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STATISTICA
") settembre#!")
Studente ______________________________
Esercizio " +Ñ Determinare il valore della costante - in modo tale che la seguente funzione
0 ÐBß CÑ œ
-! Ÿ B Ÿ %! Ÿ C Ÿ
] !
se e altrove risulti essere una funzione di densità congiunta per la v.c. doppia Ð\ß ] Ñ. ,Ñ Determinare la funzione di densità marginale della v.c. . -Ñ Determinare la funzione di densità marginale della v.c. ].
Sapendo che - œ "Î)ß 0 (^) \ ÐBÑ œ "%^ M (^) Ò!ß%Ó ÐBÑ e che (^0) ]ÐCÑ œ "#M (^) Ò!ß#ÓÐCÑ
.Ñ dire se le v.c. \ e ] sono indipendenti giustificando la rispostaÞ /Ñ Calcolare la covarianza tra \ e YÞ 0 Ñ Calcolare PÐ" \ #ß ] "ÑÞ 1Ñ Determinare la funzione di ripartizione della v.c.] Þ 2Ñ Calcolare PÐ] "ÑÞ
Soluzione +Ñ Affinchè (^0) ] ÐBß CÑ sia una densità deve risultare che (^0) ]ÐBß CÑ !e
∞ ∞
∞ ∞ (^0) ] ÐBß CÑ.C.B œ ", per cui
!!
% # -.C.B œ " e quindi, svolgendo l'integrale,
)- œ " - œ Þ
da cui
,Ñ Per! Ÿ B Ÿ %si ha
0 ÐBÑ œ .C œ
!
mentre per B ! e B % si ha (^0) \ ÐBÑ œ !ß da cui (^0) \ ÐBÑ œ "% BM (^) Ò!ß%ÓÐBÑ Þ
-Ñ Per! Ÿ C Ÿ #si ha
0 ÐCÑ œ .B œ
]! )
mentre per C ! e C " si ha (^0) ] ÐCÑ œ !ß da cui (^0) ] ÐCÑ œ "# M (^) Ò!ß#ÓÐCÑÞ
.Ñ Poichè (^0) ] ÐBß CÑ œ 0 (^) \ ÐBÑ0 (^) ]ÐCÑ aÐBß CÑle due v.c. sono indipendenti.
/Ñ Ð] Ñ œ BC.C.B œ #ß Ð\Ñ œ B.B œ # Ð] Ñ œ C.C œ "
E E , E , da cui 4
!!!!
% # % #
Cov Ð\ß ] Ñ œ E Ð] Ñ E Ð\ÑE Ð] Ñ œ !Þ Alla stessa conclusione si poteva più semplicemente giungere osservando che le due v.c. sono indipendenti e pertanto incorrelate.
0 Ñ Ð" \ #ß ] "Ñ œ .C.B œ Þ
P
1 0
"
1Ñ per C ! si ha J (^) ]ÐCÑ œ! per! Ÿ C Ÿ #si ha
J ÐCÑ œ 0 ÐCÑ.C 0 ÐCÑ.C œ .C œ C
] ∞!! #
! C C ] ]
per C # si haJ (^) ]ÐCÑ œ "Þ
2Ñ Ð] "Ñ œ " J Ð"Ñ œ " œ Þ
P ]
Esercizio # Si suppone che il peso (in grammi) di una confezione di biscotti sia una v.c. con valore atteso. œ #&! e varianza 5 #= $'. +Ñ Determinare un limite inferiore per la probabilità che il peso di una confezione sia compreso tra #$! e #(!.
,ÑDurante il processo di imballaggio, le singole confezioni vengono riunite in scatole contenenti &!confezioni ciascuna. Approssimare la probabilità che il peso complessivo di una scatola sia compreso tra "#&!! e "$!!!.
Soluzione +ÑPoichè
P( #$! \ #(!) œ P( #$! #&! \ #&! #(! #&!) œ
œ P( \ #&!^ ^ #! ) œ P( \ ^ EÐ\Ñ #!)
utilizzando la disuguaglianza di Chebycheff si ha
-Ñ Utilizzando le proprietà del valore atteso di combinazioni lineari di v.c.
E Ð\ Ñ œ 8 BÐ\ Ñ œ 8
) da cui ) ) œ )Þ
.Ñ MSE Ð\ Ñ œ 8 B Ð\ Ñ 8 # VÐ\ Ñ œ 8
œ œ œ
# #
3œ"
8
/ÑPoichè lim MSE 8Ä∞ 8
Ð\ Ñ Á!
lo stimatore non converge in media quadratica a ).
Esercizio % Sia ÐB ß á B Ñ" 8 un campione casuale realizzazione di v.c. campionarie\ 3 Ð3 œ "ß á 8Ñ
di Poisson con funzione di probabilità
0 ÐB Ñ œ Ö ×ß B œ !ß "ß á − Bx
)B^
exp
con E Ð\ Ñ œ 3 VÐ\ Ñ œ 3 ).
+Ñ Scrivere la funzione di verosimiglianza di ) dato ÐB ß á B Ñ" 8. ,Ñ Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di ). -Ñ Determinare se lo stimatore di massima verosimiglianza è corretto. .Ñ Determinare il momento secondo dell'errore di stima (errore quadratico medio)dello stimatore di massima verosimiglianza. /Ñ Verificare che lo stimatore di massima verosimiglianza è efficiente. 0 Ñ Supponendo di aver osservato un campione casuale di 8 œ #&osservazioni tali che
3œ"
#& B œ &! 3 , determinare la stima di massima verosimiglianza di PrÐ \ œ !Ñ 3.
1ÑDeterminare lo stimatore dei momenti di ).
Soluzione +Ñ La funzione di verosimiglianza di ) dato ÐB ß á B Ñ" 8 risulta
_ ) )
Ð à B ß á B Ñ œ -ÐB ß á B Ñ œ " 8 " (^8) 3œ"B x
8
3
B ^
3 exp
= -ÐB ß á B Ñ Ð Ñ 8 œ -ÐB ß á B Ñ 8
B x " 8 " 8 3œ"
8
3
B B (^) ) ^ ) ^ ) ^ )
3œ" 3œ"
8 8 3 3 exp exp
,Ñ La funzione di logverosimiglianza è
6Ð à B ß á B Ñ œ 68) (^) " 8 _ )Ð à B ß á B Ñ œ" 8
œ 68-ÐB ß á B Ñ " 8 B 68 3 8 3œ"
8 (^) ) )
Il problema di stima è regolare poichè:
3Ñ il supporto delle v.c. campionarie non dipende da ); 33Ñ lo spazio parametrico @è aperto;
333Ñ esiste, a ) −@, 6Ð àB ßáB Ñ^ )^ ")^8 ;
3@Ñ se ) Ä! ^ , 6Ð à B ß á B Ñ Ä) (^) " 8 - ∞ e se ) Ä ∞ 6Ð à B ß á B Ñ Ä, ) " 8 - ∞
e quindi, per individuare la stima di massima verosimiglianza si può ricorrere
all'equazione di verosimiglianza 6Ð àB ßáB Ñ^ )^ ")^8 =0, che risulta
Esercizio & Si vuole valutare la preferenza politica delle persone tra i #! e i $!anni residenti in California sulla base di un campione casuale di #&! osservazioni relative a come altrettanti elettori tra #! e $!anni intervistati dichiarano di voler votare alle prosssime elezioni. Nel campione (&elettori dichiarano che voteranno per il Partito Repubblicano. +Ñ Determinare l'intervallo di confidenza per la probabilità che un elettore tra i #! e i$! anni residente in California dichiari di votare per il Partito Repubblicano al livello " α œ !Þ*!. ,Ñ Sottoporre a verifica l'ipotesi che la probabilità che un elettore tra i #! e i $!anni residente in California dichiari di votare per il Partito Repubblicano è !Þ%al livello di significatività α œ !Þ!&. -Ñ In relazione al punto ,Ñ , approssimare il :-valore .Ñ Sulla base del :-valore ottenuto, dire se è possibile accettare l'ipotesi nulla al livello di significatività α œ !Þ"!. /Ñ Derivare la distribuzione di probabilità sotto H della statistica test utilizzata al punto! ,Þ
Soluzione +Ñ L'intervallo ha come estremo inferiore B D" Î# BÐ"BÑ
α ^ 8" e come estremo superiore
B D (^) " Î# BÐ"BÑÞ α ^ 8" Si osservi che la media campionaria in questo caso coincide con la proporzione campionaria e che B œ^ #&!(& œ !Þ$ , 8 œ #&! e D (^) !Þ*&œ "Þ'%, l'intervallo risulta Ð!Þ#&à !Þ$&ÑÞ
,ÑIl sistema di ipotesi risulta H (^)! À : œ !Þ%ß H (^) "À : Á !Þ%mentre la statistica test è data da
X œ œ > À > > À >
Ð \ : Ñ
! D ∪ D
: Ð": Ñ 8
V
!!
e la regione di rifiuto risulta (^7) α Î# ^ "α Î#.
Poichè
> œ œ $Þ#$
!Þ$ !Þ%
!Þ%‚!Þ' #&! e D (^) !Þ!#& œ D (^) !Þ(& œ "Þ' si rifiuta l'ipotesi nulla al livello di significatività α ¶ !Þ!&.
-Ñ Data la forma della regione di rifiuto il p-valore è dato da
¶ #738ÐT X Ÿ^ >l H (^)! ß^ T X >l H!Ñ œ #^ FÐ $Þ#$Ñ œ #Ð" !Þ**%Ñœ !Þ!!"#Þ
.Ñ Poichè il nuovo livello di significatività è superiore al p-valore, si rifiuta l'ipotesi nulla al livello di significatività !Þ"!.
/Ñ Per il Teorema Limite Centrale si ha cheß per 8 grande ß la distribuzione di\ può
essere approssimata da una a Ð:ß :Ð":Ñ 8 Ñe quindi \
(^) : :Ð":Ñ 8 ha una distribuzione asintotica
normale standard. Poichè supponendo vera H (^)! si ha che : œ :! , allora \: per
(^)! : Ð": Ñ!! (^8)
grande ha una distribuzione che può essere approssimata da una a Ð ß0 1 ÑÞ
Esercizio ' In un campione casuale di '%famiglie di tre componenti nella città A, il numero medio di automobili possedute è pari a #Þ" con deviazione standard = (^1) - œ !Þ#mentre in un campione casuale di (&famiglie della stessa dimensione nella città B, il numero medio di automobili possedute è "Þ( con una deviazione standard = (^) #-œ !Þ#%. +Ñ Determinare una stima puntuale per la differenza tra il numero atteso di automobili possedute dalle famiglie nelle città A e B ed una stima della sua precisione. ,Ñ Determinare l'intervallo di confidenza per la differenza tra il numero atteso di automobili possedute dalle famiglie nelle città A e B al livello " αœ !Þ!. -Ñ Verificare l'ipotesi che non ci sia differenza tra il numero atteso di automobili possedute dalle famiglie nelle città A e B al livello α œ !Þ!&.
Soluzione +Ñ La stima puntuale risulta B (^) " B (^) #œ #Þ" "Þ( œ !Þ% atomobili, la stima della
varianza dello stimatore è = 8 = 8 !Þ#*'% !Þ#%(& e una stima della
#-" #-# " #
œ œ !Þ!!#"
precisione relativa è RRMSE œ !Þ!!#"Î!Þ% œ !Þ""&Þ
,Ñ L'intervallo di confidenza al livello ha come estremi B (^) " B (^) # D (^) " Î# = = α ^8
#-" #-# " # e
B (^) " B (^) # D (^) " αÎ# ^ = 8 = 8 D (^) !Þ*&œ "Þ'% Ð!Þ$$à !Þ%(ÑÞ
#-" #-# " #. Poichè^ , l'intervallo risulta .ÑIl sistema di ipotesi risulta H (^)! À ." œ .# ß H (^) " À ." Á .#ÞLa statistica test assume valore
> œ œ )Þ((
B B
" # = = (^8 )
#-" #-# " #
e la regione critica è gV œ Ö> À > Ÿ D (^) αÎ# × ∪ Ö> À > D" (^) αÎ#×Þ Poichè D (^) !Þ(& œ "Þ' e D (^) !Þ!#& œ D (^) !Þ(&œ "Þ'si rifiuta l'ipotesi nulla al livello di significatività α ¶ !Þ!&.
