Statistica - Formulario del Corso, Schemi e mappe concettuali di Statistica

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FORMULARIO - Statistica

Distribuzione di^ Frequenza

Sia ✗^ una variabile statistica^ e siano

✗ (^1) , ✗ (^2) ,^ ✗^ } (^) ,.^.^ - ,^ ✗^ K

le K^ modalità distinte di ✗ osservate negli n dati

Si definisce , con i = 1,2 , 3 ,.... K

Fi (^) = (^) Frequenza Assoluta^ della i^ - esima modalità = num di^ volte (^) per cui^ ×^ ; si^ ripete nei dati e Pi =^ Fr^ { ✗^ =^ ✗^ i (^) } = È = Frequenza Relativa^ = = (^) proporzione per cui Xi si (^) ripete nei^ dati la distribuzione di^ frequenza è una tabella^ che^ raccoglie le^ K modalità distinte e le^ corrispettive frequenze (^) , compresa la^ frequenza cumulata (^) : la i^ - esima (^) frequenza cumulata è (^) : i Fi (^) = Fr (^) / ✗ (^) i (^) } = ÷, B- =^ Peso^ congiunto delle^ prime i^ modalità Proprietà Assolute (^) : Relative Cumulate :

• Q E (^) Fi C- (^) N • Of (^) Fi 41
• i.

ti = n • Fo = 0 , Fu = 1 Vale solo se su scala

• Fi. . E^ Fi^ ordinate^ o^ superiore Relative (^) :^ • Pi = (^) Fi - Fi-
• ospiti
• Pi = 1

Rappresentazione Grafica

Istogramma

serie di^ rettangoli tali^ che l'^ i. esimo

rettangolo abbia^ :

• Base l' (^) i - esima classe

^ Area

uguale alla^ frequenza^ relativa^ della^ i^

• esima classe pi ' altezza (^) = Ci Curve delle (^) frequenze cumulate

È la Funzione

, per^ ogni ✗^ sull'asse^ : FAI = Fr^ { ✗^ <^ ×^ } = (^) Frequenza Relativa^ di^ valori^ osservati (^) < ✗ Proprietà :

• 0s

FINE 1

• FAI = o se ✗ < (^) ✗o
• FA

) -1.^ se^ ✗^ JXK

• FLUFFY) se ✗^ i
• FIX) =^ Fi (^). ,^ +^ li ' H - Xi. )^ >

Ci

• Fr la <^ ✗E (^) b) = Flb)^ - Fla)

Dipendenza statistica Tabella (^) di Contingenza

• Ottenuta classificando le unità (^) statistiche sulla (^) base delle coppie di modalità di^ ✗ (^) e Y Fi,^ - = (^) Frequenza assoluta^ congiunta della^ coppia Hi (^) ; %-) = num (^).^ di^ unità^ che^ presentano (^) congiuntamente ✗^ =^ ✗^ i e^ ✗^ = Yi Proprietà

Off is t n

is Fit^ =^ N

Distribuzioni (^) Marginali

(Determinabili^ dalla^ tabella^ di^ Contingenza)

Di = totale della i. esima riga = num . unità con ✗ = ✗ i

G- =^ Totale^ della^ J-^ esima^ colonna^ =^ num^.^ Unità^ con^ A-yt

Proprietà :

• 0s Rif n
• (^04) G- In Frequenze relative^ congiunte : pi,
• = fitn.fr/X=xi.Y--Yi }^ =^ Frequenza^ Relativa (^) congiunta di (^) Hi (^) ; %) Frequenze subordinate^ :
• di Y data X Fit (^) = Fr (^) / l'= (^) A / ✗= ✗ (^) i (^) } = (^) proporzione di unità (^) con A- (^) Ys nel (^) sottogruppo di Ri

quelle con^ ✗^ =^ ✗i

• di

✗ data Y

Fit (^) = Fr (^) / ✗ (^) = ✗i / Y (^) } = (^) proporzione di unità (^) con ✗ = (^) Xi nel G- sottogruppo^ con^ E-%.

Proprietà :

1. E (^) lo (^) μ) è^ il minimo di^ L^ (a) = E^ i Hi - a) 2

2) la^ somma^ delle^ deviazioni^ dalla^ media^ è^ nulla

3) la^ media^ preserva il^ totale^ :^ ne = i ✗i

4) ninfe^ E^ Max

5) Se Yi = a + bx;^ - > I = a +^ be

6) Monotona^ in^ ciascuno^ degli argomenti ,^ se^ ✗^ i aumenta^ ,^ E^ aumenta^.

Media Ponderata^ :

la media ponderata dei K valori di X

,

con pesi

V1 (^). Uh,... μ,^ è^ : K I (^) = ii. Wi^

• (^) ✗ (^) i K in Wi

Media di una distribuzione di

Frequenza

• Numerica

Discreta :

Wi-Fi →^ L ' iii. ✗i Wi (^) -^ - pi '^ i= , Pi '^ ✗i

• Numerica in^ classi 4 Mi (^) =^ (✗^ in^ + (^) Xi) a

→ I^ =^ %^ È.fi^

'

mi = ii. Pi ' mi

Mediana la (^) mediana (^) degli n valori osservati è (^) il valore letale che : Fr (^) { ✗^ E Me (^) } > (^) 0.50 e Fr {

✗ ZME / 70.

% dati d^ % di dati^ sopra Me sotto Me yYIE.io ordinati decrescenti Me (^) = {

Inuit se (^) n (^) dispari ✗ 10.5. n)

¢0.5 -^ ni^ -11) se n

pari 2 Mediana (^) per distribuzione di (^) frequenza Numerica (^) Discreta

Me è il primo valore le^ cui frequenze cumulate sono 70.

Numerica in classi : Me è il valore che soddisfa^ : (^) FIMe) = 0. In (^) più : se (^) ti (^) -140.50 sti → Me (^) = (^) ✗i. ,

0.5 -^ Fi-

Ci

Boxplot

Utilizzo dei b- numeri di sintesi

Ò ' min Ù^ , m'e Ù (^) } Max Criterio di Individuazione (^) degli Outlier 2 Estremi (^) , IQR (^) = Q (^) }^ - Qi

L =

Qi

• 1. b- • IQR

L = Q} +^ 1.5^.^ IQR

un valore ✗ (^) i è un outlier (^) se ✗ (^) i ¢ [t (^) ;D Q,

• minimax - Q } { Me - Qui a^ } - me - > Distribuzione

ne et^ simmetrica

Q,

• min ( Max^ - Q } { Me - Qi < Q^ } - me -^ >^ Distr. Asimmetrica positiva

me < I

Q,^ -^ min^ >^ Max^ - Q} , Distr (^). Asimmetrica negativa {

Me - Qi )^ Q } - me

ne > F

Robustezza :

Una (^) misura di (^) sintesi si dice (^) robusta se non risente in modo (^) significativo di (^) cambiamenti in una porzione limitata dei valori^. Es :^ Moda^ e^ Mediana^.

Misure della variabilità (^) o (^) Dispersione campo di^ Variazione ampiezza dell'^ intervallo^ che^ contiene^ tutti^ i^ dati R (^) = Max - min Non (^) Robusta Differenza (^) lnterqvartile ( IQR ) Ampiezza che^ contiene^ il^ 50%^ Centrale^ dei^ dati

IQR .^ - Q }

• Q , Robusta

Varianza :

Popolazione Campione^ :

O'

=L ii.^ Hi^

• μ ' s' = (^) % ' in Hi - È =L ii.^ ✗^ i^

μ ' =L, [%^ ii.^ Hi^

È =L, IL :X, ? (^) - (^) È }

Scarto Quadratico Medio /Deviazione standard

Popolazione Campione O (^) = (^82) =^1 N μ i (^) -1 ( Xi

' 5=5 (^) = [ , i^ :( ✗ (^) i - FÌ amore mio sei bravissimo ma

Numerica in^ Classe Popolazione : Campione 62= " (^2 ) " μ iii. ( mi - μ)^ " S =p. , i.→ Fi - ( mi -^ IÌ " n "

= i. ipi

. / Mi -

μ)^

"

=p , i.^ ipi^

• ( mi - È " n = (^) i. Piim?^ - μ '

=p, pi.tn

2 Disuguaglianze di^ Chebychev

Siano μ e o media^ e deviazione standard . Sia K^ > 1

E /

μ

• Kotkin

Ko

} Etti Regola (^) Empirica : Fr (^) /

μ -6s^

✗ E

μ (^) -181=0. Fr (^) / (^) μ -26^? ✗^ E (^) μ -^ }

Fr (^) / μ -384K. (^) μ -136^ } -50.

Analisi Bivariata Diagramma a^ Dispersione la i^ - esima unità nel^ set (^) è un (^) pt. di coordinate^ (Xiii )

nel piano cartesiano .

Misure delle relazioni lineari

covarianza Popolazione 1 N 1 "

Oxy = μ in Hi^

• th)^ Hi^ -^ M)^ su = n , i , Hi^ -^ E)^ Hi^ -^ t) 1 N I 1 n = μ in^ Xi' Yi

Nim n.it^ in^ Xi'Yi^

- FI

) Coefficiente di^ Correlazione lineare Popolazione (^) Campione fxy = ÓXY (^) rxy = SXY

G. A sx^

• Sy -1 (^) E fatt

Media (^) Campionaria : si consideri (^) un (^) campione casuale^ di^ ampiezza n da^ una popolazione di^ media^ μ , e varianza si '

allora la^ Media^ Campionaria

I (^) =L ii. ✗i = (^) E (^) (E) = μ

o

e (^) Var (^) [E^ ]. -^ ° ' a- ' (^) der

.^ Std^. =

in

= errore standard

se il

campionamento è^ SZ^.^ Remissione^ e^ n^ >^ 0.^

. N Var (^) (E) = 0 ' (^) N - n n ' N -^1

Distribuzione della media campionaria :

Popolazione Normale

F preso da^ una^ popolazione normale^ ha^ a^ sua^

volta

una distribuzione^ normale :

Inn (^) / μ ;^ Il

Teorema del^ limite centrale^ :

si consideri un^ campione casuale di^ ampiezza n da^ una (^) pop.

arbitraria con media μ e varianza 62. Sia h sufficientemente

elevato (^) , allora (^) : Frank (^) ; Il

Popolazione BernoulliCina

si consideri un^ Camp casuale di^ ampiezza n da una pop.^ bernoullicena

di parametro

p ,^ apri^ , media^ μ =p^ e^

O'

=p ftp.

Sia n.ph- p) >^9 , allora :

Fan (p ; NÈ)

In Sintesi

, preso un^ campione^

di ampiezza n^ : Pop Normale^ >^ In^ N(^ μ; %) Pop.^ Arbitraria^ >^ Fan^ ( (^) μ ; [^ )

( n^ suff.^ elevato)

Pop.^ Bernoulli^ una^

(^) Fin (p (^) ;P" (^) ) se (^) npltp) >^9 in

2 " PARTE (^) DEL CORSO (^) ( lezione a)

Come usare dei Dati

per

trarre conclusioni sulla Popolazione?

Stima Puntuale^ >^ Fornisco^ un^ valore^ stimato

stima Intervallare >^ Fornisco^ un intervallo di valori plausibili

Verifica d' Ipotesi >^ Verifico^ la^ ragionevolezza di un' ipotesi su un parametro

Previsione >^ Fornisco un valore

approssimato per un^ valore^

futuro

STIMATORE e STIMA

Uno (^) stimatore T (^) è una statistica (^) campionaria (una (^) var. aleatoria)

funzione del campione casuale , usata per stimare un parametro 0

della (^) popolazione :

T = the

..^.^. , Xn^ )

Una stima t^ è il valore assunto dallo stimatore T^ in corrispondenza

di una specifica realizzazione^ campionaria.

Esempio n (^) = 6 Valori^ osservati^ ( ✗ (^1) ,.... ✗ (^) g) (^) = (^) (5. (^) 5,8. 2,71 (^) , 9.1 (^) , 8.3 (^) ,^ 13.5)

stimatore di

μ Stima^

di

μ con : 1 g

✗i >^ 8.

con : Me >^ 8. con : Q^

• (^) Q } >^ 8. 2

Osservazioni

• Più (^) stimatori

per

lo stesso

parametro

• Per sapere qual'^

è il^ migliore serve conoscere 0

• Vanno valutati in base al metodo ,^ le^ sue^ proprietà sono

sintetizzate nella^ Distribuzione campionaria dello stimatore

Valutazione (^) degli stimatori :

Non Distorsione :

Uno stimatore T^ si^ dirà^ non distorto^ per un parametro 0 se

vai (^). Atteso < (^) [ (^) [T ] =^ O^

V

di T centro della^ distribuzione

campionaria

Distorsione (^) : (^) Dtt) (^) = (^) EIT) -^0 ,^ se^ non^ distorto (^) Dtt) = 0

Non Distorsione asintotica :

Uno stimatore T si dirà asintoticamente non distorto

per un^ parametro^

0 sei EIT]^ >^ O^ quando n^ >^ +^ a^ te 0 DIT )

(^) O quando n^ >^ +^

co to