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Prova Finale di STATISTICA #
$" Maggio #! ) 1
Studente ______________________________
Esercizio " Sia ÐB ß á B Ñ" 8 un campione casuale realizzazione di v.c. campionarie\ 3 Ð3 œ "ß á 8Ñ
con funzione di probabilità
0 ÐB Ñ œ # " ß B œ !ß "ß − Ð$ß 'Ñ
\ $ $
B "B ,) (^) ) (^) ) (^) )
+Ñ Determinare la stima di massima verosimiglianza di ). ,Ñ Verificare se lo stimatore di m.v. è corretto. -Ñ Calcolare il momento secondo dell'errore di stima dello stimatore di m.v.Þ .Ñ Verificare se lo stimatore di m.v. è coerente. /Ñ Determinare la stima di m.v. di T Ð\ (^) "œ !ÑÞ
Soluzione +Ñ La funzione di verosimiglianza di )risulta
_ )Ð à B ß á B Ñ œ -ÐB ß á B Ñ" 8 " 8 œ 3œ"
8 # (^) "
B 3 "B 3
œ -ÐB ß á B Ñ" 8 # (^) "
8B 88B
e la funzione di logverosimiglianza è
6Ð à B ß á B Ñ œ 68) (^) " 8 _ )Ð à B ß á B Ñ œ 68-ÐB ß á B Ñ " 8 " 8 8B 68 # 8 8B 68 "
Poichè: 3Ñ il supporto delle v.c. campionarie non dipende da ); 33Ñ lo spazio parametrico @è aperto;
333Ñ esiste, a ) −@, 6Ð àB ßáB Ñ^ )^ ")^8 ;
3@Ñ se ) Ä $ ^ , 6Ð à B ß á B Ñ Ä ∞) (^) " 8 e se ) Ä ' ,6Ð à B ß á B Ñ Ä ∞) " 8 per individuare la stima di massima verosimiglianza si può ricorrere all'equazione di
verosimiglianza 6Ð àB ßáB Ñ^ )^ ")^8 =0, che risulta
6Ð à B ß á B Ñ " "
œ œ! Ð Ð
" 8 8B 8 8B
Ñ "Ñ
da cui, risolvendo in ), la stima di massima verosimiglianza è )s œ ' $B Þ
,Ñ Poichè EÐ\ Ñ œ! ‚ (^) " 0 Ð! Ñ " ‚ 0 Ð" Ñ œ #
\ \ $
, ) , ) )si ha
E Ð @sÑ œ EÐ' $\Ñœ ' $Ð# Ñ œ
e quindi lo stimatore di m.v. è corretto.
-Ñ Poichè EÐ\ Ñ œ! (^) "#^ #^ ‚ (^0) \ Ð! , )Ñ " #^ ‚ (^0) \Ð" , )Ñ œ # "$)si ha
V Ð\ Ñ œ" E Ð\ Ñ "#^ EÐ\ Ñ" #^ œ# Ð# Ñ œ Ð# ÑÐ "Ñ
e quindi
MSE Ð s^ Ñ œ B Ð s^ Ñ V Ð s^ Ñ œ V Ð' $\Ñ VÐ\Ñ œ
@ @ #^ @ œ * Ð# ÑÐ "Ñ
.Ñ Poichè lo stimatore è corretto e limVÐ s Ñ œ !, allora lo stimatore è coerente. 8Ä∞ 8
/ÑT Ð\ (^) " œ !Ñ œ "$ ) "è una funzione monotona crescente in ), per la proprietà di
equivarianza si ha che la stima di m.v. di T Ð\ (^) " œ !Ñ risulta"$ )s " œ " $BÞ
Esercizio # Durante l'ultimo anno un'azienda ha introdotto l'orario flessibile (ogni impiegato può, entro certi limiti, scegliere l'orario di lavoro più adatto alle sue esigenze). Il numero medio di giorni di assenza negli anni precedenti all'introduzione è stato di 'Þ$giorni all'anno. Su un campione casuale di "!! impiegati viene rilevato il valore della v.c. che denota il numero di giorni di assenza nell' ultimo anno, quello in cui si è adottato l'orario flessibile, ottenendo
3œ" 3œ"
"!! "!! B œ &&! B# œ $)''Þ (^3 )
+Ñ Fornire una stima puntuale per il valore atteso del numero di giorni di assenza all' anno se si adotta l'orario flessibile e fornire una stima della precisione. ,ÑCostruire l'intervallo di confidenza per il valore atteso del numero di giorni di assenza all' anno se si adotta l'orario flessibile al livello " αœ !Þ&. -Ñ Fissato il livello di significatività αœ !Þ"!ßeffettuare un test per verificare se l'introduzione dell'orario flessibile ha ridotto l'assenteismo. .Ñ Calcolare il p-valoreÞ /Ñ Dire se, sulla base del p-valore è possibile accettare l'ipotesi che l'introduzione dell'orario flessibile non ha ridotto l'assenteismio al livello α œ !Þ!"Þ 0 ÑSi consideri il test per la verifica dell'ipotesi che il numero atteso di giorni di assenteismo all'anno con l'introduzione dell'orario flessibile sia uguale a 'Þ$ contro l'ipotesi alternativa che sia &Þ$ al livelloα œ !Þ!&. Supponendo di conoscere la varianza della v.c. \ e che essa sia 5 #^ œ )Þ%, calcolare il valore della funzione potenza sotto l'ipotesi alternativa.
Soluzione
,Ñ Costruire un intervallo di confidenza per la differenza tra le proporzioni dei potenziali clienti donne e uomini che preferiscono il nuovo modello al livello " αœ !Þ*&Þ -Ñ Verificare l'ipotesi che non ci sia differenza nelle preferenze per il nuovo modello in base al sesso dei potenziali acquirenti al livello α œ !Þ!"Þ .Ñ Approssimare il p-valore.
Soluzione +Ñ La stima puntuale è data da B C œ !Þ$' !Þ#& œ !Þ""^ e la stima della varianza
dello stimatore utilizzato è BÐ"BÑ^ C Ð"C Ñ da
8 " 8 " ** **
!Þ$'‚Ð"!Þ$'Ñ !Þ#&‚Ð"!Þ#&Ñ " ^ # œ^ ^ œ !Þ!!%ß
cui RRMSE œ œ !Þ&)Þ
!Þ!!% !Þ""
,Ñ L'intervallo ha come estremo inferiore B C D^ ^ " Î# BÐ"BÑ^ C Ð"C Ñ
α ^ 8 "" 8 "# e come
estremo superiore B C D^ ^ " Î# BÐ"BÑ^ C Ð"C Ñ. Poichè D œ "Þ*', l'intervallo
α ^ 8 "" 8 "# !Þ*(&
risulta Ð !Þ!"%à !Þ#$($ÑÞ -Ñ Il sistema di ipotesi risulta H (^)! À : (^) " œ : ß# H (^) " À : (^) " Á :# che può essere alternativamente espresso come H (^)! À .H œ !ß H (^) " À .H Á! dove .H œ :" :#. La statistica test è data da
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e la regione di rifiuto risulta 7 ^ " αÎ#.
Poichè s: œ 8 B8 C œ œ !Þ$!&e
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e D (^) !Þ**& œ #Þ&('si accetta l'ipotesi nulla al livello di significativitàα œ !Þ!&Þ
.Ñdata la forma della regione di rifiuto il p-valore risulta
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œ # minÐ T X Ÿ^ "Þ'l H (^)! ß^ T X^ "Þ'l H (^)! Ñ œ^ # ‚ T X "Þ'l H!¶ œ # ‚ Ò" FÐ"Þ'ÑÓ œ # ‚ Ò" !Þ&%%)'Ó œ !Þ!!Þ
