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FORMULARIO PER ESAME DI STATISTICA
Probabilita’
P [A] = 1 − P [A]; P [A ∪ B] = P [A] + P [B] − P [A ∩ B]; P [A|B] = P [A ∩ B]/P [B];
P [A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ An] = P [A 1 ]P [A 2 |A 1 ]P [A 3 |A 1 ∩ A 2 ] · · · P [An|A 1 ∩ · · · ∩ An− 1 ];
indipendenza ⇔ P [A ∩ B] = P [A] · P [B].
Data partizione {Ai} : P [B] =
i
P [Ai]P [B|Ai]; P [Ai|B] =
P [Ai]P [B|Ai] ∑ j P^ [Aj^ ]P^ [B|Aj^ ]^
Variabili casuali e valori attesi
FX (x) =
∫ (^) x
−∞
fX (y)dy
xi≤x
fX (xi)
; E[g(X)] =
R
g(x)fX (x)dx
[
xi
g(xi)fX (xi)
]
μX = E[X]; σ
2 X =^ V ar[X] =^ E[(X^ −^ E[X])
2 ] = E[X
2 ] − (E[X])
2
Tchebycheff: per g non negativa vale P [g(X) ≥ a] ≤ E[g(X)]/a; Corollario: P [|X − μX | < tσX ] ≥ 1 − 1 /t^2
Cov[X, Y ] = E[(X − μX )(Y − μY )] = E[XY ] − μX μY.
E[
∑^ k
i=
aiXi] =
∑^ k
i=
aiE[Xi]; V ar[
∑^ k
i=
aiXi] =
∑^ k
i=
a
2 i V ar[Xi] + 2^
i<j
aiaj Cov[Xi, Xj ]
Distribuzioni notevoli
Uniforme discreta: fX (x) = fX (x, N ) = 1/N se x ∈ { 1 , .., N }; E[X] = (N + 1)/2; V ar[X] = (N 2 − 1)/ 12
Bernoulli: fX (x) = fX (x, p) = px(1 − p)^1 −x^ se x ∈ { 0 , 1 }; E[X] = p; V ar[X] = p(1 − p)
Binomiale: fX (x) = fX (x, n, p) =
(n x
px(1 − p)n−x^ se x ∈ { 0 , 1 , .., n}; E[X] = np; V ar[X] = np(1 − p)
Ipergeometrica: fX (x) = fX (x, M, K, n) =
K x )(
M −K n−x ) (
M n )^
se x ∈ {max(0, n − M + K), .., min(K, n)}; E[X] = n (^) MK
ovvero: fX (x) = fX (x, nA, nB , n) =
(nxA )( (^) nn−Bx) (nA+nn B)
se x ∈ {max(0, n − nB ), .., min(nA, n)}; E[X] = n
nA nA+nB
V ar[X] = n (^) MKMM^ −KMM^ − −n 1
[
ovvero = n
nA nA+nB
nB nA+nB
nA+nB −n nA+nB − 1
]
Poisson: fX (x) = fX (x, λ) = λ
x x! exp(−λ) se^ x^ ∈^ N;^ E[X] =^ λ;^ V ar[X] =^ λ Binomiale(n, p) Poisson(λ), con λ = np se n ≥ 100 , p ≤ 0. 05.
X 1 ∼ P oisson(λ 1 ), X 2 ∼ P oisson(λ 2 ), indipendenti ⇒ X 1 + X 2 ∼ P oisson(λ 1 + λ 2 ).
Geometrica: fX (x) = fX (x, p) = p(1 − p)x^ se x ∈ N; E[X] =
1 −p p ;^ V ar[X] =^
1 −p p^2
Uniforme continua: fX (x) = fX (x, a, b) = 1/(b − a) se x ∈ [a, b]; E[X] = (a + b)/2; V ar[X] = (b − a)^2 / 12
Normale N (μ, σ^2 ) : fX (x) = fX (x, μ, σ^2 ) = √^1 2 πσ^2
exp
(x−μ)^2 σ^2
; E[X] = μ; V ar[X] = σ^2
Binomiale(n, p) Normale(μ, σ^2 ), con μ = np, σ^2 = np(1 − p) per np(1 − p) ≥ 10.
Esponenziale: fX (x) = fX (x, λ) = λ exp(−λx) se x ∈ R+; E[X] = 1/λ; V ar[X] = 1/λ^2
Weibull: fX (x) = fX (x, α, β) = αβxβ−^1 exp(−αxβ^ ) se x ∈ R+.
Trasformazione Y = g(X), T = max, Z = min
fY (y) =
xi:g(xi)=y fX^ (xi) se^ X^ discreta,^ fY^ (y) =^ |^
d dy g
− (^1) (y)|f X (g
− (^1) (y)) se X continua e g invertibile.
FY (y) = P [Y ≤ y] = P [g(X) ≤ y] =
{x:g(x)≤y} fX^ (x)dx^
[
{xi:g(xi)≤y} fX^ (xi)
]
Xi ∼ Fi, indipendenti. T = max{X 1 , ...Xn}, Z = min{X 1 , ...Xn}.
FT (x) =
i
Fi(x), F (^) Z (x) =
i
F (^) i(x), dove F (x) = 1 − F (x).
Processo Poisson
Nλ(t) = numero occorrenze in [0, t]. Nλ(0) = 0; Nλ(t) ∼ P oisson(λt); P [Nλ(t) = 0] = exp(−λt) Se 0 < t 1 < t 2 , Nλ(t 1 ) ∼ P oisson(λt 1 ) e Nλ(t 2 − t 1 ) = Nλ(t 2 ) − Nλ(t 1 ) ∼ P oisson(λ(t 2 − t 1 )) indipendenti.
Distribuzioni campionarie
Media campionaria Xn = (X 1 + X 2 + ...Xn)/n, E[Xn] = μX , V ar[Xn] = σ X^2 /n.
Varianza campionaria corretta S n^2 =
1 n− 1
i(Xi^ −^ Xn)
2 , E[S 2
n] =^ σ
2 X.
Distribuzione χ^2 : U ∼ χ^2 n se U = Z^21 + ... + Z n^2 con Zi ∼ N (0, 1) indipendenti.
Distribuzione t: T ∼ tn se T = √Z U/n
con Z ∼ N (0, 1), U ∼ χ^2 n indipendenti.
Distribuzione F : F ∼ Fm,n se F =
U/m V /n con^ U^ ∼^ χ
2 m, V^ ∼^ χ
2 n indipendenti.^ fm,n,^1 −α^ = 1/fn,m,α.
Stime intervallari (Xi con distribuzione normale, escluso proporzioni)
Media, varianza nota: (Xn − z 1 −α/ 2 √σ n
, Xn + z 1 −α/ 2 √σ n
Media, varianza non nota: (Xn − tn− 1 , 1 −α/ 2
S n^2 √ n
, Xn + tn− 1 , 1 −α/ 2
S n^2 √ n
Differenza medie, varianze note:
(X 1 − X 2 ) − z 1 −α/ 2
σ^21 n 1 +^
σ^22 n 2 ,^ (X^1 −^ X^2 ) +^ z^1 −α/^2
σ^21 n 1 +^
σ^22 n 2
Differenza medie, varianze non note da ritenersi uguali: S pool^2 =
(n 1 −1)S^21 +(n 2 −1)S^22 n 1 +n 2 − 2 ,^ S
2 δ =^ S
2 pool
1 n 1 +^
1 n 2
(X 1 − X 2 ) − tn 1 +n 2 − 2 , 1 −α/ 2
S δ^2 , (X 1 − X 2 ) + tn 1 +n 2 − 2 , 1 −α/ 2
S δ^2
Varianza:
( (^) (n−1)S 2 n χ^2 n− 1 , 1 −α/ 2 ,^
(n−1)S^2 n χ^2 n− 1 ,α/ 2
Rapporto varianze
σ 22 σ 12
( S 2
2 S 12
fn 1 − 1 ,n 2 − 1 ,α/ 2 ,
S^22 S^21
fn 1 − 1 ,n 2 − 1 , 1 −α/ 2
Proporzione:
pˆ − z 1 −α/ 2
pˆ(1−ˆp) n ,^ pˆ^ +^ z^1 −α/^2
pˆ(1−pˆ) n
Differenza proporzioni:
(ˆp 1 − pˆ 2 ) − z 1 −α/ 2
ˆp 1 (1−pˆ 1 ) n 1 +^
ˆp 2 (1−pˆ 2 ) n 2 ,^ (ˆp^1 −^ pˆ^2 ) +^ z^1 −α/^2
pˆ 1 (1−pˆ 1 ) n 1 +^
ˆp 2 (1−pˆ 2 ) n 2
Test ipotesi (popolazione con distribuzione normale, escluso proporzioni), statistiche da usare
Media, varianza nota: Z =
Xn−μ 0 σ
n ∼ N (0, 1) sotto H 0 : μ = μ 0.
Media, varianza non nota: T =
X√n−μ 0 S^2 n
n ∼ tn− 1 sotto H 0 : μ = μ 0.
Differenze medie, varianze note: Z =
(X √ 1 −X 2 )−d σ^21 n 1 +^
σ 22 n 2
∼ N (0, 1) sotto H 0 : μ 1 − μ 2 = d.
Differenze medie, varianze non note da ritenersi uguali: T = √(X^1 −X^2 )−d S pool^2
√ 1 n 1 +^
1 n 2
∼ tn 1 +n 2 − 2 sotto H 0 : μ 1 − μ 2 = d.
Varianza: V =
(n−1)S^2 n σ^20 ∼^ χ
2 n− 1 sotto^ H^0 :^ σ
(^2) = σ 2
Rapporto varianze: F = S 12 /S 22 ∼ Fn 1 − 1 ,n 2 − 1 sotto H 0 : σ^21 /σ^22 = 1.
Proporzione: Z =
̂ √p−p^0 ̂ p(1−̂p) n
∼ N (0, 1), ovvero anche Z =
̂ √ p−p^0 p 0 (1−p 0 ) n
∼ N (0, 1), sotto H 0 : p = p 0.
Differenza proporzioni: posto p̂ =
n 1 ̂p 1 +n 2 ̂p 2 n 1 +n 2 , vale^ Z^ =
̂ √ p^1 −^ p̂^2 ̂ p(1−̂p)(1/n 1 +1/n 2 )
∼ N (0, 1) sotto H 0 : p 1 − p 2 = 0.
Non correlazione: T = √rXY 1 −r^2 XY
n − 2 ∼ tn− 2 sotto H 0 : ρXY = 0.
ANOVA
Anova ad un fattore sotto controllo.
Variazione gdl Somme quadrati Quadrati medi F
tra gruppi k-1 SSB = (^1) n
∑k j=1 Y^
2
Y (^) ••^2 nk M SB^ =^
SSB k− 1
M SB M SW err sper. k(n-1) SSW =
∑n i=
∑k j=1 Y^
2 ij −^
1 n
∑k j=1 Y^
2
SSW k(n−1)
totale nk-1 SST C =
∑n i=
∑k j=1 Y^
2 ij −^ nkY^
2 ••
