
unità statistiche, ma non ci informa in che modo
Statistica descrittiva uni-variata (mono-variata)
per raggiungere x
. Sull’istogramma le aree sono le frequenze, sappiamo che tutta l’area dell’istogramma
vale N e che la mediana divide N in due parti (N/2). L’area a sinistra di x l
coincide con la frequenza di tutte le
modalità ≤x l
, cioè la frequenza cumulata F i- 1
. Ne segue che per differenza possiamo calcolare l’area del sotto-
rettangolo che ci interessa: 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑡𝑜 =
𝑁
2
𝑖− 1
Siccome l’area del rettangolo è base per altezza, si ottiene la base dividendo l’area per l’altezza:
𝑁
2
−𝐹
𝑖− 1
𝜑
𝑖
Infine cci ricordiamo la definizione di densità di frequenza: 𝜑 𝑖
𝑖
𝐿
𝑙
Mettiamo insieme tutti i pezzi: 𝑥
- 5
𝑙
(
𝑁
2
−𝐹
𝑖− 1
)
𝜑
𝑙
𝑁
2
𝑖− 1
𝑥
𝐿
−𝑥
𝑙
𝑓
𝑖
La stessa formula si può anche calcolare utilizzato le frequenze relative e sarà: 𝑥
- 5
𝑙
𝑖− 1
𝑥
𝐿
−𝑥
𝑙
𝑝
𝑖
MEDIA ARITMETICA-> La media aritmetica (che indicheremo con 𝑥̅ , “x medio”) è calcolabile su fenomeni
quantitativi (o qualitativi ordinali rilevati con scala quantitativa), è espressa con la stessa unità di misura con
cui X si manifesta su U, ci dà un’informazione sintetica dell’ordine di grandezza di X su U ed è una sintesi
dell’INTERA v.s.. è semplice da calcolare: bisogna moltiplicare le k modalità osservate per le f i
, sommare il
tutto e infine dividere per il numero N di unità statistiche osservate. In formule 𝑥̅ =
1
𝑁
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑘
𝑖= 1
𝑘
𝑖= 1
Se X è quantitativo continuo e le sue modalità sono degli intervalli, la media 𝑥̅ è in genere calcolata sull’ipotesi
del valore centrale 𝑥
𝑖
∗
PROPRIETA’ DELLA MEDIA ARITMETICA
Proprietà di internalità. Il valore della media aritmetica è sempre compreso tra la più piccola e la più grande
delle modalità osservate di X: in formula 𝑥 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
Proprietà di omogeneità.Se X e Y sono due fenomeni diversi ma collegati tra lodo dalla formula 𝑌 = 𝑎𝑋 dove
a è un qualunque numero (costante) diverso da 0, si dice che Y è una trasformazione di scala di X: la media
aritmetica di Y si ottiene dalla media aritmetica di X, con la stessa identica trasformazione: 𝑦̅ = 𝑎𝑥̅.
Proprietà associativa. Quando U è molto numero è una pratica sensata utilizzare dati aggregati anziché dati
individuale. Formalmente si tratta di considerare U di numerosità N, suddivisa in un certo numero, diciamo
h, di sottopopolazioni U j
ciascuna di numerosità N j
con j=1,…,h e
𝑗
ℎ
𝑗= 1
. Quello che ci interessa è
sempre sapere la media generale sull’intera U. Non disponiamo però dei dati individuali (le xi e le fi) ma solo
dei dati aggregati, cioè le medie 𝑥 ̅ 𝑗
nelle sottopopolazioni.
SCHEMA P.
La proprietà che ci serve è quella associativa: la media (generale) di X (su U) è sempre raggiungibile dai dati
aggregati (sulle sottopopolazioni U j
), basta calcolare la media delle medie delle sottopopolazioni. Si tratta di
usare le medie parziali𝑥̅
𝑗
al posto delle modalità 𝑥
𝑖
e le numerosità N j
al posto delle frequenze f i
. In formule:
1
𝑁
𝑗
𝑗
ℎ
𝐽= 1
. - > formula non ufficiale…. 𝑥̅ =
𝑥̅
1
×𝑁 1 +𝑥̅
2
×𝑁 2 +⋯+𝑥̅
𝑘
×𝑁𝑘
𝑁 1 +𝑁 2 +⋯+𝑁𝑘
Proprietà di annullamento degli scarti. La media aritmetica svolge il suo lavoro di sintesi della v.s. garantendo
la compensazione delle differenze tra i valori x i
osservati e il valore medio di sintesi 𝑥̅. In formule è più chiaro:
Le differenze (x i
- 𝑥̅ ) sono dette scarti o deviazioni della media aritmetica. Se poi si tiene conto del fatto che il
valore x i
è presente su U con frequenza f i
, si ha lo scarto ponderato (x i
- 𝑥̅ )f i . Quando lo scarto è positivo si ha
un valore sopra-media, se no sotto-media. Proprietà: I valori sopra e sotto-media si compensano, cioè se si
sommano tutti i k scarti ponderati si ottiene (sempre) 0. È garantito solo per la media.
DIMOSTRAZIONE di
𝑖
𝑖
𝑘
𝑖= 1
Statistica descrittiva uni-variata (mono-variata)
𝑖
𝑖
𝑘
𝑖= 1
𝑖
𝑖
𝑘
𝑖= 1
𝑖
𝑘
𝑖= 1
𝑖
𝑘
𝑖= 1
Proprietà di mantenimento e di equidistribuzione del totale. La somma di tutti i valori di su tutte le N unità
osservate prende il nome di totale di X : in formule
𝑖
𝑖
𝑘
𝑖= 1
Questa formula è uguale a 𝑁𝑥̅ che è uguale a ∑ 𝑥̅ 𝑓 𝑖
𝑘
𝑖= 1
. Questa formula definisce un’altra proprietà esclusiva
della media aritmetica: se ai valori x i
osservati sostituiamo la media aritmetica 𝑥̅ che sintetizza tutti, il totale
di X non cambia. Allora la media aritmetica mantiene inalterato il totale; inoltre, se il totale di X fosse diviso
in parti uguali tra le N unità di U, a ciascuna unità toccherebbe una quota di totale pari a 𝑥̅. Allora la media
aritmetica equidistribuisce il totale di X su N unità di U.
VARIABILITA’
ESEMPIO DI TRILUSSA PAGINA 83
La variabilità (o dispersione di X) è l’attitudine di un fenomeno quantitativo a manifestarsi nelle N unità di U,
con modalità tra loro diverse e distanti. È lo scopo della statistica: la variabilità è ciò che rende necessario il
ricorso alla strumentazione statistica per l’analisi e la comprensione di un fenomeno su U.
La variabilità assume valore 0, in assenza di essa (ovvero quando le modalità sono costanti); assume valori
positivi quando X si manifesta su U con molteplici e differenti modalità e assume valori sempre più elevati
all’aumentare della variabilità. Una misura di variabilità che utilizza tutta la v.s. è la deviazione standard di X
(chiamata anche scarto quadratico medio). Si tratta della misura di variabilità più nota e utilizzata e si
identifica con la lettera sigma (σ). Questa confronta ciascuna delle k modalità osservate con un unico valore
fisso scelto come polo di confronto.
Formula della deviazione standard. 𝜎 = √
1
𝑁
𝑖
2
𝑖
𝑘
𝑖= 1
Formula alternativa.𝜎 = √
1
𝑁
𝑖
2
𝑖
𝑘
𝑖= 1
Come salta fuori la formula? Ogni modalità è confrontata con la media aritmetica(la quale essendo una sintesi
della v.s. è un ottimo punto di riferimento); la differenza (xi-𝑥̅ ) può risultare positiva o negativa, il segno qui
è ininfluente e ci interessa la distanza dalla media, quindi si eleva al quadrato in modo da enfatizzare la
distanza e facilitare i calcoli; gli scarti quadratici, poi, vengono ponderati con le frequenze; poiché gli scarti
sono k, li sintetizziamo tutti in una media sommando e dividendo poi per N; infinte, si ristabilisce l’ordine di
grandezza e dell’unità di misura inserendo la radice quadrata.
σ misura la variabilità di X considerando la dispersione dei valori intorno al loro valore medio. Ci dice che X si
manifesta su U con valori che in media distano da 𝑥̅ 𝑝𝑒𝑟 ± 𝜎.
A partire da sigma possiamo calcolare la varianza e la devianza. La varianza si compone elevando al quadrato
tutto sigma, in modo però da avere alterato il risultato e non è una buona misura di variabilità; però ha
vantaggi nel calcolo. La devianza deriva dalla varianza moltiplicata per N.𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 → 𝜎
2
1
𝑁
𝑖
𝑘
𝑖= 1
2
𝑖
2
𝑖
2
𝑖
𝑘
𝑖= 1
Per confrontare la variabilità di un fenomeno rispetto alla variabilità di un altro fenomeno abbiamo bisogno
di una formula relativa: quella più utilizzata è il coefficiente di variabilità di X che si costruisce ponendo la
deviazione standard a rapporto con la media aritmetica. 𝑐𝑣 =
𝜎
𝑥̅
. Ricordiamoci che il risultato è relativo alla
media non a N !!.
NUMERI INDICE
Quando analizziamo uno stesso fenomeno che viene ripetuto nel tempo si parla di dati longitudinali; per
rilevare questi dati, non utilizziamo la v.s. ma una serie storica. Quando si rileva una serie storica l’obbiettivo
è di descrivere e analizzare il comportamento di X nel tempo. Per analizzare le serie storiche dovremo creare
degli indicatori sintetici per analizzare l’evoluzione nel tempo (numero indice). Utilizzeremo la t minuscola
per indicare gli istanti temporali di osservazione; la T maiuscola per l’ultimo istante di rilevazione. Il numero
indice è il rapporto tra due modalità x t
rilevate in due differenti istanti temporali. Il numero indice può essere
costituito a base fissa o a base mobile.
Statistica descrittiva bi-variata
TABELLE A DOPPIA ENTRATA
L’obbiettivo, con la statistica descrittiva bi-variata, diventa la descrizione del comportamento congiunto di X
e Y su U e la loro relazione statistica. I fenomeni sono osservati congiuntamente su ciascuna delle N unità,
quindi il risultato della rilevazioni sarà un insieme di N coppie (di tipo x,y ). Per organizzare i dati grezzi
utilizzeremo le tabelle a doppia entrata. Tale tabella è composta da righe e colonne e useremo l’indice 𝑖 con
riferimento al fenomeno X, che avrà 𝑘 modalità; useremo l’indice 𝑗 con riferimento al fenomeno Y, che avrà
ℎ modalità. Le modalità di X saranno 𝑥
𝑖
; quelle di Y saranno 𝑦
𝑗
. L’interno della tabella si avrà contando le
manifestazioni della medesima coppia. Ai margini si pongono le somme di colonna e di riga.
SCHEMA P. 108
Sulla tabella a doppia entrata si avranno sia informazioni di tipo bivariato (X e Y condizionati), sia informazioni
di tipo monovariato (X e Y considerati singolarmente).
All’interno della tabella si trova la frequenza con cui si manifesta ciascuna coppia di modalità, all’incrocio tra
la i-esima riga e la j-esima colonna. Queste frequenze (riguardanti entrambi i fenomeni) prendono il nome di
frequenze congiunte (indicate con f ij
). L’interno della tabella costituisce la variabile statistica doppiache sta
alla base della stat. Descrittiva bi-variata. ∑ ∑ 𝑓 𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝑘
𝑖= 1
ℎ
𝑗= 1
ℎ
𝑗= 1
𝑘
𝑖= 1
Per quanto riguarda i margini delle tabelle, troviamo frequenze che riguardano i fenomeni presi
singolarmente - > frequenze marginali (informazione di tipo mono-variato). Le frequenze marginali si
ottengono sommando le frequenze congiunte che stanno sulla stessa riga (𝑓 𝑖.
) o sulla stessa colonna
.𝑗
𝑖𝑗
𝑖.
ℎ
𝑗= 1
𝑖𝑗
𝑘
𝑖= 1
.𝑗
SCHEMA P.
Fissando l’attenzione sulle singole righe o colonne separatamente si costruiscono le v.s. condizionate Y|x i
(Y
dato x i
) e X|y j
(X condizionato y j
Considerare le righe separatamente significa ridurre l’attenzione dell’intera U di N unità, alla
sottopopolazione di f i
unità che manifestano la modalità x i
di X e, in questa sottopopolazione, si guarda il
comportamento di Y. La v.s. condizionata Y|x i
descrive il comportamento di Y sulle sole f i
, unità statistiche
che sono omogenee rispetto a X perché manifestano la medesima modalità xi, che chiameremo modalità
condizionante. Stesso discorso va fatto per le colonne.
Dalle v.s. condizionate possiamo arrivare alle frequenze condizionate che vengono chiamate percentuali di
riga e percentuali di colonna.
𝑖
𝑖𝑗
𝑖.
(× 100 𝑑𝑎𝑛𝑛𝑜 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑐. 𝑑𝑖 𝑟𝑖𝑔𝑎)
𝑖
𝑖𝑗
.𝑗
(× 100 𝑑𝑎𝑛𝑛𝑜 𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑐. 𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑎)
Il fenomeno condizionante è anche chiamato variabile esplicativa, il fenomeno condizionato variabile rispost.
INDIPENDENZA, CONNESSIONE E ASSOCIAZIONE
I fenomeni quantitativa hanno una strumentazione statistica più ampia di quelli qualitativi. Gli strumenti di
questo capitolo si possono applicare ad entrambi i fenomeni ma sono più consigliati per quelli qualitativi.
Se tra X e Y non esiste alcuna relazione statistica, parleremo di indipendenza statistica. Il metodo per stabilire
se X e Y sono indipendenti consiste nel confrontare le frequenze condizionate con le frequenze marginali. Il
Statistica descrittiva bi-variata
confronto è possibile solo tra frequenze relativa. Le f. condizionate sono già relativa, mentre quelle marginali
si ottengono dividendo quelle assolute per N (
𝑖.
per X, e
.𝑗
per Y). Se tutte le k serie di frequenze
condizionate sono uguali tra loro e uguali alle marginali (relative): X e Y sono indipendenti e quindi non esiste
indipendenza statistica (i.s.). 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑖. 𝑠. ∶
𝑖𝑗
.𝑗
Facendo un semplice passaggio algebrico sulla condizione di i.s. (moltiplicare entrambi i membri per 𝑓 𝑖.
) si
ottengono le f. congiunte che realizzano la condizione di i.s. e le chiameremo frequenze teoriche (o attese)
di i.s. e le indicheremo con un *. 𝑓 𝑖𝑗
∗
𝑖.
.𝑗
. Queste renderebbero vera l’i.s.. Quando le tabelle (osservata
e teorica) coincidono si avrà indipendenza statistica (metodo alternativo per verificarla). Il concetto di
indipendenza statistica è simmetrico: tra X e Y esiste i.s.: X è indipendente, Y è indipendente.
Se non è verificata l’i.s. allora ci sarà connessione tra i due fenomeni. Il passo successivo sarà capire se la
connessione (relazione) tra X e Y è forte o debole. L’intensità è tanto più elevata, quanto la tabella osservata
è lontana dalla tabella teorica. Il metodo più utilizzato per guardare questa lontananza consiste nella
differenza tra valore osservato e valore teorico: 𝑓
𝑖𝑗
𝑖𝑗
∗
. Quando non sono nulle (c’è connessione) possono
essere vicine e lontane dallo 0. Le differenze possono essere positive e negative, per consentirci di misurare
la connessione dobbiamo togliere il segno elevando al quadrato e capiremo quanto sono grandi le differenze.
La misura di connessione sarà la chi greca 𝜒. 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝜒
2
𝑖𝑗
𝑖𝑗
∗
2
𝑖𝑗
∗
𝑗= 1
𝑘
𝑖= 1
Se ci fosse i.s. 𝜒
2
2
𝑖𝑗
2
𝑖.
.𝑗
ℎ
𝑗= 1
𝑘
𝑖= 1
Normalizzazione-> procedimento con cui si trasforma un indicatore statistico assoluto in una percentuale.
Chiamiamo 𝐼 una generica misura statistica. Se di 𝐼 conosciamo il suo valore minimo (che chiameremo 𝐼 𝑚𝑖𝑛
che sarà il valore che assumerebbe la misura in assenza di ciò che stiamo misurando di X) e il valore massimo
𝑚𝑎𝑥
; cioè il valore che assumerebbe nel caso che X presenti al livello massimo ciò che stiamo misurando)
possiamo trasformare l’indicatore assoluto in percentuale, normalizzandolo con la formula:
𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑖𝑛
Visto che il valore assoluto dell’indice di connessione 𝜒
2
non consente una valutazione, dobbiamo
normalizzarlo. Il valore minimo (di 𝜒
2
è lo 0) si normalizza rapportando al suo valore massimo. Il valore
massimo del 𝜒
2
è il valore che l’indice assumerebbe in caso di massima connessione tra i due fenomeni, cioè
in caso di una relazione statistica perfetta.
2
𝑁×𝑚𝑖𝑛
Valore massimo del 𝜒
2
: è il valore pari a N moltiplicato per il più piccolo tra il numero delle righe (k) e il
numero delle colonne (h), meno 1. In formule 𝑁 ×𝑚𝑖𝑛
DIMOSTRAZIONE DI QUESTA FORMULA:
Statistica descrittiva bi-variata
Parliamo di serie doppia quando le xi e le fi sono tutte diverse e non abbiamo le medie condizionate. È più
facile da disegnare. Esempio p. 149
Interpretazione geometrica della covarianza
Cominciamo a rappresentare sul diagramma anche le medie marginali che appaiono nella formula di
σ XY
(divido il diagramma in 4 parti in base alle medie); la covarianza è basata sugli scarti presi con il loro segno.
A seconda che le modalità siano sopra o sotto la media, questi scarti sono positivi o negativi e cioè
corrispondono ad una particolare dispersione sul piano cartesiano; σ XY
è basata sui prodotti, allora le quattro
zone evidenziate sul diagramma contribuiscono al calcolo di sigma.
SCHEMA PAGINA 152
La relazione statistica di tipo lineare (tra X e Y quantitativi) è chiamata correlazione lineare o semplicemente
correlazione. Quando la covarianza è positiva allora X e Y sono positivamente correlati, se è negativa sono
negativamente correlati, se è nulla (=0) allora X e Y sono incorrelati (non esiste una relazione di tipo lineare).
Una volta capito che X e Y sono correlati dobbiamo capire il grado di correlazione tramite il coefficiente di
correlazione lineare (indicato con la lettera greca rho “ρ”) 𝜌
𝑋𝑌
𝑋𝑌
𝑋
𝑌
Può assumere valori che vanno da - 1 a +1; quando è uguale a zero, X e Y sono incorrelati. 𝜌 = ± 1 sono
perfettamente e negativamente/positivamente correlati.
GRAFICO PERFETTA CORRELAZIONE POSITIVA E NEGATIVA
REGRESSIONE
Dopo aver imparato a stabilire l’esistenza di una relazione statistica in una coppia di fenomeni, a misurare
l’intensità, analizzare il verso e studiarne la natura, ora ci occuperemo di modellarla.
Per modello si intende una rappresentazione semplificata (e approssimata della realtà). Per modello statistico
una interpretazione matematica della relazione tra X e Y nella tabella osservata, quindi consiste in una
formulazione matematica che ne coglie l’andamento di fondo, semplificandolo.
Il più noto strumento statistico per la costruzione di un modello è la regressione. Un modello di regressione
interpreta la dipendenza di Y da X: è una formula da applicare a X per approssimare Y.𝑌
= 𝑓(𝑋). Dove f
denota una qualunque funzione di X e il simbolo sopra la Y indica che stiamo approssimando la realtà
osservata con una curva matematica semplice e regolare. Avremo un modello per prevedere e simulare un
certo fenomeno, si tratterà di un modello statistico basato su dati osservati presso le N unità che
compongono la U di riferimento, lo chiameremo modello di regressione(curva teorica, tramite equazione;
utilizzeremo i dati osservati per costruire il modello teorico per sostituire la spezzata di regressione: i punti
Statistica descrittiva bi-variata
del diagramma osservati, uniti con dei segmenti, prendono il nome di spezzata di regressione che è una curva
empirica, cioè è basata sui dati osservati ed è quindi irregolare e spigolosa, con il modello di regressione
dovremmo trovare una curva liscia e regolare che approssima questa spezzata di regressione).
Il fenomeno condizionato Y ha il ruolo di variabile dipendente (ed è anche chiamato variabile risposta), il
fenomeno X ha il ruolo di variabile indipendente (chiamato anche variabile esplicativa o regressore).
Il modello di regressione adatto per interpretare la correlazione (cioè la relazione lineare tra X e Y) è la retta
di regressione (o modello di regressione lineare).
= 𝑎 + 𝑏𝑋; a e b sono detti parametri della retta. La a è l’intercetta (cioè il punto in cui la retta interseca
l’asse verticale delle ordinate); la b è il coefficiente angolare (determina l’inclinazione della retta e la sua
pendenza: più è elevato più è ripida; meno è elevato, più la retta sarà piatta; negativo - > retta decrescente).
Fare la regressione lineare significa utilizzare dati per assegnare un valore ai parametri a e b della retta. Il
metodo più utilizzato, che approssima al meglio la spezzata di regressione, è quello dei minimi quadrati (mq).
Esso consiste nell’assegnare ai parametri dei valori che randano minima la distanza tra dati osservati e la
retta di regressione.
Condizione dei minimi quadrati ∑ ∑ (𝑦 𝑗
𝑖
2
𝑖𝑗
ℎ
𝑗= 1
𝑘
𝑖= 1
. Dove 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥
𝑖
1.Valori reali osservati y j
2.Modello retta di
regressione 𝑌
5.Distanza totale tra i dati reali
e valori teorici
3.Valori teorici approssimati
mediante il modello
𝑖
𝑖
4.Distanza tra i dati reali e i
valori teorici è la differenza
tra yj e y cappuccio; va elevata
al quadrato per eliminare
l’influenza del segno e
ponderata con f ij
Soluzione dei minimi quadrati 𝑏 =
𝜎
𝑋𝑌
𝜎
𝑋
2
e 𝑎 = 𝑦̅ − 𝑏𝑥̅.
Se b maggiore di 0: retta dei m.q. crescente; viceversa: decrescente. Il valore a ci dice quanto vale 𝑌
quando
X=0, mentre il valore di b ci dice di quanto varia 𝑌
quando X aumenta di 1. In altre parole, se prendiamo due
valori per X che distano di 1, i corrispondenti valori di 𝑌
, secondo il modello, differiscono di b.
Una volta trovata l’equazione della retta basta trovare due punti sulla retta (genericamente sostituendo x
con 0 e y con 0: ( 0 , 𝑎) e (−
Ora dobbiamo capire quanto è affidabile questo modello (cioè quanto si adatta alla realtà). Allora dobbiamo
valutare la bontà della regressione misurando l’adattamento (accostamento) della retta dei m.q. ai dati
osservati reali. Dobbiamo accertarci che la distanza sia piccola o magari nulla attraverso l’analisi dei residui.
La distanza totale tra valori reali e la retta ci dà il residuo totale della retta, chiamato anche devianza residua.
𝑗
𝑖
2
𝑖𝑗
ℎ
𝑗= 1
𝑘
𝑖= 1
. Il residuo della retta dei m.q. è nullo (DR=0) quando sono tutte nulle le
distanze tra valori osservati e quelli teorici, quindi la retta si adatta perfettamente ai dati reali.
Per capire se la distanza sia tanta o poca (modello buono o cattivo) dobbiamo misurare la bontà di
adattamento dei m.q. normalizzando il residuo.
Devianza totale 𝐷𝑇 = 𝑁𝜎
𝑌
2
𝑗
𝑖
.𝑗
𝑘
𝑗= 1
. La DT si scompone di due parti: devianza residua e
devianza spiegata (DT=DR+DS). Devianza spiegata
𝑗
𝑖
2
𝑖.
ℎ
𝑖= 1
. DS parte catturata dalla retta dei
m.q.; DR parte residua, non catturata.
FORMULE ALTERNATIVE PIU’ SEMPLICI 𝐷𝑅 = 𝐷𝑇 ( 1 − 𝜌
𝑋𝑌
2
) e 𝐷𝑆 = 𝐷𝑇×𝜌
𝑋𝑌
2
Bontà di adattamento :
𝐷𝑆
𝐷𝑇
𝐷𝑇 ×𝜌
𝑋𝑌
2
𝐷𝑇
𝑋𝑌
2
Se 𝜌 𝑋𝑌
2
= 0 : se cioè DS=0 e DR=DT la retta lascia tutto residuo e non spiega niente (X e Y sono incorrelati).
Inferenza statistica
DALLA DESCRIZIONE ALL’INFERENZA
Quando abbiamo dei dati parziali (cioè relativi ad un sotto insieme, che chiameremo campione di numerosità
n ) e vogliamo estendere l’analisi del comportamento di X all’intera popolazione di U, parliamo di inferire dal
campione all’intera popolazione.
L’osservazione esaustiva della popolazione U (con tutti i dati) prende il nome di censimento ; se abbiamo dati
solo relativi ad un campione avremo una rilevazione campionario. Ragioni perché è più frequente la
rilevazione campionaria: ragioni di budget (richiede risorsi ridotte rispetto a un censimento) e ragioni di
precisione (consente maggiore cura, precisione e profondità dell’indagine perché non c’è un numero
elevato).
SCHEMA P. 191.
Il termine inferenza indica il generico passaggio dalla premessa alla conclusione. Un caso speciale è
l’inferenza induttiva che procede dal particolare al generale. L’inferenza statistica è una inferenza induttiva
che procede dal campione alla popolazione. Quindi il campione ha il carattere della rappresentatività e della
causalità (è un campione scelto in modo casuale).
CASO, PROBABILITA’ E VARIABILI CASUALI
Lo strumento formale per fare inferenza statistica è la variabile casuale (v.c.).
Cominciamo con il considerare la dicotomia tra situazione deterministica e situazione casuale.
Rappresentiamo con il tradizionale disegno l’insieme di circostanza che sono causa (determinano) un certo
risultato. Chiamo il risultato evento e lo indichiamo con E. Ci si trova in situazione deterministica quando è
noto l’intero insieme di circostanze che determinano E. E è quindi prevedibile a priori con certezza. Situazione
casuale viceversa: l’insieme è noto parzialmente.
SCHEMA P. 195
La parte di circostanze ignote che impediscono di prevedere a priori con certezza il risultato E definisce il caso
Esperimento casule: esperimento condotto sotto l’effetto del caso (nota solo una parte delle circostanze).
Evento elementare: ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale.
Spazio campionario: insieme di tutti gli esiti di un esperimento casuale (omega: Ω).
Evento casuale: sottoinsieme di Ω. Di solito è quello che ci attendiamo o che vogliamo individuare (indicato
con E. Gli elementi di E sono eventi elementari; un evento elementare che è contenuto in omega può
appartenere o non appartenere ad E; ma non viceversa.
La probabilità di un evento casuale E è un numero associato a E che ne quantifica a priori il grado di incertezza
ovvero la possibilità di realizzazione. Ci limitiamo a dare due definizioni di probabilità:
- Definizione classica: P(E) è il rapporto tra il numero di casi favorevoli a E e il numero di tutti i casi
possibili , posto che tutti siano ugualmente possibili.
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
solo con equiprobabilità.
- Definizione frequentistica o statistica: Questa definizione si basa sulla cosiddetta legge empirica del
caso , cioè una regola che non si può dimostrare matematicamente ma che si osserva
sistematicamente nella pratica. L’evento E di cui si vuole calcolare la probabilità P(E) è pensato come
il risultato di un esperimento casuale ripetibile un gran numero N di volte sempre nelle stesse
condizioni. Al termine di tali N prove, E si sarà verificato f volte (e non si sarà verificato le rimanente
N- f volte). La legge empirica del caso dice che la frequenza relativa f /N del verificarsi di E tende a
stabilizzarsi intorno a un certo valore man mano che aumenta il numero N di ripetizioni
Inferenza statistica
dell’esperimento (sempre nelle stesse condizioni). La definizione frequentistica di probabilità si basa
su questa legge empirica e stabilisce che la probabilità di E è proprio quel valore, intorno al quale
tede a stabilizzarsi la frequenza relativa dopo un numero sufficientemente grande di prove. In
formule: 𝑃(𝐸) = lim
𝑁→∞
𝑓
𝑁
La definizione frequentistica ci permette di considerare spazi campionari virtualmente infiniti e di
calcolare la probabilità di eventi che non sono tutti ugualmente possibili; però, la ripetibilità delle prove
deve effettuarsi tutta nelle stesse condizioni.
Possiamo pensare la variabile casuale come lo strumento matematico che permette di concentrarsi sulle
sole caratteristiche dell’esperimento che interessano e che trasforma gli eventi casuali in numeri reali,
conservandone comunque la probabilità. Variabile casuale: è una funzione con dominio nello spazio
campionario Ω e codominio nell’insieme dei numeri reali, a cui rimangono associate le probabilità degli
eventi di Ω. 𝑋: 𝛺 → 𝑅.
SCHEMA DEL QUADERNO
La somma delle probabilità di tutti i valori x della v.c. X è pari ad 1, in perfetta analogia con la somma
delle frequenze relative per una v.s. La probabilità associate costituiscono la funzione di probabilità.
V.c. discreta X. V.c. che assume un numero finito (o infinito numerabile) di valori x che di solito sono
numero interi.
Funzione di probabilità di X. È associata a una v.c. discreta, ne descrive completamente le probabilità e
ha sempre somma 1. In formule: 𝑃(𝑋 = 𝑥) 𝑐𝑜𝑛 ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 1 𝑥
Media o valore atteso. È definita e calcolata come per la v.s. ma usando le probabilità al posto delle
frequenze. Il simbolo per indicare la media di una v.c. X è standard e fa riferimento all’inglese Expectation.
Formula: 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥×𝑃(𝑋 = 𝑥)
𝑥
. E(X) si legge “E di X” ed è la media della v.c. X.
Varianza. È definita e calcolata come per la v.s. ma usando la probabilità al posto delle frequenze. È una
misura della variabilità di X, cioè della dispersione dei suoi valori intorno al suo valore atteso, ponderata
con le probabilità. In formule: 𝑉(𝑋) = ∑ [𝑥 − 𝐸(𝑋)]×𝑃(𝑋 = 𝑥) 𝑥
. Si legge “V di X” “varianza di X.
Deviazione standard. La chiameremo standard deviation per non confonderla con quella della v.s. La
varianza è elevata al quadrato; quando serve ripristinare l’ordine di grandezza basta mettere una radice
quadrata e si ottiene la deviazione standard, useremo il simbolo SD. 𝑆𝐷(𝑋) = √
Per fare inferenza statistica si usano alcune v.c. speciali. Una di queste è la v.c. binomiale.
La variabile casuale binomiale è una particolare v.c. discreta. Serve per modellare situazioni casuali che
hanno 3 caratteristiche: - l’esperimento casuale consiste nell’esecuzione di n prove indipendenti (l’esito
di ciascuna prova non influisce sull’esito della successiva); - ciascuna prova può avere come esito uno (e
soltanto uno) di due eventi tra loro contrari ed esaustivi (che chiameremo successo e insuccesso , in base
a quello che vogliamo osservare); - in ciascuna prova, la probabilità del successo, che denoteremo con p ,
è nota ed è costante, Poiché p è una probabilità, è un numero compreso tra 0 e 1 e conseguentemente
è nota anche la probabilità dell’insuccesso: 𝑃(𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜) = 𝑝 0 < 𝑝 < 1 𝑃(𝑖𝑛𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜) = 1 − 𝑝
Per indicare la v.c. binomiale useremo la notazione 𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) che si legge “X è una v.c. binomiale con
parametri n e p”. Il numero di prove n e la probabilità di successo p sono infatti dei parametri.
Ora possiamo solo immaginare una generica struttura dei nostri eventi elementari. Ciascuna prova può
avere un Successo o Insuccesso e di prove ne facciamo n. Allora il generico risultato della serie di n prove
(cioè il generico evento elementare) è una n-upla.
Inferenza statistica
- La curva campanulare ha la proprietà di essere simmetrica rispetto a mu: 𝑃(𝑋) ≥ 𝜇 𝑒 𝑃(𝑋) ≤ 𝜇
- Mu rappresenta anche la media di X e la sua moda. 𝑥
- 5
0
- Si dice che la campana è formata da una pancia e due code con flessi (punti sull’asse delle ascisse
dove la curva cambia concavità) pari a 𝜇 ± 𝜎.
- Mu stabilisce la posizione della curva (e se si sposta, la curva si sposta, ma non cambia la forma).
Sigma stabilisce la forma della curva (se è più piccolo la curva sarà stretta e alta, se è più grande sarà
larga e bassa).
- Se prendiamo una parte(a,b) della curva, la probabilità che X assume un valore tra a e b coincide con
l’aria sottesa a quell’intervallo.
DISEGNO CHE C’E’ SUL QUADERNO
La Normale tende a manifestarsi con un valore sistematico prevalente (μ); i valori più probabili saranno
vicini a tale valore; i valori lontani da mu sono rari e poco probabili.
Standardizzare una quantità statistica significa operare una trasformazione con lo scopo di depurarla da
unità di misura e grandezza, rendendola confrontabile con altri dati standardizzati perché tutti riferibili a
un’unica situazione standard.
𝑋−𝐸(𝑋)
√𝑉(𝑋)
: togliamo la sua media e dividiamo per la sua deviazione standard.
In questo modo avremo media nulla (=0) e varianza pari a 1 (e quindi anche deviazione standard). Cioè
diventa riferibile a un’unica situazione. E(X standard)=0 e V(X standard)=SD(X standard)=
Standardizzando una v.c. normale 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎
2
) s, con la sua media μ e la sua deviazione standard √𝜎
2
𝜎 si ottiene la v.c. normale standardizzata , che indicheremo con Z. Useremo la notazione 𝑍~𝑁( 0 , 1 ).
𝑋−𝜇
√𝜎
2
𝑋−𝜇
𝜎
. E(Z)=0 e V(Z)=SD(Z)=
Dal valore ottenuto controlliamo le tavole (le quali però segnano solo la parte a sinistra di quel numero
P(Z≤z) , quindi servirà fare delle operazioni aritmetiche semplici).
CAMPIONAMENTO ED ERRORE CAMPIONARIO
Ora abbiamo gli strumenti per introdurre, comprendere e usare gli strumenti della statistica inferenziale.
Il primo passo consiste nel procurarci i dati. In ambito inferenziale questo significa procurarci il campione
che è un sottoinsieme dell’intera popolazione U su cui ci interessa studiare il fenomeno. L’inferenza
statistica si basa su campioni casuali (l’operazione di scelta casuale si chiama campionamento). Il numero
n è la numerosità o ampiezza campionaria e di solito è prefissato e molto più piccolo di N.
L’insieme dei metodi di campionamento prende il nome di teoria dei campioni. Gli elementi che vedremo
noi sono basati sul metodo più semplice: campione bernoulliano. Un campione bernoulliano è il risultato
di n estrazioni casuali da U condotte tutte nelle stesse condizioni, cioè indipendenti tra loro. Si tratta di
estrazioni con reinserimento e equiprobabili.
Solitamente, però avvengono senza reinserimento (per evitare di estrarre la stessa persona) e si parla in
questo caso di campione casuale semplice o anche SRS(simple random sample.
Inferenza statistica
Se n è sufficientemente grande e allo stesso tempo n è piccolo rispetto a N, il che è in genere ciò che
accade, le due tecniche con o senza risultato portano i risultati equivalenti. Frazione di campionamento
n/N sufficientemente piccola.
Ciascuno dei differenti campioni estraibili da U può darci un’immagine più o meno fede di U perché
fornisce un’informazione parziale e differente circa il comportamento su U che ci interessa. Questo è il
concetto di variabilità campionaria. Il processo di inferenza statistica avviene sotto effetto della
variabilità campionaria, la conseguenza è quella che comporta necessariamente incertezza e rischio di
errore (chiameremo questo concetto errore di campionamento).
Quando si dispone solo di dati campionati (parziali e casuali) la distribuzione del fenomeno di interessi
su U e i reali valori delle sue sintesi statistiche sono ignoti e li chiameremo parametri. I parametri ignoti
sono l’oggetto dell’inferenza statistica. Le sintesi statistiche di X rappresentano i corrispondenti
parametri ignoti di U. In particolare E(X)=media del fenomeno in U, la indicheremo con μ e la
V(X)=varianza del fenomeno in U con 𝜎
2
Ciascuna osservazione campionaria X i
è il risultato di un esperimento casuale; è pertanto un evento
casuale e può coincide con uno dei possibili valori della v.c. X. Allora, anche il risultato di ogni estrazione
campionario è interpretato da una v.c. X i
che chiameremo v.c. estrazione campionaria. Poiché nel
campione bernoulliano le estrazioni sono indipendente, allora le v.c. estrazioni campionarie X i
sono tra
loro indipendenti. Infine, poiché X i
può coincidere con qualunque dei possibili valori del fenomeno, a sua
volta interpretato dalla v.c. Z, si ha anche che ciascuna estrazione campionaria X i
è identica a X, e in
quanto identica, ha stessa media e stessa varianza.
La statistica inferenziale offre metodologie per risolvere due grandi classi di problemi di inferenza:
- la stima dei parametri, con l’obbiettivo di usare i dati campionari per inferire il valore dei parametri
ignoti;
- la verifica di ipotesi statistiche , con l’obbiettivo di usare i dati campionari per inferire se è accettabile
o meno un valore che si ipotizza per i parametri ignoti.
STIME E STIMATORI
Ora impariamo a stimare i parametri ignoti. Per farlo esistono due classi di metodi: stima puntuale (con
un unico valore) e stima intervallare (con un intervallo di valori). Qui l’errore campionario assume
l’aspetto di errore di stima (quanto è più piccolo, più precisa e affidabile è la stima).
La stima puntuale è la metodologia statistica che utilizza le informazioni campionarie per: calcolare un
(unico) valore puntuale per sostituirlo all’ignoto parametro; controllare in termini di probabilità se e
quanto la sostituzione è affidabile e accurata.
Iniziamo a stimare 3 parametri: la media del fenomeno in U (che corrisponde alla media μ di X); la
varianza del fenomeno in U (che corrisponde alla varianza 𝜎
2
di X); una percentuale di valori di X di
interesse, che indicheremo con p e che vedremo a cosa corrisponde. Li calcoleremo per analogia.
Stabilire se una stima è affidabile e sufficientemente precisa significa controllare e misurare l’errore
campionario in termini di probabilità. La stima di un parametro è il risultato di un calcolo, un’elaborazione
eseguita sugli n dati x1…xi…xn, per ottenere un unico numero da sostituire all’intero parametro in U (che
è e rimane ignoto). Per controllare l’errore di stima dobbiamo tenere conto di tutti i possibili risultati
ottenibili da tutti i possibili campioni. Per fare questo affianchiamo al concetto di stima il concetto di
stimatore. Lo stimatore è la stessa funzione (formula) che definisce la stima, ma applicata alla v.c.
estrazioni campionarie X1…Xi…Xn.
Lo stimatore è quindi una v.c. che interpreta tutti i possibili valori della stima su tutti i possibili campioni
estraibili. Quindi, la stima è un numero, ottenuto sul campione effettivamente estratto e l’unico a
disposizione; lo stimatore è una v.c. che tiene conto di tutte le possibili stime ottenibili su tutti i possibili
Inferenza statistica
L’errore quadratico medio è in relazione diretta con sigma quadro e in relazione inversa con n. L’errore
della media campionaria, quindi, è tanto minore quanto più grande è il campione.
Un’altra proprietà auspicabile per uno stimatore è la consistenza che riguarda la precisione (o
accuratezza). A un buon stimatore si richiede che sia sempre più preciso, riducendo l’errore di stima,
all’aumentare dell’ampiezza campionaria n, quando cioè aumentano i dati introdotti nel processo di
stima.
Se lo stimatore non è distorto come la media campionaria, per essere consistente basta che la sua
varianza diventi sempre più piccola al crescere dell’ampiezza campionaria n.
Anche la proprietà di efficienza relativa riguarda la precisione di uno stimatore. È un criterio di scelta
quando si dispone di due (o più) stimatori per lo stesso parametro ignoto.
Se si tratta di stimatori non distorti, MSE coincide con la varianza e dunque il confronto avviene tra le
varianze; lo stimatore non distorto con varianza inferiore è il più efficiente tra quelli a disposizione.
Un teorema (difficile da dimostrare) stabilisce che lo stimatore media campionaria sia il più efficienti tra
tutti i possibili stimatori non distorti per mu.
Abbiamo analizzato a media campionaria, adesso impariamo altri parametri.
Il parametro ignoto da studiare ora è la varianza del fenomeno nella popolazione. La stima più naturale
per la varianza di U è la varianza del campione
1
𝑛
𝑖
𝑛 2
𝑖= 1
. Questa volta però non si può usare questa
formula perché lo stimatore è distorto per sigma quadro e tenderà a sotto-stimare. Per ottenere uno
stimatore non distorto allora dobbiamo dividere per n-1: varianza campionaria corretta (s)
2
1
𝑛− 1
𝑖
𝑛 2
𝑖= 1
. La quantità (n-1) è chiamata gradi di libertà. La varianza non è distorta, è
consistente (perché l’errore s2 diminuisce al crescere dell’ampiezza campionaria). Non avremo la
deviazione standard perché sarebbe distorta per sigma.
L’MSE è quadratico (cioè misura l’errore di stima prendendo le differenze tra stimatore e parametro
elevate al quadrato) e questo produce effetti collaterali e per ristabilire l’ordine di grandezza allora
dobbiamo prendere la √𝑀𝑆𝐸 che è una misura teorica dell’errore medio di stima. La stima dell’errore
medio di stima, calcolata con gli stessi dati campionari è detta standard error (SE).
SE dello stimatore = √𝑀𝑆𝐸 e se lo stimatore non è distorto: √𝑉
SE della media campionaria. Poiché è uno stimatore non distorto, si tratta di stimare la radice della
varianza della media campionario (quindi la radice di sigma quadro fratto l’ampiezza campionaria),
stimando con sigma quadro la varianza campionaria corretta. Quindi : 𝑆𝐸(𝑋
𝑠
2
𝑛
SE è un numero calcolato sul campione che stima l’errore medio che si commette sostituendo all’ignoto
parametro la stima calcolata sul medesimo campione.
Nella ricerca sociale interessano i fenomeni dicotomici. L’oggetto della stima, in questo caso, è la
percentuale di unità statistiche o casi, che tra tutte quelle che compongono la U, è classificabile in una
determinata categoria. Facciamo allora riferimento ai fenomeni categoriali.
Scelta l’ampiezza campionaria n , si estrae da U un campione bernoulliano, il risultato sarà l’insieme di
unità classificabili o non nella categoria che ci interessa. La stima più naturale per l’ignota frequenza
relativa p di soggetti classificabili nella categoria di interesse, è corrispondente alla frequenza relativa nel
campione, cioè la frequenza relativa campionaria che indicheremo con 𝑝̂ (pi cappuccio).
L’affidabilità di questa stima risiede nelle proprietà statistiche del corrispondente stimatore 𝑃
. Questo
assume valore 1 in corrispondenza dei soggetti classificabili nella categoria che ci interessa, 0 in quelli
non classificabili. Allora il campione sarà un insieme di 0 e 1.
Inferenza statistica
La somma dei dati campionari ci dà il numero di soggetti campionati, che tra gli n estratti, sono
classificabili nella categoria che ci interessa: 𝑆𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒 𝑝̂ =
1
𝑛
𝑖
𝑛
𝑖= 1
Visto le caratteristiche (campione bernoulliano, prove indipendenti, S e I) avremo una variabile causale
binomiale con parametri n e p per lo stimatore: 𝑆𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒: 𝑃
𝐵𝑖𝑛 (𝑛,𝑝)
𝑛
Allora si determinano velocemente il valore atteso, varianza e standard error dello stimatore P cappuccio.
Non distorsione della freq. relativa (percentuale)campionaria:
𝐸[𝐵𝑖𝑛 (𝑛, 𝑝)] =
Allora il suo MSE coincide con la varianza
) = 𝑉 [
] = (
2
[
)]
2
Standard Error
INTERVALLI DI CONFIDENZA
La stima puntuale è un metodo sempre applicabile (è sempre calcolabile a partire dai soli dati
campionari), è semplice (perché si procede per analogia), però: è difficile avvicinarsi ed azzeccare il
parametro ignoto l’affidabilità della stima puntuale risiede nella garanzia probabilistica offerta dalle
proprietà teorico-formali del corrispondente stimatore.
La stima intervallare, a garanzia della sua affidabilità, offre un numero associabile che misura la proprietà
con cui il corrispondente stimatore contiene effettivamente l’ignoto parametro. L’errore di
campionamento lo possiamo fissare noi.
Intervallo di confidenza per un ignoto parametro. È un intervallo di valori calcolato sui dati campionari
,per il quale si può confidare, a un prescelto livello probabilistico, che contenga l’ignoto valore del
parametro.
A favore della stima intervallare (IC): meno rischioso (è più facile, attraverso un intervallo, avvicinarsi al
parametro ignoto); è più informativo (ma meno preciso, offre informazione più ampia di un unico valore);
è più affidabile(quantificabile con una probabilità scelta a priori).
Contro : ha un elevato livello di complessità e servono elle informazioni ausiliari a priori.
Un IC non è sempre calcolabile sulla base dei soli dati campionari, ma è calcolabile solo se ci si trova o in
una o nell’altra delle seguenti situazioni:
- è noto (o ipotizzabile con un elevato grado di sicurezza) che il fenomeno X in U è ben interpretato da
una v.c. Normale. Questa situazione la chiameremo popolazione normale
- La numerosità del campione n è sufficientemente grande perché valgono opportuni teoremi di teoria
delle probabilità Chiameremo questa situazione grandi campioni.
POPOLAZIONE NORMALE
- SIGMA QUADRO NOTO
Ipotizziamo di avere un fenomeno, ben interpretato con una v.c. Normale con media μ ignota ma varianza
2
nota. In formule: 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎
2
nota). Un teorema della probabilità ci garantisce che se X è normale
anche lo stimatore media campionaria 𝑋
lo è. Quindi se la varianza è nota avremo: 𝑋
𝜎
2
𝑛
nota).
Questa è una informazione ausiliaria.
La metodologia di costruzione di un IC prevede 5 passi:
- Si estrae un campione bernoulliano di ampiezza n e ci si procurano i dati campionari.
- Si calcola la stima puntuale per mu, cioè la media del campione: 𝑥̅ =
1
𝑛
𝑖
𝑛
𝑖= 1
