Inferenza Statistica: Introduzione, Dispense di Statistica

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Inferenza: introduzioneStatistica

Francesco Pauli

A.A. 2015/

Indice•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

GeneralitRappresentativita a

Distribuzione campionaria e precisione di uno stimatoreOttenere uno stimatore

Propriet`Statistica in guerraa di uno stimatore

Francesco Pauli Inferenza: introduzione 2 / 80

Esempio: sondaggi elettorali•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

I I Dellala proporzione che voter`senza (prima di) osservare tutta la popolazione.Scegliamo popolazione a caso alcuni individui: il degli elettori (CdD) vogliamo conoscerea PD campione.

I Sulla base di questi otteniamo unapercentuale di elettori del PD, stima del parametro

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Campion•^ Generalita^ i• e stimRappresentativite a^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

La prima cosa da osservare casuale, nel contesto dei sondaggi elettorali possiamo osservarlo.e che il risultato di un campionamento • e

Il problema infatti se lo pongono in molti, e molti fanno dei sondaggi, adesempio il 14 gennaio 2013 ne sono stati fatti 3.committente sondaggista num.camp PD

RAI BallarSkyReuters AffariItaliani.it IpsosTecnPiepoli 1003800600 33.4031.8032.

I I Nei tre sondaggi s’ottengono stime diverse, eppure sonocontemporanei e popolazione e parametro sono gli stessi.Sono pero intervistate persone diverse, e quindi il risultatoe casuale.

I Esso caratteristica di interesse della popolazione che non che sia lontano. Francesco Paulie comunque utile in quanto e pi`u probabile che sia vicino allaInferenza: introduzione 5 / 80

Esempio dei bianchi e dei neri: deduzione probabilistica•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

La popolazione bianchi e dei neri.quadratini^ Popolazione deie nota: il^ • e nero. π = 50% dei

(Nota: di solito il parametro si indicacon una lettera greca, qui π.)

Sapendo che π = 50% `e nero.

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Esempio dei bianchi e dei neri: deduzione probabilistica•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

La popolazione bianchi e dei neri.quadratini^ Popolazione deie nota: il^ • e nero. π = 50% dei

(Nota: di solito il parametro si indicacon una lettera greca, qui π.)

diciamo di^ Se estraggo a caso una porzione della popolazione, n Sapendo che= 100 unita, osservo un numero di neri che^ π^ ↓^ = 50%e nero.

Le nozioni di CdP consentono di calcolare la probabilitdi osservaree^ casuale x neri a

(^35 39 43 47) x 51 55 59 63 Francesco Pauli Inferenza: introduzione 7 / 80

Esempio dei bianchi e dei neri: deduzione probabilistica•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

La popolazione bianchi e dei neri.quadratini^ Popolazione deie nota: il^ • e nero. π = 50% dei

(Nota: di solito il parametro si indicacon una lettera greca, qui π.)

Le nozioni di CdP consentono di calcolare la probabilitSapendo che^ π^ ↓^ = 50%e nero. a

di osservare x neri

Nota, non `nostri fini usiamo la binomiale.e esattamente una binomiale ma quasi, ai^35 39 43 47 x^51 55 59

P(X = x; π) =^ (nx^ ) πx^ (1 − π)n−x

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Esempio dei bianchi e dei neri: inferenza statistica•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

bianchi e dei neri.^ Popolazione dei •

La popolazione non ` π =? (prop “neri”).e nota:

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Esempio dei bianchi e dei neri: inferenza statistica•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

bianchi e dei neri.^ Popolazione dei •

La popolazione non ` π =? (prop “neri”).e nota: Osservo solo il campione^ Pπ(X^ =^ x) = n = 100.^ (nx^ )^ πx^ (1 X− = 47 suπ)n−x

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Esempio dei bianchi e dei neri: inferenza statistica•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

bianchi e dei neri.^ Popolazione dei •

La popolazione non ` π =? (prop “neri”). A B C e nota:

0.020.040.06 nxπ X `e “probabilmente” vicino a ↑ nπ.

Osservo solo il campione^ Pπ(X^ =^ x) =^ (nx^ )^ πx^ (1 X− = 47 suπ)n−x

Francesco Pauli Inferenza: introduzione^ n^ = 100. 8 / 80

Esempio gaussiana: controllo di processo•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

μ

Distribuzioneteorica(popolazione)

In grigio `peso di confezioni di un prodotto alimentare,che si suppone^ osservazionimedia osservazionie rappresentata la distribuzione del

X ∼ N (μ, σ^2 )

Si considera un processo industriale diconfezionamento di un prodotto alimentare. Siassume che il pesodistribuisca normalmente con s.q.m.una media μ. X di una confezione si σ intorno a

Il produttore `esempio per verificare che non si discosti troppodal peso dichiarato sulle confezioni).e interessato a valutare^ • • μ (ad

A questo fine si pesanocampione , e se ne calcola la media n confezioni a caso, il

X¯ = n^1 ∑ i=1^ n Xi

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Esempio gaussiana: controllo di processo•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

μ

Distribuzionecampionariadella media Distribuzioneteorica(popolazione)

In grigio `peso di confezioni di un prodotto alimentare,che si supponee rappresentata la distribuzione del

A C Anim XPrec^ ∼^ N^ (μ, σ^2 )

Si considera un processo industriale diconfezionamento di un prodotto alimentare. Siassume che il pesodistribuisca normalmente con s.q.m.una media μ. X di una confezione si σ intorno a

Il produttore `esempio per verificare che non si discosti troppodal peso dichiarato sulle confezioni).e interessato a valutare^ • • μ (ad

A questo fine si pesanocampione , e se ne calcola la media n confezioni a caso, il

Per la media campionaria si sa cheX¯^ =^ n^1 ∑^ i=1^ n^ Xi

Francesco Pauli Inferenza: introduzioneX¯^ =^1 n∑^ i=1^ n^ Xi^ ∼^ N^ (^ μ, σ^ n^2 ) 9 / 80

Popolazione-campione-parametro-stima•^ Generalita^ •^ Rappresentativita^ •^ Dist. camp. e precisione^ •^ Ricerca ˆθ^ •^ Propriet`a^ •^ Guerra^ •

Popolazione

Campione

Parametro

Stima

Il campione viene“estratto” pi`meno letteralmentedalla popolazioneu o Dal campione si calcola la stima(per ora un analogo campionariodel parametro)

Dalla stima sile caratteristichedella popolazioneinducono

Il parametro `caratteristica dellapopolazionee una

Si noti che questo schema dell’inferenza,applicazioni. e pero restrittivo e none utile per capire il principio alla basee adatto a descriverne tutte le

Per essere effttivamente generali occorre maggiore astrazione. Francesco Pauli • Inferenza: introduzione 11 / 80

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Generalit`Generalizzazionea

Rappresentativit`Distribuzione campionaria e precisione di uno stimatorea

Ottenere uno stimatorePropriet`a di uno stimatore

Statistica in guerra Francesco Pauli Inferenza: introduzione 12 / 80